高二数学下学期期末模拟卷（苏教版选修第二册，高效培优·提升卷）

**基本信息** 立足苏教版选择性必修第二册，以科技节人员分配、景区优惠满意度调查等真实情境为载体，通过分层设问考查随机变量、立体几何等知识，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|随机变量、向量、排列组合|单选第5题以科技节展台分配考查计数原理，多选第9题结合教师答疑安排考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|二项式系数、线性回归、传球概率|第14题通过传球模型考查递推概率，体现数学抽象| |解答题|5题/77分|二项式定理、统计案例、立体几何|18题知识竞赛概率分布考查数学建模，19题立体几何二面角与距离最值凸显空间观念|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可求概率. 【详解】因为，故， 故， 故选：A. 2．向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 4．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 5．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？   （   ） A．90 B．100 C．150 D．180 【答案】C 【分析】分1，1，3和2，2，1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组， 可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的方法． 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    7．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】利用二项分布求概率的公式可得①正确；根据对立事件概率的求法可得②正确；由条件概率公式计算可知③正确；根据方差和期望值性质可得④错误. 【详解】对于①，由随机变量服从二项分布可知，即①正确； 对于②，易知20个零件中有17个合格品，从20个零件中随机抽取8个零件，都是合格品的概率为， “至少有一件不合格”与“都是合格品”为对立事件， 所以至少有一件不合格的概率为，即②正确； 对于③，易知4个人去4个景点共有种可能，则“小赵独自去一个景点”的概率； 且“4个人去的景点互不相同”共有种可能，则可得； 所以，可得③正确； 对于④，由期望值性质可知；，可得④错误. 即①②③正确. 故选：D 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项可得A、B、C；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式，可得D. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确； 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）， 由全概率公式：， 由条件概率公式：，B错误； 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率， 由概率的加法公式：， 其中， 代入得：，C正确； 选项D：递推关系：， 整理为：，初始值， 故，因此， 即，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（   ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C．若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D．若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 【答案】BD 【详解】对于A，不同的安排方法共有种，A错误； 对于B，恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有种，B正确； 对于C，4位老师的答疑日期都不相同的总排法种， 数学和物理老师答疑的日期相邻的排法有， 所以数学和物理老师答疑的日期不相邻的排法有种，C错误； 对于D，4位老师的答疑日期都不相同，且数学答疑必须排在物理答疑之前共有种安排方法，D正确； 10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共4项 【答案】AC 【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故正确； 令，得所有项的系数和为，故错误； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故正确； 因为展开式通项为， 所以当为整数时，即时为有理项，共有5项，故D错误. 故选：AC. 11．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为______． 【答案】1260 【分析】分析项的来源，然后利用组合的运算方法求解即可. 【详解】在表示有10个相乘，项来源如下： 有6个提供，有2个提供，有2个提供， 故项的系数为. 故答案为：1260 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 【答案】/1.875 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 【答案】 / 【分析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 【详解】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析传到乙之前是从甲或丙传过去，所以需分析传到甲和丙的概率，从而得到递推关系式. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】(1)256． (2)． 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【详解】（1）当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． （2）因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 16．（15分）某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研，请解答下列问题：（用数字回答） (1)若每人必须且只能选择一种模型，则有多少种不同的安排方案? (2)若每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，则： （i）共有多少种不同的安排方案？ （ii）若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 【答案】(1)729 (2)（i）540；（ii）160 【分析】（1）6位同学独立选择，每人都有3种模型可选，根据分步乘法计数原理计算即可. （2）（i）先将6人分为3个非空组，再将3组分配到3个模型，结合分类加法计数原理计算即可. （ii）按模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】（1）若每人必须且只能选择一种模型，则每人都有3种选择， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有（种）. 故每人必须且只能选择一种模型，则有729种不同的安排方案. （2）（i）先将6人分成3组，有，，三种分法. 按分组，有种方法； 按分组，有种方法； 按分组，有种方法； 再将分好的3组全排列，安排到3种模型，有种排法. 所以共有 种安排方案. （ii）甲负责模型： 从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种. 剩余4人分配到、两种模型，共有种， 剩余4人全在模型或模型，有2种， 所以此类方案数： 种. 乙负责模型：有 种. 甲、乙都不负责模型： 从剩余4人中选2人负责模型，有种. 甲负责模型，则乙负责模型，剩余2人均有2种选择，种， 乙负责模型，则甲负责模型，剩余2人均有2种选择，种， 所以此类方案数： 种. 故共有种不同的安排方案. 17．（15分）为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到列联表如下： 不满意 满意 合计 高考生 60 40 100 中考生 35 65 100 合计 95 105 200 (1)判断能否有的把握认为满意度与考生类型有关？ (2)现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数的概率分布及数学期望. 附：，其中. 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有的把握认为满意度与考生类型有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据所给数据计算，再由所给参考数据作出结论； （2）由分层抽样得出满意及不满意人数，根据超几何分布求出概率，得出分布列，求期望即可. 【详解】（1）零假设为满意度与考生类型相互独立，即满意度与考生类型无关. 由列联表可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以有的把握认为满意度与考生类型有关. （2）高考生共有100人，其中不满意的有60人，满意的有40人， 由分层抽样，其中抽得不满意的有3人，满意的有2人， 由题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 . 18．（17分）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)． 【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出概率即可； （2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望； （3）甲能胜出的概率，即．求导数求出函数的单调性求解． 【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5． ； ； ． 所以甲进入初赛的概率为． （2）可能取0，5，10，15，20． ； ； ； ； ． 的分布列为 0 5 10 15 20 所以． （3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即． 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 【点睛】结论点睛：点为平面外一点，点为平面内一点，平面的法向量为，则点到平面的距离为：. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 5．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？   （   ） A．90 B．100 C．150 D．180 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（   ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C．若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D．若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共4项 11．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为______． 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 16．（15分）某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研，请解答下列问题：（用数字回答） (1)若每人必须且只能选择一种模型，则有多少种不同的安排方案? (2)若每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，则： （i）共有多少种不同的安排方案？ （ii）若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有多少种不同的安排方案? 17．（15分）为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到列联表如下： 不满意 满意 合计 高考生 60 40 100 中考生 35 65 100 合计 95 105 200 (1)判断能否有的把握认为满意度与考生类型有关？ (2)现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数的概率分布及数学期望. 附：，其中. 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．（17分）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． (1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； (2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； (3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B C D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1260 13．/1.875 14． / 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． （2）因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 16．（15分） 【详解】（1）若每人必须且只能选择一种模型，则每人都有3种选择， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有（种）. 故每人必须且只能选择一种模型，则有729种不同的安排方案. （2）（i）先将6人分成3组，有，，三种分法. 按分组，有种方法； 按分组，有种方法； 按分组，有种方法； 再将分好的3组全排列，安排到3种模型，有种排法. 所以共有 种安排方案. （ii）甲负责模型： 从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种. 剩余4人分配到、两种模型，共有种， 剩余4人全在模型或模型，有2种， 所以此类方案数： 种. 乙负责模型：有 种. 甲、乙都不负责模型： 从剩余4人中选2人负责模型，有种. 甲负责模型，则乙负责模型，剩余2人均有2种选择，种， 乙负责模型，则甲负责模型，剩余2人均有2种选择，种， 所以此类方案数： 种. 故共有种不同的安排方案. 17．（15分） 【详解】（1）零假设为满意度与考生类型相互独立，即满意度与考生类型无关. 由列联表可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以有的把握认为满意度与考生类型有关. （2）高考生共有100人，其中不满意的有60人，满意的有40人， 由分层抽样，其中抽得不满意的有3人，满意的有2人， 由题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 . 18．（17分） 【详解】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5． ； ； ． 所以甲进入初赛的概率为． （2）可能取0，5，10，15，20． ； ； ； ； ． 的分布列为 0 5 10 15 20 所以． （3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即． 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $