4.2.1　第2课时　等差数列的性质课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列性质，通过回顾通项公式几何意义（直线上的孤立点），结合微思考（公差与直线斜率关系）及微训练，搭建从基础概念到性质应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观解释公差）、数学思维（性质推理与运算）、数学语言（实际问题建模），如典例用“m+n=p+q则am+an=ap+aq”快速解题，设元技巧简化计算，实际应用将利润气温问题转化为等差数列模型。助力学生提升运算推理能力，为教师提供系统教学流程与多样化例题。

4.2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的性质 目 标 素 养 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.借助等差数列通项公式的推广学习,提升数据分析素养. 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.通过等差数列性质的学习,提升数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一个固定的常数;当d≠0时,an=dn+(a1-d)是一次函数f(x)=dx+(a1-d) (x∈R)在x=n时的函数值;点(n,an)分布在以　d　为斜率,a1-d为截距的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点.  微训练1 在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=　　　　.  答案:33 故a14=a8+6d=15+18=33. 2.等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=　ap+aq　.  ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的　和　,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….  (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为　等差　数列.  (3)若{an}是公差为d的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为　d　的等差数列;  ②{can}(c为任一常数)是公差为　cd　的等差数列;  ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为　2d　的等差数列.  (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为　pd1+qd2　的等差数列.  (5)若等差数列{an}的公差为d,则d>0⇔{an}为　递增　数列;d<0⇔{an}为　递减　数列;d=0⇔{an}为常数列.  微训练2 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13 =32,若am=8,则m等于(　　) A.8 B.4 C.6 D.12 答案:A 解析:因为d≠0,a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8. 微诊断 若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗? 提示:不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3. 课堂·重难突破 一 等差数列性质的应用 典例剖析 1.(1)在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求该数列的公差及通项公式. (2)已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 因为an=a2+(n-2)d, 所以an=5+(n-2)×2=2n+1. (2)因为在等差数列{an}中,若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 所以a1+a17=a5+a13. 由条件等式,得a9=117. 故a3+a15=2a9=2×117=234. 规律总结 1.等差数列中,若已知am,an,求ap, (1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap. (2)可以利用等差数列通项公式的推广公式求解, (3)若m,n,p有一定规律,则可以构造新的等差数列求解. 2.本题(2)的求解主要用到了等差数列的以下性质: 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立. 学以致用 1.(1)在等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5等于(　　) (2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(　　) A.0 B.37 C.100 D.-37 答案:(1)B　(2)C 解析:(1)由于数列{an}为等差数列, (2)设cn=an+bn, 由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列, 且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100, 则等差数列{cn}的公差d=c2-c1=0. 故c37=100,即a37+b37=100. 二 灵活设元求解等差数列 典例剖析 2.(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为最后一项的6倍,求这三个数. (2)已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d), 故这三个数为4,3,2. (2)(方法一)设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 因为四个数成递增等差数列, 所以d>0, 即d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. (方法二)设这四个数依次为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 因为四个数成递增等差数列, 所以d>0,即d=2,a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4. 规律总结 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d. (2)三个数成等差数列且知其和,可设这三个数为a-d,a,a+d,公差为d. (3)四个数成等差数列且知其和,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 学以致用 2.已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列的通项公式,并判断-34是否为该数列的项. 解:(方法一)设该等差数列的前三项为a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=3a=18,解得a=6. ∵前三项的乘积为66,∴6×(6+d)(6-d)=66, 解得d=±5. ∵该数列为递减数列,∴d=-5,且首项为11, ∴通项公式为an=11+(n-1)×(-5)=-5n+16. 令-5n+16=-34,解得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. (方法二)设数列{an}的公差为d. ∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0. 故a1=11,d=-5. ∴an=11+(n-1)×(-5)=-5n+16, 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. 三 等差数列的实际应用 典例剖析 3.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解:设从第一年起,第n年的利润为an万元, 则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*), 即每年的利润构成一个等差数列{an},公差为d=-20, 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. 则由an=220-20n<0,得n>11, 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损. 规律总结 解决等差数列实际问题的基本步骤: (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题; (2)构造等差数列模型(明确首项和公差); (3)利用通项公式解决等差数列问题; (4)将所求出的结果回归为实际问题.　 学以致用 3.在通常情况下,从地面到10 km的高空,高度每增加1 km,气温就下降某一个固定的数值.已知1 km高度的气温是8.5 ℃,5 km高度的气温是-17.5 ℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温. 解:用{an}表示1 km,2 km,3 km,…气温组成的等差数列, 设公差为d,则a1=8.5,a5=-17.5, 由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5, 解得d=-6.5,则an=15-6.5n.故a2=2,a4=-11,a8=-37, 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃,-11 ℃,-37 ℃. 随堂训练 1.已知等差数列1,a1,a2,9,则a2-a1等于(　　) 答案:D 解析:根据等差数列1,a1,a2,9知, 1和9是该数列的第一项和第四项, 2.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7等于(　　) A.5 B.8 C.10 D.14 答案:B 解析:由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5=10, 因为a1=2,所以a7=8. 3.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　　.  答案:-21 解析:设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d), 故这三个数为-1,3,7或7,3,-1. 则它们的积为-21. 4.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的公共点的个数为　　　　　.  答案:1或2 解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0. 故二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的公共点个数为1或2. 5.已知数列{an}是等差数列,其公差为d.若a4+a7+a10=17, a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=　　　　　.  答案:18 6.有一批小型洗衣机原销售价为800元/台,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台的价格为780元,买两台时第一台和第二台的价格都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台的价格均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类小型洗衣机,问去哪家商场买花费较少. 解:设该单位需购买小型洗衣机n台. 到甲商场购买,当每台售价不低于440元时,售价依台数n成等差数列,设该数列为{an},首项为780,公差为-20, 即an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于等于18时,每台售价为(800-20n)元;当台数大于18时,每台售价为440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%=600元. 得(800-20n)n-600n=20n(10-n), 当n<10时,600n<(800-20n)n; 当n=10时,600n=(800-20n)n; 当10<n≤18时,(800-20n)n<600n; 当n>18时,440n<600n. 即当购买少于10台时,到乙商场花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少. $