专题03 一元一次不等式（组）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦一元一次不等式（组）全题型，构建“定义-性质-求解-应用”四层逻辑体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式基础|6小题|概念辨析（定义表示）、性质应用（变形判断）|从文字语言到符号表达，通过性质推理建立不等关系认知| |不等式求解与应用|15小题|解集求解（含数轴表示）、整数解/最值、几何与实际问题建模|以求解方法为核心，延伸至几何直观（数轴）与模型应用（经济/测量问题）| |不等式组基础|6小题|解集表示（数轴）、整数解确定|在单个不等式基础上，通过解集交集深化集合思想| |不等式组综合应用|13小题|参数求解、方程组结合、复杂实际应用（方案优化等）|整合方程与不等式知识，培养推理能力与综合问题解决能力|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元一次不等式（组） 题型归纳·内容导航 题型1不等式的定义 题型7用一元一次不等式解决几何问题 题型2不等式的性质 题型8求不等式组的解集 题型3求一元一次不等式的解集 题型9求一元一次不等式组的整数解 题型4求一元一次不等式的整数解 题型10由一元一次不等式组的解集求参数 题型5求一元一次不等式解的最值 题型11不等式组和方程组结合问题 题型6用一元一次不等式解决实际问题 题型12一元一次不等式组的应用 题型通关·靶向提分 题型一不等式的定义（共3小题） 1.将“a与b的差是非正数"用不等式表示为 2.2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏.据天气预报报道，赫章当天最高气温25°C,最低气温 15°C,则当天赫章的气温t(°C)的变化范围是() A.t≥25 B.t≤15 C.t≠15，且t≠25 D.15≤t≤25 3.用不等式表示：“x+3不大于-5"是 题型二不等式的性质（共3小题） 4.若a>b,则下列不等式中一定成立的是() A.a2>b2 B.4-a<4-b C.a+1>a+2 D.-2a>-2b 5.已知2025-6a>2025-6b,则一定有a口b,“口”中应填的符号是(） A.≤ B.2 C.< D.> 6.下列不等式变形，正确的是() A.若m<n,则m-2<n-2 B.若m<n,则2-m<2-n C.若m<n,则-3m<-3n D.若m<n,则-号<-号 题型三求一元一次不等式的解集（共3小题） 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.解不等式：2-3x≤-2(x-2). 8.解不等式4二-1≤号，并把解集在数轴上表示出来。 9.不等式2x+7>3x+4的解集是 题型四求一元一次不等式的整数解（共3小题） 10.不等式3(x-1)<2x+5的非负整数解是 11.求不等式-3x+2≥一12的正整数解 12.解不等式：学≥，并写出它的正整数解. 题型五求一元一次不等式解的最值（共3小题） 13.若x=2是关于x的不等式3x一a+2>0的一个解，则a可取的最大整数值为() A.10 B.9 C.8 D.7 14.已知当x≥2时x的最小值为a,当x≤一3时x的最大值为b,则ab= 15.关于x的不等式+n<壳的最小整数解为n,则n的值为 题型六用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 16.小颖同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，己知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小颖同学 最多能买可乐() A.12瓶 B.13瓶 C.14瓶 D.15瓶 17.某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔 记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求 至多购买多少本甲种笔记本？ 18.在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶.两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg) 600 100 原料价格/（元/kg） 8 (1)现配制这种奶茶10kg,要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x(kg)的取值范围。 (2)在(1)的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x(kg)的 取值范围. 题型七用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 19.数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A,B两点，分别表示4学和1一x,且点A在点B左 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 侧，则x的值可以是() A B 4-x 2 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 20.如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为600m,已知小明的速度为1.2m/S,公交车 的速度是小明的速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为() 600m A.100m B.120m C.150m D.180m 21.如图是测量一颗玻璃球体积的过程： ① ② ③ (1)将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中； (2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； (3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积α的取值范围是 题型八求不等式组的解集（共3小题） 22.解不等式组并把它们的解集表示在数轴上. (1)1<2x+1<3 (2x-3(x-2)24 21 等x+3>1-号x 23.解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来. 1)跨-号≤1 (4x-2≥3(x-1) 2+1>x-3 (3(x+1)>5x-1 24.解不等式组 学≤ ，并把解集在数轴上表示出来 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -5-4-3-2-10123451 题型九求一元一次不等式组的整数解（共3小题） (5(x-1)≥3x-9 25.解不等式组： 4-x>等 ，并写出它的所有正整数解。 (4(x-1)≤7x+2① 26.解不等式组 x+2<等② ，并写出所有整数解. 27.解下列不等式或不等式组： (1)解不等式：5x-6≥2x+6,并把它的解集在数轴上表示出来. 13(x+2)>x+4 (2)解不等式组： 等>x-1，并写出它的所有整数解。 题型十由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） [8-2>-1 28.若一元一次不等式组“ 米的整数解有5个，则“※”表示的不等式可以是(） A.3-x≥-3B.3-x>-3 C.3-x≤-3D.3-x<-3 29.若(a-2)x≤(a-2)的解集为x≥1，则a的取值范围为 (x<2(x-a) 30.若关于x的不等式组 x-1≤号x ，恰有3个整数解，则a的取值范围是() A.0≤a<吉 B.0≤a<1 c.-专<a<0 D.-1≤a<0 题型十一不等式组和方程组结合问题（共3小题） （3x+2y=4m-2 31.已知方程组2x+3y=6m-3的解满足-1<x-y<0,则m的取值范围为 【x+2y=6+k 32.若关于x,y二元一次方程组2x一y=9-2k的解满足3x+y<5,则k的取值范围是 (x-4y=2m-2 33.已知关于x,y的方程组 2x+y=m+5, (1)若该方程组的解满足x-y=2025,求m的值； (2)若不等式组的解集满足-1≤x+5y<3,求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，若不等式(2m-15)x+15<2m的解为x>1,求m的整数值. 题型十二一元一次不等式组的应用（共7小题） 34.如图1，在一段道路上依次有AB,C三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交替一次，其余因素 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 忽略不计. 图1 己知路口A的绿灯亮起10s后路口C的绿灯亮起：亮起30s后路口B的绿灯亮起.路口B,C到路口A的距离分 别为600m,900m.图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置. As/m 绿灯亮 c900. …红灯亮 B8600 A 0 102030405060708090100110i20130140150160170i80190200 t/s 图2 (1)当路口A的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过A路口，以15m/s的速度匀速向路口C行驶，它能一路绿灯通过 B路口和C路口吗？请说明理由； (2)当路口A的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过A路口，以v/s(v≥10)的速度匀速向路口C行驶，若想一 路绿灯匀速通过B,C两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围.（可借助给出的图象加以分析） 35.光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰“碳中和”的 目标莫定了基础.2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）100MW分布式屋顶光伏项 目(15MWP)EPC总承包工程项目正式开工建设.项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种 光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏 板数量的2倍。 (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购 进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多 少元？ 36.为响应眉山东坡区“蜀里安逸约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推 出惠民促销活动.请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 购买3台节能空调和2 素材1 台智能洗衣机，补贴后 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 实际花费7900元： 购买2台节能空调和3 素材2 台智能洗衣机，补贴后 实际花费8100元. 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且 补贴后的实际总花费不超过1000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 37.宏发健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售.当生产150台后，接到通 知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1,4倍，己知一共用了6天刚好 完成了360台的生产任务. (1)问原来每天生产健身器械多少台？ (2)已知送往A销售点每台运输费是100元，送往B销售点每台运输费是150元.根据市场情况，厂家决定 送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二.问：安排送往A销售点，送往 B销售点各多少台，使得运输费最低，最低运输费为多少元？ 38.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5 件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元 (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少 于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？ 39.为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费.水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括 17m3);第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3;第三级为月用水量超过30m3(不包括30m3).下 面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）. 6/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 居民生活用水消费明细 计费日期：2025-7-1车2025-7-31 白来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m) 金额/元用水量/m3 单价/（元/m) 金额/元 34 阶段一：17 17 阶段一：17 2 阶段二：△ 2.5 ▲ 阶段二：▲ 本期实付金额 (大写) (注：居民生活用水水费-自米水费+污水处理费) 己知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3,且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍. (1)设该居民7月份的用水量为xm3,求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元： (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量， 40.2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场.学校需要购买A种品牌的 排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，己知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20 元 (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌 的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折.如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过 1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 7/7专题03 一元一次不等式（组） 题型1 不等式的定义 题型7 用一元一次不等式解决几何问题 题型2 不等式的性质 题型8 求不等式组的解集 题型3 求一元一次不等式的解集 题型9 求一元一次不等式组的整数解 题型4求一元一次不等式的整数解 题型10 由一元一次不等式组的解集求参数 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型11 不等式组和方程组结合问题 题型6 用一元一次不等式解决实际问题 题型12 一元一次不等式组的应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的定义（共3小题） 1．将“a与b的差是非正数”用不等式表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 2．2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 3．用不等式表示：“不大于”是________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“不大于”对应“”，即可列出不等式． 【详解】解：根据不大于， 列不等式为：， 故答案为：． 题型二 不等式的性质（共3小题） 4．若，则下列不等式中一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，满足，但，本选项的不等式不成立，不符合题意； B、不等式两边同乘，得， 不等式两边同时加，得， 故本选项的不等式一定成立，符合题意； C、化简得，显然不成立，不符合题意； D、不等式两边同乘，得，本选项的不等式不成立，不符合题意． 5．已知，则一定有，“□”中应填的符号是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变的性质，逐步化简原不等式即可得到结果． 【详解】解：∵ 不等式两边同时减去 ，得 不等式两边同时除以，根据不等式性质，除以负数时不等号方向改变，得 ∴ “□”中应填． 6．下列不等式变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、若，则，正确； B、若，则，原变形错误； C、若，则，原变形错误； D、若，则，原变形错误． 题型三 求一元一次不等式的解集（共3小题） 7．解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 8．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴表示见解析 【详解】解： 解得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： 9．不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到不等式的解集 【详解】解： ， ， ， 题型四 求一元一次不等式的整数解（共3小题） 10．不等式的非负整数解是________． 【答案】0，1，2，3，4，5，6，7 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再根据非负整数的定义找出所有符合条件的解即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 非负整数是大于等于0的整数，因此满足的非负整数为0，1，2，3，4，5，6，7． 11．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3， 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解；正确求解不等式的解是解题的关键． 先求出不等式的解集，再根据x的取值范围求出其正整数解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 不等式的正整数解为：1，2，3，4． 12．解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】，不等式的正整数解为：1，2，3 【分析】本题考查了解一元一次不等式并求正整数解. 先求出一元一次不等式的解集，再求正整数解即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴不等式的正整数解为：1，2，3． 题型五 求一元一次不等式解的最值（共3小题） 13．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 14．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 15．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 16．小颖同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小颖同学最多能买可乐（    ） A．12瓶 B．13瓶 C．14瓶 D．15瓶 【答案】B 【分析】根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取符合题意的最大正整数解即可. 【详解】解：设买可乐瓶，则买矿泉水瓶， 由题意，， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为13，即最多能买可乐13瓶. 17．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 【答案】25本 【分析】设出未知数，结合“费用不超过300元”建立不等式求解即可． 【详解】解：设购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本， 由题意得：， 解得：， 答：至多购买25本甲种笔记本． 18．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，再根据甲乙两种奶茶蛋白质含量大于等于4200单位列出不等式，求出解集即可； （2）根据甲乙两种原料的费用和小于等于72元列出不等式，再结合（1）中的解集可得答案． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，由题意得 ， 解得， ∴． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是； （2）解：由题意得， 解得． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是． 题型七 用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 19．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 20．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 21．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 题型八 求不等式组的解集（共3小题） 22．解不等式组并把它们的解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【详解】（1）解： 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下： 23．解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，解集表示见解析 (2)，解集表示见解析 【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的取值范围即可； （2）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将不等式的解集在数轴上表示如下： （2）解： 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为， 将不等式的解集在数轴上表示如下： 24．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 题型九 求一元一次不等式组的整数解（共3小题） 25．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3，4 【分析】先求得每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后得到正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； 解不等式可得，， 则不等式组的解集为：， 且它的所有正整数解为：1，2，3，4． 26．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 27．解下列不等式或不等式组： (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) 解集为，所有整数解为，，，． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在数轴上表示解集为： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， ， 综上，解集为，所有整数解为，，，． 题型十 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 28．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可． 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 29．若的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据解集可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得． 30．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 题型十一 不等式组和方程组结合问题（共3小题） 31．已知方程组的解满足，则m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 32．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 33．已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型十二 一元一次不等式组的应用（共7小题） 34．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以 的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 35．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 36．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 37．宏发健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务． (1)问原来每天生产健身器械多少台？ (2)已知送往A销售点每台运输费是100元，送往B销售点每台运输费是150元．根据市场情况，厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二．问：安排送往A销售点，送往B销售点各多少台，使得运输费最低，最低运输费为多少元？ 【答案】(1)原来每天生产健身器械台 (2)安排送往A销售点台，送往B销售点台，运输费最低，最低运输费为元 【分析】（1）设原来每天生产健身器械台，根据“当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务”列分式方程求解即可； （2）设送往A销售点台，根据“厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二”求出，设运输费一共为元，则有，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设原来每天生产健身器械台，依题意得： ， 解得， 经检验是方程的解， 答：原来每天生产健身器械台； （2）解：设送往A销售点台， ∵厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二， ∴， 解得， 设运输费一共为元，则有， ∵，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， ， 所以安排送往A销售点台，送往B销售点台，运输费最低，最低运输费为元． 38．为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)种 【分析】设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组解答即可求解； 设购进种纪念品个，购进种纪念品个，根据题意得，即得，进而由得到，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设购进种纪念品个，购进种纪念品个， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 为正整数， ，，， ∴共有种进货方案． 39．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 40．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】(1) A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 (2) 共有3种购买方案 (3) 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【分析】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． $