4.2.1 第3课时 等差数列的性质及综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等差数列的性质及综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列的性质 题型(二)　由等差数列构造新数列 题型(三)　等差数列的综合应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列的性质 01 (1)an=am+(n-m)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d= __________. (2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an= _______. ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=_____. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____,即a1+an=a2+an-1=…=ak+=…. ap+aq 2ak 和 (3)若{an}是公差为d的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列; ②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列; ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为____的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为________的等差数列. d cd 2d pd1+qd2 √ [例1]　(1)在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= (　　) A.-1 B.2 C.4 D.6 解析:由题意知a10-a2=8d,即8d=16,d=2. (2)[多选]已知各项均为正数的等差数列{an}是递增的,且a5=2,则 (　　) A.公差d的取值范围是 　　　　　B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 　　　　　D.a1+a9=4 √ √ √ 解析:由题意得d>0,a1>0,a5=2,所以a1=2-4d>0,解得d<, 所以d∈,故A错误;由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确; 由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确; 由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,故D正确. [变式拓展] 1.若本例(1)改为“a10=18,d=2”,则a5=____. 8 解析:由a10=a5+5d得a5=a10-5d=18-5×2=8. 2.若本例(1)改为“a2+a10=6”,则S11=_____.  33 解析:S11=a1+a2+a3+…+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =5(a2+a10)+=33. |思|维|建|模| (1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. ②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p, q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar. 针对训练 1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 (　　) A.84 B.72 C.60 D.48 √ 解析:在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C. 2.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　　) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 解析:设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+ …+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+ a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+ (a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. √ √ 题型(二)　由等差数列构造新数列 02 [例2]　已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项? 解:设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3,根据bn=b1+(n-1)d,有b5=b1+4d,即3=2+4d,所以d=,所以bn=2+(n-1)×=.又因为an=a1+(n-1)×1=n+ 1=,所以an=b4n-3,即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时,4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项. (2)新数列的第29项是原数列的第几项? 解:由(1)知an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8, 即新数列的第29项是原数列的第8项. |思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断: (1)定义:an+1-an是否为常数; (2)通项公式是否为关于n的一次函数. 针对训练 3.在a和b两数之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:由题意知该数列共有n+2项,设该数列的公差为d, 则d==.故选B. 4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 (　　) A.15 B.16 C.17 D.18 √ 解析:易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2,所以通项公式为an=12n-10,所以12n-10≤190,解得n≤,又n∈N*,所以n的最大值为16. 题型(三)　等差数列的综合应用 03 [例3]　在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7. (1)求通项公式an. 解:∵a2+a10=a5+a7=7,又∵a5a7=12, ∴或当时,an=-n+,不恒为正,舍去. ∴∴an=n+. (2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn?请说明理由. 解:bn=an+t=n+t+,b2n=n+t+, ∴n+t+=n+2t+1, ∴t=-,∴bn=n. ∵bkn=kn=kbn,∴恒有bkn=kbn. |思|维|建|模| 解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 针对训练 5.已知公差不为0的等差数列{an}满足am+ap=2a5,则+的最小值为(　　) A.1 B. C. D.2 √ 解析:根据等差数列性质可得m+p=10,则(m+2)+p=12,∴+= (m+2+p)=≥=, 当且仅当=,即p=4,m=6时,等号成立.故选C. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (　　) A.3 B.-6 C.4 D.-3 √ 解析:由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= (　　) A.12 B.8 C.6 D.4 √ 解析:由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10) =2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.又d≠0,∴m=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 025= (　　) A.4 044 B.4 046 C.4 048 D.4 050 √ 解析:设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1=8=4d1,故d1=2,故bn=2n,则b2 025=2 025×2=4 050. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6,则a6的取值范围是 (　　) A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞) √ 解析:因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}递增,所以d>0, 所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 (　 ) A.132 B.133 C.134 D.135 √ 解析:设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…,所以数列{an}为等差数列,且首项为a1=11,公差为d=26-11=15,所以an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,则2≤an≤2 024,即2≤15n-4≤2 024,解得≤n≤135,则满足≤n≤ 135的正整数n的个数为135,因此该数列共有135项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则m-n的值等于(　　) A.- B.- C. D. √ √ 解析:设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为a1,a2,a3,a4,则数列a1,a2,a3,a4是首项为的等差数列,设其公差为d,由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3,①若a1,a4为方程x2-2x+m=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+n =0的两根,由根与系数的关系可得a1+a4=+a4=2,可得a4=,d==,则a2=,a3=,此时m=a1a4=,n=a2a3=,则m-n=-;②若a1,a4为x2-2x+n=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+m=0的两根,同理可得m=,n=,则m-n=.综上所述,m-n=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=4n-3,n∈N*,将{an},{bn}各项并在一起,相等的项即为一项,从小到大排列成一个新的数列{cn},则c2 023= (　　) A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 √ 解析:根据题意,得{an}:1,4,7,10,13,…;{bn}:1,5,9,13,17,….故{cn}:1,4, 5,7,9,10,13,…,把{cn}中的项按6个一组划分,则第k组可表示为12(k-1)+1,12(k-1)+4,12(k-1)+5,12(k-1)+7,12(k-1)+9,12(k-1)+10(k∈N*),又2 023=337×6+1,故c2 023是第338组的第一个数,则c2 023=12×337+1=4 045. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9=____.  8 解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,又2a3-+2a11=0,所以4a7-=0,即a7=4,所以a5+a9=2a7=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=______.  105 解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5. 设公差为d>0,则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80, 又d为正数,∴d=3.∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.   第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n+1列的数是_______.  n2+n 解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)在(-1,+∞)上具有单调性,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于_____.  -2 解析:由题意函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,则函数f(x)的图象关于x=-1对称,且在(-1,+∞)上具有单调性,因为f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列,所以a1+a100=a50+a51=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24. (1)求a20的值;(4分) 解:因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2, 所以a20=a3+17d=40. (2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.(6分) 解:由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0,即3n->0,得n>,所以数列{bn}从第7项开始大于0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2;(3分) 解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列. 因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…, 所以b1=a3=-7,b2=a7=-27. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求{bn}的通项公式;(4分) 解:设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n,即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*). (3){bn}中的第506项是{an}中的第几项?(3分) 解:由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023, 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=. (1)求数列{}的通项公式;(4分) 解:由已知得-=-,所以数列{}是等差数列, 设其公差为d. 由a4-a2=,得-=2. 所以2d=2,即d=1,所以=+(n-1)d=n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.(6分) 解:由an>0,得an=, 所以原不等式可化为+1<2, 两边平方可得n+6+2<4n, 即2<3n-6,所以4(n+5)<(3n-6)2, 整理得(n-4)(9n-4)>0,解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $