4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，涵盖公式推导、五个量“知三求二”关系及性质应用，通过课前基础认知的公式表格与微训练衔接通项公式，为性质探究和综合计算搭建学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理与数学运算素养，如微探究中推导连续n项和构成等差数列的过程，培养学生推理能力。采用典例剖析与分层训练结合的方法，帮助学生系统掌握知识，教师可直接使用丰富资源提升教学效率。

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 目 标 素 养 1.掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程.借助等差数列的前n项和公式的推导,提升数据分析素养. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.提升数学运算素养. 3.已知数列{an}的前n项和公式求通项公式.提升逻辑推理和数学运算素养. 4.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.提升逻辑推理素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.等差数列的前n项和公式 微拓展 1.等差数列前n项和公式的结构. 2.方程思想. 在等差数列前n项和公式中共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”. 3.函数思想. 等差数列的前n项和公式可变形为Sn= ,当d≠0时可以将其看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列. 微训练 (1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20的值为 (　　) A.230 B.420 C.450 D.540 (2)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11的值为(　　) A.58 B.88 C.143 D.176 答案:(1)B　(2)B 2.等差数列{an}的前n项和Sn的性质 微探究 若{an}是公差为d的等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6, a7+a8+a9是不是等差数列?如果是,公差是多少? 提示:因为(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3) =(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d, 所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列. 课堂·重难突破 一 等差数列的前n项和公式的基本运算 典例剖析 1.在等差数列{an}中,公差为d. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解:(1)(方法一)由已知条件得 规律总结 a1,d,n称为等差数列{an}的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列{an}的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 学以致用 1.在等差数列{an}中, (2)若a1=4,S8=172,求a8和d; (3)若d=2,an=11,Sn=35,求a1和n. 二 利用an与Sn的关系判断等差数列 典例剖析 2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?如果不是,请说明理由. 解:根据Sn=a1+a2+…+an-1+an, 则Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),可知 规律总结 已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an,最后验证a1是否符合an,若符合,则统一用一个式子表示,若不符合,则分段表示. 学以致用 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}是否为等差数列. 解:(1)由于Sn=-2n2+n+2, 则当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2=-2n2+5n-1, 即an=Sn-Sn-1=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)=-4n+3; 当n=1时,a1=S1=1,不满足an=-4n+3, (2)由(1)知,当n≥2时, an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4, 但a2-a1=-5-1=-6≠-4, 故数列{an}不满足等差数列的定义,不是等差数列. 三 等差数列前n项和的性质 典例剖析 (2)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=(　　) A.120 B.140 C.160 D.180 A C 解析:(1)∵数列{an},{bn}均为等差数列,且Sn,Tn分别为它们的前n项和, (2)因为a3+a7=2a5=6, 所以a5=3, 所以a5+a12=3+17=20, 互动探究 解:∵b3+b18=b6+b15=b10+b11, 规律总结 在解题过程中适当运用等差数列前n项和Sn的有关性质,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 学以致用 3.设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列 的前n项和,求Tn. 解:设等差数列{an}的公差为d, 随堂训练 1.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,公差d=2,则其前m项和Sm等于(　　) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 答案:D 解析:根据题意,由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50, 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+ S4,a1=2,则a5等于(　　) A.10 B.11 C.12 D.-12 答案:A 解析:设{an}的公差为d.因为3S3=S2+S4, 所以3(3a1+d)=(4a1+d),化简得a1=d. 因为a1=2,所以d=2,所以a5=a1+4d=2+4×2=10. 3.(2024·广西柳州适应性测试)若数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若a8=0,a16+a17=18,则S17=(　　) A.0 B.18 C. D. 答案:B 解析:因为数列{an}满足2an+1=an+an+2,则数列{an}为等差数列,设数列{an}的公差为d,则a16+a17=a8+8d+a8+9d=17d=18, 可得d=,所以,a9=a8+d=, 所以,S17==17a9=17×=18. 4.已知等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n=　　　　　.  答案:10 解析:因为等差数列{an}共有2n+1项, 5.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　　　.  答案:3(n+1) 解析:由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),① 当n≥2时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)·n(n+1),② 由①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)] =3n(n+1), 故an=3(n+1)(n≥2).当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式, 故an=3(n+1). 6.在等差数列{an}中,a2+a5=19,a6-2a1=13. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, ∵a2+a5=19,a6-2a1=13, $