专题07菱形的性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题07菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形定义，明确其与平行四边形的从属关系。 2.精准掌握菱形边、角、对角线、对称性四大性质，吃透菱形两类面积计算公式。 3.熟练区分三种判定方法，厘清判定前提条件，规避概念混淆误区。 4.梳理菱形与平行四边形、矩形的知识关联，搭建完整知识框架。 1.能结合图形运用性质完成线段、角度的基础计算。 2.可根据题干条件灵活选取判定定理，完成几何推理与证明。 3.提升识图、析图能力，学会拆解组合图形，转化复杂问题。 4.培养逻辑推理、数形结合与规范书写几何步骤的能力。 1.吃透期末常考基础题型，选择、填空做到零失误。 2.攻克性质计算、判定证明两大核心大题，掌握标准解题格式。 3.突破菱形与三角形、平行四边形结合的综合压轴小题，总结解题套路。 4.辨析高频易错点（判定条件误用、面积公式混用等），减少失分。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与勾股定理综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形性质（必背，计算、证明核心依据） (一）继承平行四边形的通用性质 边：对边平行、对边相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分 对称：中心对称图形，对称中心为对角线交点 （二）菱形独有性质（重点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 补充：内角不一定是直角（和矩形核心区别） 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:三大判定定理（证明题核心，严格区分前提） 分两类思路：先证平行四边形，再证菱形、直接证菱形. 致命误区：对角线互相垂直的四边形≠菱形，缺少 “平行四边形” 条件，命题不成立，选择、证明题高频丢分点。 知识点05:菱形与矩形对比 对比维度 矩形 菱形 定义核心 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 边角特征 四个角均为直角，邻边不一定相等 四条边全部相等，内角不一定是直角 对角线性质 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直、平分，且平分一组对角 面积计算 仅可用：底 × 高 底 × 高 或 两对角线乘积 对称性 轴对称 + 中心对称，共 2 条对称轴 轴对称 + 中心对称，共 2 条对称轴 知识点06:高频易错点汇总（期末重点强调） 1.判定定理漏写 “平行四边形” 前置条件； 2.混淆菱形、矩形的对角线性质； 3.矩形误用 “对角线乘积一半” 求面积； 4.误认为对角线互相垂直的四边形就是菱形； 5.几何证明步骤不规范，定理书写不严谨。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，点在边上，若，则_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得出，，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质可得和的度数，再由，等边对等角结合三角形内角和定理可求得的度数，最后根据角的和差关系即可得到的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， ， ， ， ， ． 2．如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出的度数及，利用等腰三角形性质求出，在 中利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据直角三角形斜边中线性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在 中，∵， ∴， ∴． 3．点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)证明：∵菱形， ∴， ∵E为的中点，， ∴，则 ∴ ∵H为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴ ， ∴， 在和中，∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【分析】（1）由等边对等角以及三角形的外角性质得到，然后根据菱形的性质得到，再由平行线的性质求解即可； （2）连接交于O，通过三角形中位线证明即可； （3）通过直角三角形斜边中线的性质以及菱形的性质证明，然后结合三角形的外角性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为菱形的对角线， ∴， ∴， 又∵菱形中， ∴， ∴； （2）略 （3）略 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 5．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 6．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)4 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，即可证明四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，，，结合菱形的性质可得，，使用菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 题型03.菱形的性质求面积 7．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点O，由菱形可得，由勾股定理可得，即可解得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 8．如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为________，菱形ABCD的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形是中心对称图形的性质以及全等三角形的判定和性质，构造正确的辅助线是解题的关键． 根据菱形是中心对称图形可得，进而可证，故；根据菱形是中心对称图形可得，，故 【详解】解：如图，连接 是对角线的交点，且菱形是中心对称图形， 点和点关于点中心对称，点和点关于点中心对称， ． ， (SAS)． ． 菱形是中心对称图形，点是对称中心， 过对称中心的直线把菱形分为面积相等的两部分 ， 故答案为：①② 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，，，求菱形面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； (2)12 【分析】（1）首先根据菱形的性质得，，再结合已知条件，得，结合，可知四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知，，，根据勾股定理可求得，由菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，，， ， 菱形的面积． 题型04.菱形的性质证明 10．如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 【答案】/60度 【分析】由旋转的性质及菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：因为四边形是菱形，且， 所以对角线平分，， 所以． 所以与是两个大小一样的等边三角形， 又因为将绕点顺时针旋转后与重合， 所以． 综上，旋转角的度数是． 11．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形对角线互相平分可得 为 中点，结合 利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出 的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ． 【详解】解： 四边形 是菱形 平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 12．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，，进而求出，结合，利用即可证明结论； （2）由（1）知，可得，推出，过点作于点，根据是等边三角形，求出，即可解答； （3）先证明是等边三角形，过点作于点，求出，求出，当时，有最小值，此时的面积最小，同理（2）求出此时即可解答． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，此时的面积最小， 同理（2）得此时， ∴． 题型05.添条件使四边形是菱形 13．如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件_____，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理． 添加条件：，首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可得到四边形是菱形． 【详解】添加条件：. ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得． 【详解】解： ①，不能作为构成菱形的条件； ②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； ③时，平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 15．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 题型06.证明四边形是菱形 16．矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】首先由，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 17．如图，在中，O为的中点，点E，F分别在，上，经过点O，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）根据菱形的性质得，，再根据勾股定理求出，然后说明是的中位线，最后根据中位线的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，即． 在中，． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18．在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，由旋转知，， ∴ ， ∴三点共线．当时， ∴， ∵， ． ∴ ， ∴在上． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵． (2)证明：∵， ∴ ，由旋转得 ， ∴， ∴A、C、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ 是菱形． (3) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质和旋转的性质，确定和的对应边长度关系；再通过三角形内角和公式计算对应角的度数，找到两组对应边相等且夹角相等的条件，最后用全等判定定理完成证明． （2）证明，A、C、三点共线，证明，得，得，由，得，由，得，得，得，得，可得四边形是菱形． （3）过、B作，垂足为G，H，首先根据和的面积相等，推导出，可证明，得，过点作，交直线于点，连接，可得，由四边形为菱形，得，证明，得，可得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：分别过、B作，垂足为G，H， 则 ， ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 过点作，交直线于点，连接， 则， ∵ ， ∴， 由（2）知四边形为菱形， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 题型07菱形性质与判定求角度 19．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 20．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 21．如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质、三角形全等的判定与性质．解题关键是利用菱形性质得到边和角的关系． 通过利用中位线定理证明得出对应角相等，再结合菱形角的性质进行等量代换． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 题型08.菱形性质与判定求线段长 22．如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点，由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，则，，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形，则，，利用勾股定理可得．利用等面积法可得，由勾股定理可得，则，即可得到． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点． 由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ， 由平行四边形的性质可得， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：． 23．如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，证明四边形为菱形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出的长，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵交于点F，E为的中点， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 24．如图，是斜边上的中线，，以，为边作四边形，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】（）先证明，又，即，所以四边形是平行四边形，然后通过，即可证明四边形是菱形； （）连接交于点，过作，交延长线于点，则，由菱形性质可得，，，，然后证明四边形是矩形，所以，，可得是的中位线，所以，在由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴的长为． 题型09.菱形的性质与判定求面积 25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 26．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 27．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 题型10.菱形与坐标系综合 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交x轴于点M，根据菱形的性质得出，点A、的横坐标为：，再由菱形的面积得出，确定，即可求解 【详解】解：连接交x轴于点M，如图所示： ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A、的横坐标为：，， ∵四边形是面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为 29．如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，用菱形对角线、边的性质，求出两边、的长度，再求出的长，进而推出点的坐标． 【详解】解：如图，连接，交于点． 四边形是菱形 ， 在 中， 点的坐标为． 30．如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 【答案】 【分析】取的中点E，连接、，，，根据三角形三边关系有，即O、E、B三点共线时取得最大值，求出最大值即可． 【详解】解：取的中点E，连接、，，， ∵， ∴当O、E、B三点共线时取得最大值， 菱形边长为2，， ，，为等边三角形， ，， ，   ∴点B到原点O的最大距离为． 31．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数关系式； (3)的值为． 【分析】（）过作轴于点，由菱形的性质可得，，证明，所以，，可得，然后通过勾股定理求得，则点，然后通过待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以，然后通过即可求解； （）过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，，，所以，，通过，，得，所以，设，，则，，，可得，所以，设，则，，求得，利用待定系数法求出直线解析式为，从而得，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ， ∴与的函数关系式； （3）解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 题型11.菱形中的折叠问题 32．如图，在边长为1的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点F，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，，根据勾股定理求得，再由，可得． 【详解】解：∵在边长为1的菱形中，，为边上的高， ∴根据折叠易得为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 33．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出A坐标，再表示出D点坐标，根据列方程求解． 【详解】如图，过D作轴于G ， 由题意可知菱形边长为5，故 ，， ， 由勾股定理得，故， ， 设直线的解析式为， 把代入，解得, 直线解析式为， 设， 由折叠性质和知 ， 又轴， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， ． 34．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 35．如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； (2)如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又为边的三等分点， ， 由折叠可知，，则， ， 由三角形外角性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，则， ； (3)的长为 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，则， 由折叠可知：，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）略 （3）解：由折叠可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 如图，延长交于， 则， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， 平行四边形的面积为24，，即， ，则， ． 题型12.菱形中的动点问题 36．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为． 37．如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据菱形的四条边都相等可知，微型机器人行走一周的路程为8米，用2026除以8，再根据余数确定停靠的点即可． 【详解】解：两个全等菱形的边长为1米， 一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为（米）， ， 行走2026米与行走2米后停下的点相同， 由图可知，行走2米后停在点， 这个微型机器人停在点． 38．如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 【答案】 【分析】过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，证明四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，由对称的性质得，，求出，，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，利用勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点， 在菱形中，，即， ∵， ∴，即， 由对称的性质得，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由对称的性质得，， ∴， ∴，， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，即菱形的边长是． 39．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， 根据轴对称可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍）， 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 题型13.菱形中的最值问题 40．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 41．如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，交于点，证明均为等边三角形，等积法得到，进而得到当即点与点重合时，之和最小为的长，即可. 【详解】解：连接，，交于点， 在菱形中，，， ∴，，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，之和最小， ∵点P为对角线上的任一点， ∴当，即点与点重合时，之和最小，为的长， ∴之和的最小值为． 42．如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，此时的值最小，最小值为的长．证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 43．如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 【答案】 【分析】分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称， 连接 取点A关于的对称点，连接 在中， 由三角形三边关系可得：， ，， ， 当P、、在同一直线上时， 有最大值 连接交于点O， ，， ∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为． 题型14菱形与勾股定理综合 44．如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，利用菱形的性质可得且，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，点是它的对称中心， ，， ，， 在中，． 45．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质求出的长度，再利用等面积法求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得． 46．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相平分可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理求出菱形的边长；在中利用勾股定理求出的长，进而得到对角线的长；最后利用菱形面积的两种计算方法建立等式求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，对角线交于点， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 47．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点， ． ， ， 于点于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， ∴四边形是矩形； (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点F，于点G，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，利用矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． ∵四边形是矩形， ∴． 题型15.菱形的实际应用问题 48．中国结寓意团圆、美满，在我们贵州，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小阳家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了贵州少数民族传统图案．如图为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（  ） A．16 B．18 C．19.2 D．20 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，先求得菱形的边长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 49．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】由菱形的性质推出，， ，由勾股定理求出的长，由列式计算可得的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ， ， ，即， ． 50．如图，木制活动衣架由三个全等的菱形组成，在、、、、、处安装上下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在、处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，那么、之间的距离为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据四边形是菱形求出的长，然后根据勾股定理求出的长，于是可以求出、两点的距离． 【详解】解：连接，交于点． 四边形是菱形， ，， ， ， ． 51．王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 【答案】(1)4 (2)菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，即可求出长方形客厅的宽的长度； （2）连接交于O，根据菱形的性质，勾股定理等可求出，即可求出需要菱形瓷砖①的数量，根据矩形边上需要三角形的特征可求出需要切割的菱形瓷砖②的数量． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由图知：； （2）解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵客厅长为， ∴， ∴需要菱形瓷砖①的数量为（块）， 由图可知：长方形客厅的宽和需要切割的菱形瓷砖②的数量为5块，其中4块瓷砖沿较短的对角线切割一分为二，1块瓷砖沿对角线切割一分为四； 长方形客厅的长和需要切割的瓷砖②为（块），瓷砖沿较长的对角线切割一分为二， ∴需要切割菱形瓷砖②的数量为（块）， 即菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块． 题型16.菱形中旋转问题 52．如图，在菱形中，，是边上一点，将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处，连接，交对角线于点．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】证明为等边三角形，可得，，证明为等边三角形，，可得，过点作交于，证明为等边三角形，可得，证明，可得 ，再进一步可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，掌握上述知识，数形结合分析是解题的关键． 53．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长． 先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 54．如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵把绕点旋转后得到， ∴，，即A、O、C共线，B、O、D共线， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据旋转的性质得到，，可知，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 题型17.多结论判断题 55．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误． 【详解】解：对于①：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，故①正确； 对于②：由折叠的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴当点落在上时，点与点重合， 又∵菱形关于直线对称， ∴此时点与点重合， ∴四边形即菱形，故②正确； 对于③：由①可知，， ∴为钝角， ∴，仅当点、、三点重合时取等号， ∴的最小值为2，故③正确； 对于④：如图，设与的交点为， 由折叠的性质可得，， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有3个． 56．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 57．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：，；四边形是菱形；若，，则；若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是平行四边形得，，由此可对结论进行判断；根据，得是的垂直平分线，进而得，，证明和全等得，继而得，由此可对结论进行判断；依题意得，证明得，再证明和全等得，进而得，则，，在中，由勾股定理得，由此可对结论进行判断；过点作于点，根据菱形性质得，证明是等边三角形得，，在中，由勾股定理得，则，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，根据是的垂直平分线得，则，由此可得的最小值为，据此可对结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故结论正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论正确； ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，故结论不正确； 过点作于点，连接，如图所示， ∴和都是直角三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得， ∴的最小值为， ∴的最小值为，故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 题型18.菱形中的存在性问题 58．如图，等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设运动时间为t，当t为（    ）时，以A，F，C，E为顶点的四边形是菱形？ A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和勾股定理等知识点，过点A作于点D，结合已知条件及勾股定理求得和，分以下两种情况：当点F在点C的左侧时，有和，则，结合平行线的性质当时，四边形是平行四边形，列出等式解得，进一步验证 ，不满足菱形的条件；②当点F在点C的右侧时，有和，则，同理解得，经过验证满足以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 【详解】解：过点A作于点D，如图， ∵等边三角形中，， ∴， ①当点F在点C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：， 此时， ，不能构成菱形； ②当点F在点C的右侧时，如图， 根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 此时， ， ∵， ∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形， 故选D． 59．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，．连接，，当四边形为菱形时，线段的长为_____． 【答案】3 【分析】在矩形中，可得，，设，则，由四边形为菱形，得，在中由勾股定理得求解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 60．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】(1)； (2)或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； （2）解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形定义，明确其与平行四边形的从属关系。 2.精准掌握菱形边、角、对角线、对称性四大性质，吃透菱形两类面积计算公式。 3.熟练区分三种判定方法，厘清判定前提条件，规避概念混淆误区。 4.梳理菱形与平行四边形、矩形的知识关联，搭建完整知识框架。 1.能结合图形运用性质完成线段、角度的基础计算。 2.可根据题干条件灵活选取判定定理，完成几何推理与证明。 3.提升识图、析图能力，学会拆解组合图形，转化复杂问题。 4.培养逻辑推理、数形结合与规范书写几何步骤的能力。 1.吃透期末常考基础题型，选择、填空做到零失误。 2.攻克性质计算、判定证明两大核心大题，掌握标准解题格式。 3.突破菱形与三角形、平行四边形结合的综合压轴小题，总结解题套路。 4.辨析高频易错点（判定条件误用、面积公式混用等），减少失分。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与勾股定理综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形性质（必背，计算、证明核心依据） (一）继承平行四边形的通用性质 边：对边平行、对边相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分 对称：中心对称图形，对称中心为对角线交点 （二）菱形独有性质（重点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 补充：内角不一定是直角（和矩形核心区别） 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:三大判定定理（证明题核心，严格区分前提） 分两类思路：先证平行四边形，再证菱形、直接证菱形. 致命误区：对角线互相垂直的四边形≠菱形，缺少 “平行四边形” 条件，命题不成立，选择、证明题高频丢分点。 知识点05:菱形与矩形对比 对比维度 矩形 菱形 定义核心 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 边角特征 四个角均为直角，邻边不一定相等 四条边全部相等，内角不一定是直角 对角线性质 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直、平分，且平分一组对角 面积计算 仅可用：底 × 高 底 × 高 或 两对角线乘积 对称性 轴对称 + 中心对称，共 2 条对称轴 轴对称 + 中心对称，共 2 条对称轴 知识点06:高频易错点汇总（期末重点强调） 1.判定定理漏写 “平行四边形” 前置条件； 2.混淆菱形、矩形的对角线性质； 3.矩形误用 “对角线乘积一半” 求面积； 4.误认为对角线互相垂直的四边形就是菱形； 5.几何证明步骤不规范，定理书写不严谨。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，点在边上，若，则_____． 2．如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 5．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 6．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 题型03.菱形的性质求面积 7．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 8．如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为________，菱形ABCD的面积为________． 9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，，，求菱形面积． 题型04.菱形的性质证明 10．如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 11．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 题型05.添条件使四边形是菱形 13．如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件_____，使四边形是菱形． 14．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 15．按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 题型06.证明四边形是菱形 16．矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 17．如图，在中，O为的中点，点E，F分别在，上，经过点O，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 18．在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 题型07菱形性质与判定求角度 19．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    20．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 题型08.菱形性质与判定求线段长 22．如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 23．如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 24．如图，是斜边上的中线，，以，为边作四边形，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型09.菱形的性质与判定求面积 25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 26．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 27．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 题型10.菱形与坐标系综合 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 29．如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 30．如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 31．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 题型11.菱形中的折叠问题 32．如图，在边长为1的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点F，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 35．如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； (2)如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 题型12.菱形中的动点问题 36．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 37．如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 38．如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 39．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 题型13.菱形中的最值问题 40．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   　 ） A．3 B．2 C． D． 41．如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 42．如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 43．如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 题型14菱形与勾股定理综合 44．如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 45．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 46．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 47．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求长． 题型15.菱形的实际应用问题 48．中国结寓意团圆、美满，在我们贵州，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小阳家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了贵州少数民族传统图案．如图为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（  ） A．16 B．18 C．19.2 D．20 49．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（   ） A． B． C．4 D．3 50．如图，木制活动衣架由三个全等的菱形组成，在、、、、、处安装上下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在、处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，那么、之间的距离为________． 51．王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 题型16.菱形中旋转问题 52．如图，在菱形中，，是边上一点，将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处，连接，交对角线于点．若，，则的值为______． 53．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 54．如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 题型17.多结论判断题 55．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 57．如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：，；四边形是菱形；若，，则；若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 题型18.菱形中的存在性问题 58．如图，等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设运动时间为t，当t为（    ）时，以A，F，C，E为顶点的四边形是菱形？ A．3 B．4 C．5 D．6 59．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，．连接，，当四边形为菱形时，线段的长为_____． 60．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $