精品解析：浙江嘉兴市第一中学2025-2026学年高一下学期5月阶段测试数学试题

嘉兴一中高一年级数学5月阶段测试 命题：童斌 审题：朱逸超 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合分层抽样的性质运算求解即可. 【详解】样本按比例分配，男女比例为. 所以应抽取的男生人数为. 故选：C. 3. 在正方体中，过点作一个截面，则截面不可能是（   ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【详解】截面可能情况如图所示，因此，截面不可能是六边形，故D正确. 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 5. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BM，由面面垂直的判定证明平面平面，再利用面面垂直的性质即可推理计算作答. 【详解】在正方体中，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点B作于E，连接BM，如图， 因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离， 点M为棱的中点，在中，， ，即，解得， 所以点B到平面的距离为. 故选：D 6. 设向量，满足，对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】对两边同平方化简得，再利用判别式法即可得到，最后展开计算，利用二次函数性质即可求出最小值. 【详解】设，， ，两边同平方得， 化简得， 上式对任意恒成立，， 即，则， 则 ， ，则的最小值为2. 故选：A. 7. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可知轴截面内切圆的半径为，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面如图， 由题意知内切圆和外接圆同圆心， 即的内心与外心重合，则为正三角形， 由题意内切圆的半径为， 的边长为， 圆锥的底面半径为，高为3， 故圆锥体积， 故选： 8. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若， 因为， 因为，所以，，所以， 而当时，， 同理， 故， 因此，即， 而因为，，所以， 因此，所以， 反之，若，那么显然当时，等式不成立， 故为的充分不必要条件. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分. 9. 已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A. 若的极差为9，则 B. 若的80%分位数是6，则 C. 若的平均数为3，则 D. 若，则的方差为6.6 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为，其极差为9，所以，所以，故A正确； 对于B，中共有5个数，，则80%分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数， 因为80%分位数是6，则，即得，解得，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，当时，由C项知的平均数为3，故的方差为，故D错误． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 当时，满足条件的三角形共有1个 D. 若则这个三角形的最大角是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A、C，由诱导公式可判断B，由正弦定理角化边，再由余弦定理可判断D. 【详解】选项A，根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得 ，由大边对大角得，A错误， 选项B，锐角中，​，因此​，即， 又 都在内，在单调递增， 因此，不等式恒成立，B正确， 选项C，由正弦定理得： ， 为三角形内角，因此，仅有1个解，满足条件的三角形只有1个，C正确， 选项D，由正弦定理得 ， 设，最大边对应最大角， 由余弦定理： ， ， 因此，D正确. 11. 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（ ） A. 为线段上的动点，则最小值为 B. 该正八面体的表面积是 C. 该正八面体的体积是 D. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：将与沿展开到同一平面，根据两点间线段最短，结合余弦定理求解即可；对于B：正八面体由八个全等的正三角形组成，求出每个三角形面积再求和即可；对于C：正八面体可以看做两个全等的正四棱锥，结合棱锥的体积公式求解即可；对于D：由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积即可. 【详解】将沿翻折到，使得与共面， 则，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 此时，， ， 所以，故最小值为，A正确. 因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2， 由三角形面积公式可得八面体的表面积为，故B正确. 连接，，交点设为，连接， 因为四边形为正方形，所以对角线长度的一半， 由勾股定理可得， 所以八面体的体积为，故C错误. 取的中点，连接，，在中，， 因为，所以正八面体外接球的球心为O，半径为， 作于，则， 平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截得的面积相等， 其半径， 所以截面圆的面积为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 13. 已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 14. 如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由坐标法证明，从而得出满足条件的所有点P构成的图形，进而得出周长. 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 如图，取的中点分别为，连接， 由于，所以四点共面，且四边形为梯形， ， ， 因为 所以，所以由线面垂直的判定可知平面， 即满足条件的所有点P构成的图形为， 由于，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，， （1）求角的大小； （2）若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解即可； （2）在（1）的基础上得，由三角形面积公式得到方程，计算求解即可. 【小问1详解】 由和正弦定理可得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. 【小问2详解】 因为是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. 16. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布表，估计该小组第百分位数以及平均成绩. 【答案】（1） （2）第百分位数为，平均成绩 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1列式求解； （2）利用频率分布直方图分别估计第62百分位数和平均成绩. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以. 【小问2详解】 成绩在的频率分别为， 则该小组第百分位数，，解得， 所以该小组第百分位数为； 该小组平均成绩. 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 18. 如图，在三棱锥中， 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º. （1）证明：AB⊥PC； （2）若，且平面 ⊥平面，求三棱锥 体积. 【答案】（１）见解析（２） 【解析】 【分析】 【详解】（1）因为是等边三角形，, 所以,可得． 如图，取中点，连结,, 则,, 所以平面, 所以 （2）作，垂足为，连结． 因为， 所以，． 由已知，平面平面，故．　　　　　　　　 因为，所以都是等腰直角三角形． 由已知，得， 的面积． 因为平面， 所以三角锥的体积 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积运算律计算求解； （3）根据正弦定理用表示出，，可得，令，根据三角恒等变换可得，多次利用换元法结合二次函数性质可得的值域，进而计算可解. 【小问1详解】 因为是边上的中线且点满足， 故 , 则； 【小问2详解】 因为，， ， 所以； 【小问3详解】 由题意可知 在中，，，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 则， 令 因为 ， ， 所以， 因为，所以，， 令，则， 令，则， 所以， 令，则， 由二次函数性质可知，在上单调递增， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的值域为，即的值域为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴一中高一年级数学5月阶段测试 命题：童斌 审题：朱逸超 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在正方体中，过点作一个截面，则截面不可能是（   ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 五边形 D. 六边形 4. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 5. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设向量，满足，对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 7. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. B. C. D. 8. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分. 9. 已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A. 若的极差为9，则 B. 若的80%分位数是6，则 C. 若的平均数为3，则 D. 若，则的方差为6.6 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 当时，满足条件的三角形共有1个 D. 若则这个三角形的最大角是 11. 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（ ） A. 为线段上的动点，则最小值为 B. 该正八面体的表面积是 C. 该正八面体的体积是 D. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 13. 已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 14. 如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，， （1）求角的大小； （2）若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 16. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布表，估计该小组第百分位数以及平均成绩. 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18. 如图，在三棱锥中， 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º. （1）证明：AB⊥PC； （2）若，且平面 ⊥平面，求三棱锥 体积. 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $