精品解析：浙江省庆元中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学测试题

庆元中学月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出,的长，求出面积． 【详解】由斜二测直观图求出,，且, 则. 故选：B． 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得. 故选：B． 6. 如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意得为直角，故， 又，所以四点共圆，所以， 在中由正弦定理得， 所以， 故选：A． 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，根据题意，转化为与的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得，即， 因为函数有且仅有两个零点， 即函数与的图象仅有两个交点， 因为， 作出函数和的图象，如图所示， 当时，联立方程组，可得， 由，解得， 当时，可得， 要使得函数有且仅有两个零点，则满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原函数，结合正弦函数的性质判断A，利用偶函数的性质结合题意得到判断B，利用换元法结合正弦函数的性质判断单调性求解C，先求出，再结合正弦函数的性质建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以由二倍角公式得， 结合辅助角公式可得， 由正弦函数性质得， 得到，即的最大值是，故A正确， 对于B，由题意得， 若是偶函数，则，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，则， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得， 因为，所以， 由正弦函数性质得，解得，故D正确. 故选：AD． 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若函数 (，且)在R上单调递减，则a的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】分段函数单调递减，则要函数在每一段上单调递减，且分段处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值，得到不等式组，求出答案. 【详解】由题意得：，且当时，， 故，且， 解得：，故的取值范围是. 故答案为： 13. 在中，若，且，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，再分析三棱锥体积最大时点的位置，结合勾股定理确定球心和半径，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】因为，所以P在的中垂面上， 而，则的轨迹为中垂面与以A为球心，为半径的球的交线， 即的轨迹为如图以D为圆心，2为半径的圆，且是的中点，如图所示， 因为，，所以由勾股定理得， 由三角形面积公式得， 若三棱锥体积最大，则到面的距离最大即可，此时在最上面， 易得，，， 且由勾股定理得，此时， 则，即， 得到外接球球心为的中点，即球的半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解. （2）根据数量积大于0且不共线，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，，. 因为与垂直， 所以, 即，解得, 故实数m的值为. 【小问2详解】 , , 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 即，解得 当与共线时，，解得， 故， 综上可知，实数k的取值范围为 16. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由是偶函数，求解的值； （2），，转化为任意的，，进而求解λ的取值范围. 【小问1详解】 因为恒成立， 所以． 【小问2详解】 由题意可得，， 令， 则， 即对任意的，， 所以在恒成立， 则， 故λ的取值范围为． 17. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 【小问3详解】 在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19. 已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记． （1）求，的值； （2）若，求n的取值； （3）是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论． 【答案】（1），． （2）n的取值为2048，2049，2050． （3）不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）由题意得到，进而可求解； （3）令，通过k为奇数，取，和k为偶数，取，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以，． 【小问2详解】 因为在中，奇数个“2的幂”和偶数个“2的幂”个数一样多（末尾有为奇数，末尾无为偶数），则与各占一半， 则，， 则，又因为，，， 所以n的取值为2048，2049，2050． 【小问3详解】 不存在，证明如下： 令，不妨设且均为自然数． ①若k为奇数，取，则． ②若k为偶数，取，则，． 综上所述，不存在这样的正整数m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆元中学月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（ ） A. B. C. D. 7. 圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题 12. 若函数 (，且)在R上单调递减，则a的取值范围__________. 13. 在中，若，且，则的周长为_______． 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 四、解答题 15. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 16. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 已知每个正整数n都可以唯一写成一些不同的“2的幂”的和．例如：；，定义：若n的这种表示中用了偶数个“2的幂”，则，否则．记． （1）求，的值； （2）若，求n的取值； （3）是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，均有，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $