专题08数据的分析期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题08数据的分析期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平均数、中位数、众数的概念，分清三者定义与区别。 2.掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，明确加权平均数中权的意义。 3.了解方差、极差的含义，熟记方差计算公式，理解数据波动与方差的关系。 4.能区分集中趋势、离散程度两类统计量，理清整章知识体系。 1.能根据一组数据，熟练计算平均数、中位数、众数、极差、方差。 2.会结合实际情境，合理选择统计量分析数据、描述数据特征。 3.能利用方差判断数据波动大小，对比两组数据的稳定性。 4.提升数据分析、读图读表、用统计知识解决实际问题的能力。 1.选择、填空题型做到计算准确、概念不混淆，基础题零失分。 2.熟练解答统计计算大题，规范书写解题步骤与结果。 3.掌握图表类题型（统计表、条形图、折线图）的数据提取与运算。 4.攻克方案选择、数据分析说理类综合题，规避概念理解、计算类易错点。 题型01.求一组数据的平均数 题型02.由平均数求未知数据的值 题型03.利用平均数做决策 题型04.由平均数求相关数据的平均数 题型05.求加权平均数 题型06.由加权平均数求未知数据的值 题型07.加权平均数做决策 题型08.求中位数 题型09.用中位数求未知数据的值 题型10.用中位数做决策 题型11.求众数 题型12.用众数求未知数据的值 题型13.运用众数做决策 题型14.求离差平方和 题型15.求方差 题型16.利用方差求未知数据的值 题型17.根据方差判断稳定性 题型18.运用方差做决策 题型19.求四分位数与画箱线图 题型20.选择合适的统计量并做决策 知识框架总览 两大核心板块： 集中趋势统计量：算术平均数、加权平均数、中位数、众数（描述数据整体平均水平、一般水平） 离散程度统计量：极差、方差（描述数据波动大小、稳定性） 集中趋势三兄弟（平均数、中位数、众数） 知识点01: 数据的集中趋势（重点必考） (一)算术平均数（普通平均分） 含义：所有数据求和后除以个数，反映整组数据整体平均水平。 公式：=​ 特点 用到每一个数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据） 影响； 是日常最常用的统计量。 （二）加权平均数（本章重难点，高频考点） 1.概念 当各个数据的重要程度不同时，需给数据赋予 “权”，计算得到的平均数即为加权平均数。 权：反映数据所占比重、频次、重要程度，形式可为整数、百分数、比值。 2.公式 若数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 3.常见考法:成绩计分、综合评分、商品单价、样本统计等，权越大，对应数据对结果影响越大。 4.易错提醒：区分普通平均数与加权平均数，不可直接套用算术平均数公式。 (三）中位数 1.定义 将一组数据从小到大（或从大到小） 有序排列后： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特点 只和数据排列位置有关，不受极端值影响； 代表数据的 “中等水平”。 3.解题关键：先排序，再找中间数（学生最易忽略排序步骤）。 (四）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.补充说明 (1)一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数； (2)只关注数据出现频次，与数据大小、位置无关，不受极端值影响； (3)代表数据的 “多数水平”。 （五）集中趋势四大统计量对比表 统计量 核心意义 优点 缺点 适用场景 算术平均数 平均水平 利用所有数据，信息全面 易受极端值干扰 数据分布均匀、无极端值 加权平均数 综合平均水平 体现数据权重差异 计算稍复杂 评分、评比、比例类问题 中位数 中等水平 不受极端值影响 不能利用全部数据信息 数据有极端值、偏态数据 众数 多数水平 简单直观，不受极端值影响 有时不唯一 关注出现频次、日常销量、尺码等 知识点02: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）极差与方差对比 统计量 计算难度 反映程度 受极端值影响 极差 简单 粗略（仅看最值） 影响大 方差 复杂 精准（反映整体波动） 影响较小 知识点03:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 知识点04:期末常考题型 + 解题思路（适配复习课） 题型 1：基础计算题（选择、填空） 考查：平均数、中位数、众数、极差、方差直接计算 思路：熟记公式，细心运算；求中位数必先排序。 题型 2：加权平均数应用题（中档解答题） 考查：考试评分、岗位考核、商品混合、比例问题 思路：找准数据和对应权重，严格套用加权平均数公式。 题型 3：统计量选择与分析（说理题） 考查：结合实际场景，分析选用哪种统计量更合理 思路：根据特点判断：有极端选中位数、看频次选众数、求整体平均选平均数。 题型 4：两组数据对比（方差应用，高频大题） 考查：计算两组数据方差，判断稳定性、择优选择 思路：先算平均数→再算方差→根据方差大小判定稳定性，最后规范写结论。 题型 5：图表结合题（统计表、条形图、折线图） 考查：从图表中提取数据，再完成各类统计量计算 思路：先读图、读表，整理出完整数据组，再按对应公式计算。 题型 6：数据变换规律题（拔高小题） 考查：数据整体加减、乘除后，平均数与方差的变化 思路：直接套用前文数据变化规律，快速判断结果。 题型01.求一组数据的平均数 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 2．甲、乙、丙、丁四人参加某次比赛．甲、乙两人的平均成绩为89分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为_______分． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数，先求出丙和丁的成绩，再根据平均分总分数人数，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：丙的成绩为：（分）， 丁的成绩为：（分）， 故他们四人的平均成绩为（分）， 故答案为：． 3．设的平均数为M，的平均数为N，N、c的平均数为P，若，则M与P的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式加减运算、平均数及不等式的性质，熟练掌握整式加减运算及不等式的性质是解题的关键；由题意易得，，，则有，然后进行作差，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．检验某厂生产的手表质量时，检验人员随机抽取了10块手表，在下表中记下了每块手表的日走时误差（正数表示比标准时间快，负数表示比标准时间慢）．你认为用这10块手表走时误差的平均数来衡量这10块手表的精度合适吗？ 手表序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日走时误差/s 0 1 0 2 4 2 【答案】 不合适 【分析】先计算出这组走时误差的平均数，再结合平均数的特点判断其能否衡量手表精度即可. 【详解】解：这10块手表走时误差的平均数， 故平均数会让正负误差相互抵消，无法反映这10块手表走时误差的实际波动大小， 衡量精度需要体现走时误差偏离标准时间的程度， 故用平均数衡量这10块手表的精度不合适. 题型02.由平均数求未知数据的值 5．黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】D 【分析】根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得． 6．下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算：________，________． 【答案】 6 7 【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可． 【详解】解：由题意，得： ， 解得：． ∴． 7．在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 【答案】A 【分析】本题考查根据平均数求未知数据的值，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，这些数是连续自然数，无论剩多少数，他们的和显然是整数，再结合剩下的数的平均数是，可知剩下数的个数应是13的倍数才能保证剩下数的和为整数，从而分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当剩下13个数时，剩下数的总和为，而原来14个数的和为，，显然不满足； 当剩下26个数时，剩下数的总和为，而原来27个数的和为，，满足题意； 当剩下39个数时，剩下的数总和为，而原来40个数的和为，，显然不满足； 当剩下52个数时，剩下的数总和为，而原来21个数的和为，，显然不满足； 故选：A． 题型03.利用平均数做决策 8．数学测验后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的成绩，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小明的分数比小华的分数低 B．小明的分数比小华的分数高 C．小明的分数和小华的分数相同 D．小华的分数可能比小明的分数高 【答案】D 【分析】根据平均数的定义进行分析即可求解． 【详解】解：根据平均数的定义可知，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，小明的分数可能高于128分，或等于128分，也可能低于128分，小华的分数可能高于126分，或等于126分，也可能低于126分， 所以上述说法比较合理的是小华的分数可能比小明的分数高． 故选：D． 【点睛】本题考查的是算术平均数，它是反映数据集中趋势的一项指标． 9．数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 【详解】解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 10．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85  88  84  85  83 乙：83  87  84  86  90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 【答案】(1)甲85，乙86 (2)乙 【分析】本题主要考查了平均数：平均数表示一组数据的平均程度． （1）根据平均数的公式计算，即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：因为， 所以选派乙参加合适． 题型04.由平均数求相关数据的平均数 11．若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是________ 【答案】8 【分析】本题考查了求平均数． 根据平均数的定义，原数据之和为50，新数据每个加3，和增加30，再求平均数． 【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为． 新数据之和为． 新数据的平均数为． 故答案为：． 12．已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为：． 13．已知两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2，则x1＋3y1，x2＋3y2，…，xn＋3yn的平均数为（    ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2，列出式子，然后求解即可． 【详解】解：两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2 可知， ∴x1＋3y1，x2＋3y2，…，xn＋3yn的平均数为 故答案为：A 【点睛】本题考查了平均数的求解，解题的关键是掌握平均数的求解方法，利用整体代入求解． 题型05.求加权平均数 14．某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】分别用每个项目的成绩乘以其权重，再将所得结果相加即可得到总成绩． 【详解】解：小明的模拟训练成绩． 15．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 【答案】88.5 【分析】根据已知的三项成绩和权重比例，代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小万的分数分别是90分、95分、85分，三项成绩的权重比为， ∴最终成绩 ， 故答案为：． 16．2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕．运动会后某校兴趣小组统计了九年级三个班级所有同学在运动会期间的平均观看时间，结果如下表： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 4 2 3 并计算出这三个班级在运动会期间平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（   ） A．40人、40人、40人 B．44人、36人、40人 C．45人、35人、40人 D．34人、46人、40人 【答案】D 【分析】根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：观察A，B，C，D四个选项，可以发现总人数都是120人， ∴3个班级的平均人数为40人，我们将人数看成权，对于选项A，权相等，平均观看时间为，不符合题意； ∵平均观看时间小于， ∴2班的权重应该比1班的大， 从4个选项来看，只有D符合． 17．某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 【答案】至少要考87分 【详解】解：平时测验的平均成绩为：， 设期末考试成绩为分， 由题意得， 解得， 那么期末考试这位同学至少要考87分． 题型06.由加权平均数求未知数据的值 18．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 19．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 20．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． (1)求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【答案】(1)笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和 (2)2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号 【分析】（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据综合成绩为88分列方程组求解即可， （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出2号选手，3号选手的综合成绩，比较得出排名． 【详解】（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据题意得： 解得： 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和． （2）解∶ 2号选手的综合成绩为：， 3号选手的综合成绩为：， 号选手第一，3号选手第二，1号选手第三， 答：2号选手的综合成绩为89.6，3号选手的综合成绩为89.2，根据综合成绩排名第一名是2号． 【点睛】考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提． 题型07.加权平均数做决策 21．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】权重大小对应测评项目的重要程度，重要性越高，权重越大，根据题干给出的四个项目的重要程度要求，即可判断符合条件的权重设计． 【详解】解：∵本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之， ∴“动作规范”权重最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”权重最低， 观察各选项，只有选项A，，满足权重要求，符合题意． 故选：A． 22．小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是_____． 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算，分别计算每个景区的加权平均分，比较后确定最高分的景区即可得出答案． 【详解】解：景区A的总评分：； 景区B的总评分：； 景区C的总评分：； ∵， ∴景区A总分最高， ∴他最终选择的景区是A． 故答案为：A． 23．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 【答案】B 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案． 【详解】甲的最终得分为：， 乙的最终得分为：， 丙的最终得分为：， ∴乙的最终得分高，乙将被录用． 故选：B 题型08.求中位数 24．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（     ） A．68次/分 B．69次/分 C．70次/分 D．72．5次/分 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解，即可． 【详解】解：∵把这15个数据从小到大排列，位于第8个数据为70， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分． 25．某校男子队队员的年龄分布如下表所示： 年龄（岁） 人数 则这些队员年龄的中位数是____________岁． 【答案】 【分析】先求出总人数，再根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵共有人， ∴中位数是第、个数的平均数， ∴这些队员年龄的中位数是． 26．已知某中学排球队6名上场队员的身高分别是：171cm，175cm，178cm，180cm，182cm，183cm．现用两名身高是176cm和183cm的队员分别换下场上身高为171cm和182cm的队员，与换人前相比，6名上场队员的身高数据不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】分别对比换人前后各统计量即可得到结果． 【详解】解：∵换人前原数据从小到大排序为：171，175，178，180，182，183，数据个数为6， ∴原中位数为；原数据所有数都只出现一次，无众数；换人前后数据总和改变，因此平均数改变． 换人后新数据从小到大排序为：175，176，178，180， 183， 183， ∴新中位数仍为，中位数不变； 新数据中183出现两次，众数变为，众数改变； 方差由数据和平均数决定，平均数和数据都发生改变，因此方差改变． ∴不受影响的统计量是中位数． 27．判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数． (2)n个数的平均数一定是这n个数中的某一个． (3)将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数． (4)n个数的中位数一定是这n个数中的某一个． (5)如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数． (6)如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个． 【答案】(1)正确 (2)不正确，反例：数据1,2的平均数为1.5，不是这组数据中的某一个 (3)正确 (4)不正确，反例：数据1,2,3,4的中位数为2.5，不是这组数据中的某一个 (5)正确 (6)正确 【详解】（1）解：n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数，说法正确； （2）解：n个数的平均数一定是这n个数中的某一个，说法不正确， 反例：数据1,2的平均数为1.5，不是这组数据中的某一个； （3）解：将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数，说法正确； （4）解：n个数的中位数一定是这n个数中的某一个．说法不正确， 反例：数据1,2,3,4的中位数为2.5，不是这组数据中的某一个； （5）解：如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数，说法正确； （6）解：如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个，说法正确． 题型09.用中位数求未知数据的值 28．若4个数5，x， 8， 10的中位数为7， 则_____ ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了利用中位数求未知数据的值，根据中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵5， x， 8， 10的中位数为 7， ∴ 解得． 故答案为： 6． 29．某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从三款杯子中挑选1款作为第6款，再从两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位数的定义进行求解． 【详解】解：根据题意得，前5款杯子的价格中位数恰好为50元， ∴第6款和第7款价格都为50元，或者一个大于50元，且另一个小于50元， ∴组合满足条件． 30．为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：，，，，，，， ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)2200百万元 【分析】本题主要考查了求中位数以及平均数的意义． （1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解； （2）根据乙城市的平均数可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数， ∵有3家，有7家，有8家， ∴ （2）由题意得： （百万元）； 答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元． 题型10.用中位数做决策 31．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 92.5 95.5 41.25 乙班 92.5 90.5 36.06 统计学知识分析________班成绩较好，理由是_______． 【答案】 乙或甲 甲乙两班平均水平一样，但乙班方差小，成绩比较均衡或甲乙两班平均水平一样，但甲班中位数大，高分段人数多 【分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答即可得出答案．此题考查了平均数、中位数和方差，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 【详解】解：观察表格数据得甲班和乙班的平均成绩是分，甲班成绩的方差是41.25分，乙班成绩的方差是36.06分， 则乙班方差小，成绩比较均衡； 或甲班成绩的中位数是95.5分，乙班成绩的中位数是90.5分， 则甲班中位数大，高分段人数多（答案不唯一） 故答案为：乙或甲；甲乙两班平均水平一样，但乙班方差小，成绩比较均衡或甲乙两班平均水平一样，但甲班中位数大，高分段人数多（答案不唯一）． 32．某工厂生产两种型号的零件和，它们的抗压强度（单位：）数据的四分位数如下表所示： 型号 下四分位数/ 中位数/ 85 92 78 88 若工程要求零件抗压强度至少达到，且希望数据稳定性较高（波动较小），应优先选择零件__________（填“”或“”），理由：___________________________________________________． 【答案】 A 因为其中位数高于，且数据分布更集中 【分析】本题考查下四分位数与中位数的综合应用，熟悉下四分位数与中位数的意义是解决问题的关键． 比较两种零件的中位数与工程要求的关系，并利用下四分位数与中位数的差值评估数据稳定性． 【详解】解：工程要求抗压强度至少，零件的中位数为，高于，表明至少的零件满足要求； 零件的中位数为，低于，表明少于的零件满足要求。 同时，零件的下四分位数与中位数的差值为， 零件的差值为， 零件的差值较小，说明其抗压强度数据更集中，波动更小，稳定性更高． 故优先选择零件． 故答案为：，因为其中位数高于，且数据分布更集中． 33．某校举办诗歌朗诵比赛，评委老师根据参赛选手的预赛成绩，计划选出成绩前选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛．后来工作人员发现少统计了两个选手的成绩，更正统计结果后，小颖不能进入决赛．关于更正统计结果后的预赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．更正统计结果后预赛成绩的中位数变大 B．更正统计结果后预赛成绩的平均数变大 C．更正统计结果后预赛成绩的方差变大 D．更正统计结果后预赛成绩的众数变大 【答案】A 【分析】本题考查了中位数的定义，掌握中位数的定义是解题的关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义，即可判断答案． 【详解】解：因为计划选出成绩前的选手进入决赛，小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛，所以排在第9名的成绩大于中位数，又因为更正统计结果后，小颖不能进入决赛，所以更正统计结果后，中位数变大了，使得小颖排在了中位数之后了，与平均数，方差，众数无关． 故选：A． 题型11.求众数 34．某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．174，175 B．175，176 C．176，176 D．176，177 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取最中间的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，根据定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：170，172， 172，174，176， 176，176，180，190 ∵这组数据共9个，为奇数个，中位数是排序后第个数， ∴中位数为176； ∵176在这组数据中出现次数最多，共出现次， ∴众数为176． 35．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是，平均数是．那么这组数据的方差是______． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 【答案】 【分析】本题考查了方差、众数、平均数，关键是熟练计算； 根据众数为和平均数为，确定被墨汁覆盖的三天数据为两个和一个，进而计算所有数据的方差． 【详解】解：设被覆盖的三天数据为， ∴ ∵众数为13，且已知数据中出现一次， ∴ 中至少有两个， 设，则， 所有数据为， ∴平均数： ， ∴方差． 故答案为：． 36．在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查众数和上四分位数的概念，找到出现次数最多的数和上四分位数的概念是解题的关键． 首先明确众数是出现次数最多的数据，再明确上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数，再通过计算位置并查找累积频数确定即可． 【详解】∵ 视力4.7的人数为11人，是体检中的最多人数， ∴ 众数为4.7； ∵ 总人数， ∴上四分位数的位置在， ∴上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数， ∵视力不高于4.7的人数为25人，视力不高于4.8的人数为34人， ∵ ， ∴上四分位数为， 故选：B． 37．在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． (1)①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； (2)学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 【答案】(1)①；②中位数为9，众数为9 (2)①甲同学的达标率为，乙同学的达标率为；②甲同学的总得分为6分，乙同学的总得分为9分 【分析】（1）①求出甲同学次引体向上测试成绩的平均数，即可求解；②根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据达标率的意义解答即可；②根据按“达标一次计分，优秀一次额外加分”，解答即可． 【详解】（1）解：①甲同学次引体向上测试成绩的平均数为 ， ∵甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同， ∴乙同学次引体向上测试成绩的平均数为8， ∴乙同学第次测试成绩为次， 补全条形统计图，如答案所示∶ ②把乙同学次引体向上测试成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，位于正中间的是9， ∴乙同学次引体向上测试成绩的中位数为9， ∵9出现的次数最多， ∴乙同学次引体向上测试成绩的众数为9； （2）解：①甲同学的达标率为， 乙同学的达标率为； ②甲同学的总得分为分， 乙同学的总得分为分． 题型12.用众数求未知数据的值 38．已知一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数是______． 【答案】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，根据众数的定义确定的值和掌握确定中位数的方法是解答本题的关键．根据众数的定义可得，再将数据按大小顺序排列，最后确定中位数即可． 【详解】解：根据题意，． 将这组数据从小到大排列为：，，，， 所以中位数为． 故答案为：． 39．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定、、、、这组数据的众数，进而根据平均数的定义求出n的值，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是． 40．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】解：由题图数据可知，年龄小于14岁的有人，大于14岁的有人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有3人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 题型13.运用众数做决策 41．为确定最受学生青睐的课后服务项目，某学校对全体学生青睐的课后服务项目进行了调查，在这些调查数据里，最值得重点关注的统计量是（   ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据题意，需要找出被最多学生选择的项目，结合各统计量的定义判断即可. 【详解】∵ 要确定“最受学生青睐的课后服务项目”，即需要找出调查数据中出现次数最多的项目， 又∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数，其余统计量均不能反映这一特征， ∴ 最值得重点关注的统计量是众数， 故选 A. 42．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是________元． 【答案】 【分析】老师问到每个同学的概率是一样的，结合众数的概念，我们可以知道老师最有可能得到的回答就是出现次数最多的那个数额. 【详解】解：老师问到每个同学的概率是一样的，结合众数的概念，我们可以知道老师最有可能得到的回答就是出现次数最多的那个数额,在这组数据中出现次数最多的数字是5，即众数是5，所以答案是5. 【点睛】本题主要考查学生对众数概念和意义的理解掌握，考查学生将实际应用和统计数据相联系的解题能力. 43．学校附近小卖部老板在清点库存时发现，某种零食草莓味卖得最多，他考虑以后采购该种零食要多进草莓味的，他参考的是下列统计量中的（    ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量的实际应用，需根据各统计量的定义判断其适用场景． 【详解】解：方差反映数据的离散程度，与销量多少无关，排除A． 平均数代表整体平均水平，但可能受极端值影响，无法直接体现销量最多的口味，排除B． 中位数是数据中间位置的数值，反映中间水平，与销量最多无关，排除C． 众数是一组数据中出现次数最多的值．题干中“草莓味卖得最多”表明该口味销量出现次数最多，符合众数的定义．因此，老板参考的是众数， 故选D． 44．4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某校为增强学生的节能降碳环保意识，组织全校学生参加了节能降碳环保知识竞赛（满分：100分），并在赛后随机抽样调查了甲、乙两个班各10名学生的成绩（单位：分），甲、乙两班人数相同，记录如下： 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：64，70，75，79，79，83，83，83，89，95； 乙班10名学生竞赛成绩：67，72，73，75，83，85，85，85，85，90． 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 a 71.6 乙班 80 b 85 51.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中：_________，_________； (2)若成绩高于80分为优秀，则估计甲、乙两班共100名学生中成绩达到优秀的学生共有_________人； (3)小明认为抽取的甲、乙两个班竞赛成绩的平均数一样，所以两个班的学生对节能降碳环保知识的掌握情况肯定相同．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)83，84 (2)55 (3)他说的不对． 理由：两个班竞赛成绩的平均数一样，但乙班的中位数、众数均比甲班高，所以两个班的学生对节能降碳环保知识的掌握情况不相同． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义计算即可； （2）用100乘以甲、乙两班的优秀率即可； （3）根据已知数据判断即可． 【详解】（1）解：根据众数的定义可知； ∵乙班10名学生， ∴中位数为从小到大第5、6个数的平均数， 即； （2）解：（人）； （3）解：他说的不对． 理由：两个班竞赛成绩的平均数一样，但乙班的中位数、众数均比甲班高，所以两个班的学生对节能降碳环保知识的掌握情况不相同． 题型14.求离差平方和 45．已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】2 【分析】根据离差平方和定义进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为 这组数据的离差平方和为． 46．数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________． 【答案】 44 【分析】本题考查了离差平方和的定义，掌握相应概念是解题的关键； 根据平均数的定义求出x的值，再计算各数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：数据之和为， ∵平均数为5， ∴， 解得． ∴这组数据的离差平方和为． 故答案为44． 47．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 48．现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 【答案】54 【分析】本题考查了组间离差平方和，熟练掌握组间离差平方和的计算方法是解题的关键； 先分别计算两组平均数，再计算两组的总平均数，然后计算两组数据的组间离差平方和． 【详解】解：组的平均数为， 组的平均数为， 两组的总平均数为． 故这两组数据的组间离差平方和为． 题型15.求方差 49．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照方差计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：平均数为：， 方差． 50．2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队参赛队员比赛成绩的中位数为______． 【答案】38 【分析】根据方差公式可得中国队6名队员的成绩，将成绩排序后根据中位数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据方差公式 ，可得中国队6名队员的成绩分别为个，个，个，个， 将成绩从小到大排列为：，，，，，. 一共有个数据，中位数为第个和第个数据的平均数， 因此中位数为． 51．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 52．2026春晚机器人不再是“伴舞工具”，而是能打、能演、能服务、能共情的“赛博演员”，覆盖武术、小品、歌舞、微电影，动作与交互全面升级．某科技公司生产了A，B两种聊天机器人，现对其对话流畅度进行测试．公司从报名参与测试的志愿者中选取20人，分成两个小组，每个小组10人，分别对机器人进行30分钟的对话流畅度测试，并对测试得分（10分为满分，8分或8分以上为优秀）整理、描述、分析如下： a．A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得分的折线统计图如下： b．A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得分的统计表如下： A机器人 B机器人 平均数 众数 8 方差 优秀率 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的_______，______． (2)表格中的值不可能为__________． A．4    B．8    C．10    D．9 (3)表格中c__________（填“”“ ”或“”）． (4)你认为A，B两种聊天机器人哪一种的对话更流畅？请说明理由． 【答案】(1)7； (2)B (3) (4)A种聊天机器人的对话更流畅，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和优秀率的公式解答即可； （2）根据众数的定义解答即可； （3）根据方差的公式求出c的值，即可； （4）根据平均数以及优秀率解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：根据题意得： A机器人得分中10分，9分，4分均出现2次，出现次数最多， ∴A机器人得分中的众数为10分，9分，4分， ∴表格中的值不可能为8； （3）解：根据题意得：， ∴ （4）解：A种聊天机器人的对话更流畅，理由如下： A种聊天机器人的平均得分和优秀率均高于B种聊天机器人的． 题型16.利用方差求未知数据的值 53．在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为________． 【答案】5 【分析】根据方差公式可求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由方差的公式可知， ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题考查了方差．解题的关键在于熟练掌握方差的计算公式． 54．方差公式S2[（6）2+（9）2+（14）2+（15）2+（16）2]，则公式中_____． 【答案】12 【分析】由方差公式可得这组数据为：6，9，14，15，16，由此即可求出平均数． 【详解】由方差的计算公式可得这组数据为：6，9，14，15，16， ∴平均数（6+9+14+15+16）＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了方差公式，根据题意得到这组数据并利用求平均数的公式求出平均数是解题的关键． 55．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 题型17.根据方差判断稳定性 56．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，身高最整齐的是（     ） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，数据越整齐，本题中各队人数和平均身高都相同，只需比较方差大小即可得到结果． 【详解】方差越小，数据波动越小，身高越整齐， 本题中四个队平均身高相同，人数相同，且 ， 甲队的方差最小，身高最整齐． 57．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义：方差越小，数据越稳定．观察折线统计图，比较甲、乙两名同学成绩的波动情况即可得出结论． 【详解】观察折线统计图可知，甲同学10次垫球成绩的折线起伏较小，乙同学10次垫球成绩的折线起伏较大， 根据方差的意义，数据的波动越小，方差越小，成绩越稳定， 因为甲同学成绩的波动小于乙同学成绩的波动， 所以该项目成绩比较稳定的是甲． 58．为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用方差的意义求解即可． 【详解】解：由折线图可知：甲的投篮投中数量分别为：8，9，8，7，8， 乙的投篮投中数量分别为：6，7，10，8，9， 由于甲的投中数量波动小， 则甲的方差较小，即． 59．为布局2026城市低空便民配送业务，某连锁商超准备在甲、乙两家无人机配送服务商中挑选一家长期合作，工作人员随机抽取10个社区点位，对两家公司进行综合评分，整理分析如下： a．配送准时率得分（满分10分） 甲：5，5，7，7，8，8，9，9，10，10；乙：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10 b．服务规范得分折线统计图（满分10分） c．配送准时率和服务规范得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中_________；方差大小关系：________（填“”“”或“”） (2)若商超优先看重稳定性，其次看重整体配送水平，请问应选择哪家公司？请说明理由． (3)若要进一步筛选合作企业，你认为还需要调查哪些信息？（写出两条即可） 【答案】(1)8， (2)解：选择乙公司，理由如下： 由（1）可知，，故乙公司的服务质量更稳定，且乙公司的配送速度得分的平均数高于甲公司，故应选择乙公司； (3)调查两家公司的无人机的数量，两家公司的收费情况（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据中位数的计算方法求出中位数，根据折线图判断波动情况，比较方差大小即可； （2）根据方差作决策即可； （3）收集两家公司的收费标准，无人机的数量等信息. 【详解】（1）解：甲的数据排序后，第5个和第6个数据均为8， ∴； 由折线图可知，甲的数据波动明显高于乙， ∴； （2）略 （3）略 题型18.运用方差做决策 60．某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大表示平均成绩越高，成绩越优秀，方差越小表示成绩波动越小，状态越稳定，先筛选平均成绩更高的小组，再比较方差得到结果． 【详解】解：∵成绩优秀要求平均成绩更高，即平均数越大越好，比较四个小组的平均数得， ∴乙、丙两组满足成绩优秀的要求， ∵状态稳定要求成绩波动小，即方差越小越稳定，比较乙、丙的方差得， ∴乙的方差更小，状态更稳定，因此应选择乙小组． 61．如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 62．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（     ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差 【答案】B 【分析】本题考查不同统计量的意义，该组数据存在极端值，需根据各统计量的特点判断能反映数据平均水平的量． 【详解】解：这组数据为1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，存在极端大值50. ∵ 平均数受极端值影响较大，计算得平均数为，远大于大部分数据的值，不能反映平均水平；众数为，数值过小，远小于大部分数据的值，不能反映平均水平；方差反映数据的波动程度，不能反映数据的平均水平； ∴ A、C、D不符合要求， 这组数据共10个数，中位数为排序后第5、第6个数的平均数，计算得，中位数不受极端值影响，能较好反映这组数据的平均水平． 63．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 (1)写出表中，的值； (2)在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； (3)根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 【答案】(1)， (2)第二批 (3)和 【分析】（1）为第二批月季花高度的中位数，是数据按大小顺序排列是第6、7个数据，为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据； （2）高度的整齐度就是数据的波动大小和离散程度，可通过计算方差来判断； （3）由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近． 【详解】（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数， 第二批有12个数据， ∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数， 从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134， ∴， ∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据， ∴． （2）解：第一批的方差为， 第二批的方差为， ， ∴第二批的高度的整齐度更好． （3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的， ∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近， ∵， 在第一批花树中，仅有 第一批去掉的两棵花树的高度为和． 题型19.求四分位数与画箱线图 64．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 【答案】39 【详解】解：∵将个数据从小到大排序可得， ∴上四分位数为的中位数， ∴上四分位数为：． 65．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 66．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 67．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 题型20.选择合适的统计量并做决策 68．某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据各统计量的含义即可选出正确答案． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，一组数据中有一半数据不大于中位数，一半数据不小于中位数；平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数值，方差反映数据的波动程度，这三个统计量都无法直接判断成绩是否超过全校一半学生； ∴小明需要判断自己的成绩是否超过全校一半学生，只需将自己成绩与中位数比较即可， ∴他最应该关注的统计量是中位数． 69．如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 70．要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________． 【答案】 小明 小明的成绩更稳定 【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择． 【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定． 故答案为：小明；小明的成绩更稳定． 【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小． 71．为备战学校运动会，体育老师对七（1）班擅长立定跳远的小明和小宇两位同学进行了5次测试，并把他们的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：两位同学5次得分的折线图 信息二：两位同学得分的平均数、中位数、众数、获奖率 平均数 中位数 众数 获奖率 小明 小宇 （说明：得分在9.0分以上能获奖） 根据以上信息，回答下面问题： (1)填空：________，________，________； (2)若从这两位同学中推荐一名同学参加校运动会，应该推荐哪位同学，并说明理由； (3)若该项目的校运动会纪录得分是分，班级推荐________同学参加比赛，有希望刷新纪录（填“小明”或“小宇”）． 【答案】(1)；； (2)推荐小宇同学，理由如下： ∵两位同学得分的平均数相同，但小宇同学的中位数和获奖率比小明高， ∴推荐小宇同学． (3)小明 【分析】（1）根据中位数、众数和获奖率的定义进行计算即可； （2）从平均数、中位数、获奖率的角度，评价两位同学的得分，即可得出结论； （3）比较两个同学的最高分，即可得出结论． 【详解】（1）解：小明同学的得分从小到大排列为：，，，，， 其中第三个数为， ∴小明同学得分的中位数为，即， 小宇同学的得分中，出现2次，出现的次数最多， ∴小宇同学得分的众数为，即， ∵小宇同学的得分中，有3次得分在9.0分以上， ∴小宇同学的获奖率为，即； （2）略 （3）解：∵小明同学有2次得分超过，而小宇同学所有成绩都在以下， ∴推荐小明同学参加比赛，有希望刷新纪录． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08数据的分析期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平均数、中位数、众数的概念，分清三者定义与区别。 2.掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，明确加权平均数中权的意义。 3.了解方差、极差的含义，熟记方差计算公式，理解数据波动与方差的关系。 4.能区分集中趋势、离散程度两类统计量，理清整章知识体系。 1.能根据一组数据，熟练计算平均数、中位数、众数、极差、方差。 2.会结合实际情境，合理选择统计量分析数据、描述数据特征。 3.能利用方差判断数据波动大小，对比两组数据的稳定性。 4.提升数据分析、读图读表、用统计知识解决实际问题的能力。 1.选择、填空题型做到计算准确、概念不混淆，基础题零失分。 2.熟练解答统计计算大题，规范书写解题步骤与结果。 3.掌握图表类题型（统计表、条形图、折线图）的数据提取与运算。 4.攻克方案选择、数据分析说理类综合题，规避概念理解、计算类易错点。 题型01.求一组数据的平均数 题型02.由平均数求未知数据的值 题型03.利用平均数做决策 题型04.由平均数求相关数据的平均数 题型05.求加权平均数 题型06.由加权平均数求未知数据的值 题型07.加权平均数做决策 题型08.求中位数 题型09.用中位数求未知数据的值 题型10.用中位数做决策 题型11.求众数 题型12.用众数求未知数据的值 题型13.运用众数做决策 题型14.求离差平方和 题型15.求方差 题型16.利用方差求未知数据的值 题型17.根据方差判断稳定性 题型18.运用方差做决策 题型19.求四分位数与画箱线图 题型20.选择合适的统计量并做决策 知识框架总览 两大核心板块： 集中趋势统计量：算术平均数、加权平均数、中位数、众数（描述数据整体平均水平、一般水平） 离散程度统计量：极差、方差（描述数据波动大小、稳定性） 集中趋势三兄弟（平均数、中位数、众数） 知识点01: 数据的集中趋势（重点必考） (一)算术平均数（普通平均分） 含义：所有数据求和后除以个数，反映整组数据整体平均水平。 公式：=​ 特点 用到每一个数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据） 影响； 是日常最常用的统计量。 （二）加权平均数（本章重难点，高频考点） 1.概念 当各个数据的重要程度不同时，需给数据赋予 “权”，计算得到的平均数即为加权平均数。 权：反映数据所占比重、频次、重要程度，形式可为整数、百分数、比值。 2.公式 若数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 3.常见考法:成绩计分、综合评分、商品单价、样本统计等，权越大，对应数据对结果影响越大。 4.易错提醒：区分普通平均数与加权平均数，不可直接套用算术平均数公式。 (三）中位数 1.定义 将一组数据从小到大（或从大到小） 有序排列后： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特点 只和数据排列位置有关，不受极端值影响； 代表数据的 “中等水平”。 3.解题关键：先排序，再找中间数（学生最易忽略排序步骤）。 (四）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.补充说明 (1)一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数； (2)只关注数据出现频次，与数据大小、位置无关，不受极端值影响； (3)代表数据的 “多数水平”。 （五）集中趋势四大统计量对比表 统计量 核心意义 优点 缺点 适用场景 算术平均数 平均水平 利用所有数据，信息全面 易受极端值干扰 数据分布均匀、无极端值 加权平均数 综合平均水平 体现数据权重差异 计算稍复杂 评分、评比、比例类问题 中位数 中等水平 不受极端值影响 不能利用全部数据信息 数据有极端值、偏态数据 众数 多数水平 简单直观，不受极端值影响 有时不唯一 关注出现频次、日常销量、尺码等 知识点02: 数据的离散程度（难点，计算 + 理解并重） 用来判断一组数据波动大小、稳定性，波动越小，数据越稳定。 （一）极差 定义：一组数据中 最大值 -最小值。 公式：极差 = 最大值 - 最小值 特点 计算最简单，仅反映数据变化范围； 只用到最值，易受极端值影响，描述波动较粗略。 （二）方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 （三）极差与方差对比 统计量 计算难度 反映程度 受极端值影响 极差 简单 粗略（仅看最值） 影响大 方差 复杂 精准（反映整体波动） 影响较小 知识点03:数据变化规律（拓展考点，选择填空高频） 设原数据：x1,x2,...,xn，平均数，方差s2 知识点04:期末常考题型 + 解题思路（适配复习课） 题型 1：基础计算题（选择、填空） 考查：平均数、中位数、众数、极差、方差直接计算 思路：熟记公式，细心运算；求中位数必先排序。 题型 2：加权平均数应用题（中档解答题） 考查：考试评分、岗位考核、商品混合、比例问题 思路：找准数据和对应权重，严格套用加权平均数公式。 题型 3：统计量选择与分析（说理题） 考查：结合实际场景，分析选用哪种统计量更合理 思路：根据特点判断：有极端选中位数、看频次选众数、求整体平均选平均数。 题型 4：两组数据对比（方差应用，高频大题） 考查：计算两组数据方差，判断稳定性、择优选择 思路：先算平均数→再算方差→根据方差大小判定稳定性，最后规范写结论。 题型 5：图表结合题（统计表、条形图、折线图） 考查：从图表中提取数据，再完成各类统计量计算 思路：先读图、读表，整理出完整数据组，再按对应公式计算。 题型 6：数据变换规律题（拔高小题） 考查：数据整体加减、乘除后，平均数与方差的变化 思路：直接套用前文数据变化规律，快速判断结果。 题型01.求一组数据的平均数 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．甲、乙、丙、丁四人参加某次比赛．甲、乙两人的平均成绩为89分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为_______分． 3．设的平均数为M，的平均数为N，N、c的平均数为P，若，则M与P的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 4．检验某厂生产的手表质量时，检验人员随机抽取了10块手表，在下表中记下了每块手表的日走时误差（正数表示比标准时间快，负数表示比标准时间慢）．你认为用这10块手表走时误差的平均数来衡量这10块手表的精度合适吗？ 手表序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日走时误差/s 0 1 0 2 4 2 题型02.由平均数求未知数据的值 5．黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 6．下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算：________，________． 7．在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 题型03.利用平均数做决策 8．数学测验后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的成绩，小明说：“我们组的平均成绩是128分”，小华说：“我们组的平均成绩是126分”．在不知道小明和小华成绩的情况下，下列说法比较合理的是（    ） A．小明的分数比小华的分数低 B．小明的分数比小华的分数高 C．小明的分数和小华的分数相同 D．小华的分数可能比小明的分数高 9．数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 10．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85  88  84  85  83 乙：83  87  84  86  90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 题型04.由平均数求相关数据的平均数 11．若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是________ 12．已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是_____． 13．已知两组数据x，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为2和－2，则x1＋3y1，x2＋3y2，…，xn＋3yn的平均数为（    ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 题型05.求加权平均数 14．某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 15．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 16．2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕．运动会后某校兴趣小组统计了九年级三个班级所有同学在运动会期间的平均观看时间，结果如下表： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 4 2 3 并计算出这三个班级在运动会期间平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（   ） A．40人、40人、40人 B．44人、36人、40人 C．45人、35人、40人 D．34人、46人、40人 17．某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 题型06.由加权平均数求未知数据的值 18．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 19．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 20．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． (1)求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 题型07.加权平均数做决策 21．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（   ） A． B． C． D． 22．小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是_____． 23．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 题型08.求中位数 24．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（     ） A．68次/分 B．69次/分 C．70次/分 D．72．5次/分 25．某校男子队队员的年龄分布如下表所示： 年龄（岁） 人数 则这些队员年龄的中位数是____________岁． 26．已知某中学排球队6名上场队员的身高分别是：171cm，175cm，178cm，180cm，182cm，183cm．现用两名身高是176cm和183cm的队员分别换下场上身高为171cm和182cm的队员，与换人前相比，6名上场队员的身高数据不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 27．判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数． (2)n个数的平均数一定是这n个数中的某一个． (3)将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数． (4)n个数的中位数一定是这n个数中的某一个． (5)如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数． (6)如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个． 题型09.用中位数求未知数据的值 28．若4个数5，x， 8， 10的中位数为7， 则_____ ． 29．某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从三款杯子中挑选1款作为第6款，再从两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（   ） A． B． C． D． 30．为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：，，，，，，， ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 题型10.用中位数做决策 31．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 92.5 95.5 41.25 乙班 92.5 90.5 36.06 统计学知识分析________班成绩较好，理由是_______． 32．某工厂生产两种型号的零件和，它们的抗压强度（单位：）数据的四分位数如下表所示： 型号 下四分位数/ 中位数/ 85 92 78 88 若工程要求零件抗压强度至少达到，且希望数据稳定性较高（波动较小），应优先选择零件__________（填“”或“”），理由：___________________________________________________． 33．某校举办诗歌朗诵比赛，评委老师根据参赛选手的预赛成绩，计划选出成绩前选手进入决赛．小颖的预赛成绩排在第9名，恰好能够进入决赛．后来工作人员发现少统计了两个选手的成绩，更正统计结果后，小颖不能进入决赛．关于更正统计结果后的预赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．更正统计结果后预赛成绩的中位数变大 B．更正统计结果后预赛成绩的平均数变大 C．更正统计结果后预赛成绩的方差变大 D．更正统计结果后预赛成绩的众数变大 题型11.求众数 34．某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．174，175 B．175，176 C．176，176 D．176，177 35．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是，平均数是．那么这组数据的方差是______． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 36．在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 37．在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． (1)①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； (2)学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 题型12.用众数求未知数据的值 38．已知一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数是______． 39．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 40．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型13.运用众数做决策 41．为确定最受学生青睐的课后服务项目，某学校对全体学生青睐的课后服务项目进行了调查，在这些调查数据里，最值得重点关注的统计量是（   ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 42．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是________元． 43．学校附近小卖部老板在清点库存时发现，某种零食草莓味卖得最多，他考虑以后采购该种零食要多进草莓味的，他参考的是下列统计量中的（    ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 44．4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某校为增强学生的节能降碳环保意识，组织全校学生参加了节能降碳环保知识竞赛（满分：100分），并在赛后随机抽样调查了甲、乙两个班各10名学生的成绩（单位：分），甲、乙两班人数相同，记录如下： 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：64，70，75，79，79，83，83，83，89，95； 乙班10名学生竞赛成绩：67，72，73，75，83，85，85，85，85，90． 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 a 71.6 乙班 80 b 85 51.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中：_________，_________； (2)若成绩高于80分为优秀，则估计甲、乙两班共100名学生中成绩达到优秀的学生共有_________人； (3)小明认为抽取的甲、乙两个班竞赛成绩的平均数一样，所以两个班的学生对节能降碳环保知识的掌握情况肯定相同．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 题型14.求离差平方和 45．已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 46．数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________． 47．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 48．现有两组数据： A组：2，4，6．B组：8，10，12． 请计算这两组数据的组间离差平方和． 题型15.求方差 49．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 50．2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队参赛队员比赛成绩的中位数为______． 51．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 52．2026春晚机器人不再是“伴舞工具”，而是能打、能演、能服务、能共情的“赛博演员”，覆盖武术、小品、歌舞、微电影，动作与交互全面升级．某科技公司生产了A，B两种聊天机器人，现对其对话流畅度进行测试．公司从报名参与测试的志愿者中选取20人，分成两个小组，每个小组10人，分别对机器人进行30分钟的对话流畅度测试，并对测试得分（10分为满分，8分或8分以上为优秀）整理、描述、分析如下： a．A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得分的折线统计图如下： b．A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得分的统计表如下： A机器人 B机器人 平均数 众数 8 方差 优秀率 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的_______，______． (2)表格中的值不可能为__________． A．4    B．8    C．10    D．9 (3)表格中c__________（填“”“ ”或“”）． (4)你认为A，B两种聊天机器人哪一种的对话更流畅？请说明理由． 题型16.利用方差求未知数据的值 53．在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为________． 54．方差公式S2[（6）2+（9）2+（14）2+（15）2+（16）2]，则公式中_____． 55．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 题型17.根据方差判断稳定性 56．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，身高最整齐的是（     ） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 57．某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 58．为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 59．为布局2026城市低空便民配送业务，某连锁商超准备在甲、乙两家无人机配送服务商中挑选一家长期合作，工作人员随机抽取10个社区点位，对两家公司进行综合评分，整理分析如下： a．配送准时率得分（满分10分） 甲：5，5，7，7，8，8，9，9，10，10；乙：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10 b．服务规范得分折线统计图（满分10分） c．配送准时率和服务规范得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中_________；方差大小关系：________（填“”“”或“”） (2)若商超优先看重稳定性，其次看重整体配送水平，请问应选择哪家公司？请说明理由． (3)若要进一步筛选合作企业，你认为还需要调查哪些信息？（写出两条即可） 题型18.运用方差做决策 60．某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 61．如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 62．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（     ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差 63．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 (1)写出表中，的值； (2)在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； (3)根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 题型19.求四分位数与画箱线图 64．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 65．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 66．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 67．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 题型20.选择合适的统计量并做决策 68．某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 69．如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 70．要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________． 71．为备战学校运动会，体育老师对七（1）班擅长立定跳远的小明和小宇两位同学进行了5次测试，并把他们的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：两位同学5次得分的折线图 信息二：两位同学得分的平均数、中位数、众数、获奖率 平均数 中位数 众数 获奖率 小明 小宇 （说明：得分在9.0分以上能获奖） 根据以上信息，回答下面问题： (1)填空：________，________，________； (2)若从这两位同学中推荐一名同学参加校运动会，应该推荐哪位同学，并说明理由； (3)若该项目的校运动会纪录得分是分，班级推荐________同学参加比赛，有希望刷新纪录（填“小明”或“小宇”）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $