专题07 期末真题百练通关（100题七大压轴题型）（高效培优期末专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 初中数学期末压轴题型专项训练，100题分七大题型，覆盖选填与解答压轴，以题载法强化几何直观、推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填小压轴|角度问题15题|结合生活场景考查平行线性质、角平分线|从基本角关系到折叠/旋转动态问题，层层递进| |选填小压轴|规律问题12题|杨辉三角、数列等代数规律探究|由具体算式抽象通项公式，培养抽象能力| |选填小压轴|多结论问题15题|几何性质综合判断（如平行线、三角形）|串联多个性质定理，强化推理严谨性| |选填小压轴|含参数问题8题|方程解、因式分解、分式方程参数讨论|参数与方程解的关系，体现符号意识| |解答压轴|几何综合20题|平行线、三角形旋转/平移综合证明计算|从静态图形到动态变换，构建空间观念| |解答压轴|方程应用15题|行程、利润等实际问题建模|情境抽象为方程，培养模型意识| |解答压轴|整式与几何15题|面积公式与完全平方公式结合|代数公式与几何面积互化，深化数形结合|

专题07 期末真题百练通关（100题七大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 几何证明与计算大综合 题型2 规律问题 题型6 方程的综合应用 题型3 多结论问题 题型7 整式与几何综合 题型4 含参数问题 题型1 角度问题 1．如图，直线a、b被直线c所截，若，，那么（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等，直接利用两直线平行，内错角相等作答即可． 【详解】解： ，， ； 故选：C． 2．如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角相等，角平分线的定义，首先求出，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 3．光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质，熟记两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键． 由题中得到①，再由②，结合①②即可得到答案． 【详解】解： ， ①， ②， ①②得， 故选：C． 4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，与三角板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由题意得，，那么，代入即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， 故选：C． 5．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 6．如图为商场某品牌椅子的侧面图，与地面平行，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 过点C作，得到，，得到，再利用角的和差计算和对顶角相等，即可得解． 【详解】解：过点C作， 则． 由题意知：， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：C． 7．如图，已知，，垂足分别为点，，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 8．如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．根据邻补角的定义可得的度数，再由平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 9．如图，若直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质与判定．先根据平行线的性质，由得，再根据平行线的判定，由得，然后根据平行线的性质得，再把代入计算即可． 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 10．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 11．某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过C作，得到，推出，，即可求解． 本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 【详解】解：过C作， ， ， ，， ∵，， ∴，， 故选：A 12．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再根据得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 13．如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的度数是（    ）    A． B．15° C．17° D．19° 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“同位角相等两直线平行”解答即可． 【详解】解：由，木条a需顺时针转动的度数为， 当时，即， 解得， ∴． 故选：C． 14．为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路．如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知公路与公路平行，则公路从地到地修建的方向为北偏东（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角、平行线的性质等知识，根据题意，数形结合，找准各个方向角度，由两直线平行内错角相等求解即可得到答案，熟记平行线的性质，数形结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， ， 解得， 故选：B． 15．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则________°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 规律问题 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 17．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的规律，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律． 根据题意得到规律求解即可得到答案． 【详解】根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第二项， ∴展开式中含项的系数是：， 故选：A． 18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 求出，， ，，，可得到规律，即可求解． 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 故选：B 19．观察下列等式： ； ； … 小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，找出式子的规律是解题的关键．根据给定的式子的规律可得，然后将变形为，再计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴ ， 故选：B． 20．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1；…． 请依据上述规律判断：若今天是星期五，则经过天后是（   ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】D 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的尾数，即可获得答案． 【详解】解：∵， 依题意，， ∵ ∴的余数为2， 即的余数为2， ∴今天是星期五，则经过天后是星期天． 故选：D． 21．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 22．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A．， B．，7 C．2， D．2，7 【答案】A 【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：A． 23．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 24．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 25．观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．分别过作直线a的平行线，由平行线的性质可得出：于是得到，，，根据规律得到结果． 【详解】解：如图，过作， 同理可得，， 如图，分别过作直线a的平行线， ∵， ∴． 由平行线的性质可得出： ∴第1个图中：， 第2个图中：， 第3个图中：， 第4个图中：， ……， ∴第n个图中：． 故答案为：． 26．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，第一行相加为：，设第二行中间的数为，则可列出关于的一元一次方程，进而求得的值． 【详解】解：∵， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍， 依题意，第一行相加为： ∴， ∴ 设第二行中间的数为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 27．观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 题型3 多结论问题 28．《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”．据此求客房和房客的数量．以下是甲、乙、丙三种解题思路：【甲】设客房有x间，则；【乙】设房客有y人，则；【丙】设客房有x间，房客有y人，则．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用．根据题意逐一判断即可． 【详解】解：甲：设客房有间，根据题意， 第一种情况总人数为，第二种情况总人数为．两者相等， 故方程为，正确； 乙：设房客有人， 第一种情况的房间数为，第二种情况的房间数为（空一间房，实际使用房间数为总房间数减1）， 故方程为，但乙的方程缺少“”，错误； 丙：设客房间，房客人， 第一种情况：，即；第二种情况：． 联立方程组得，正确． 综上，甲和丙正确，共2个， 故选：B． 29．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中记载这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文为：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，同人数、物价各多少？对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（   ） 甲：设人数有x人，则； 乙：设物价有y钱，则； 丙：设人数有x人，物价有y钱，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，设人数为人，物价有y钱，根据物价不变和人数变化，分别用物价表示出人数，用人数表示出物价，进而建立方程组和方程即可得到答案． 【详解】解：设人数为人， 根据每人出8钱时，总钱数为，多出3钱，可得物价为钱， 根据每人出7钱时，总钱数为，差4钱，可得物价为钱， ∴，故甲正确； 设物价为钱， 根据每人出8钱时，总钱数为钱，则人数为人， 根据每人出7钱时，总钱数为钱，则人数为人， ∴，故乙正确； ∴，故丙正确； 综上，甲、乙、丙三人的方案均正确， 故选：A． 30．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 31．下列语句正确的有（   ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质，熟练掌握定义和公理是解答本题的关键． 根据平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，应为在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，错误； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，错误； 过两条直线，外一点，画直线，使，且，因为过两条直线，外一点，画直线，使，且，当与相交时，这样的直线不存在，错误； 若直线，，则，正确； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误； 故选：D． 32．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则 ；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义，互余等．根据，平分，通过导角可判断①；根据平行线的判定定理可判断②；根据平行线的性质及角平分线的定义可判断③；根据互余的定义可判断④． 【详解】解： 平分， ， ， ，， ， 平分，故①正确； ，平分， ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确； 与互余的角有：，，，，共4个．故④错误； 综上可知，正确的有， 故选C． 33．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，平角的定义，理解角的相关知识是解答关键． 利用角平分线的有关计算，平角的定义，对顶角相等来分别计算求解． 【详解】解：平分，， ， ，故①正确； ， ． 平分， ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有个． 故选：D． 34．如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到，连接， ∴，故①正确； ，故②正确； ，根据平移得，则，故③正确； ∵，沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到， ∴四边形周长为，故④正确； 故选：D． 35．如图，在三角形中，，AB=3cm，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接AD，有以下结论：①；②ADCF；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据平移的性质可知①②③正确；根据平移的性质及平行线的性质可知④正确． 【详解】解：∵沿着直线的方向平移后得到， ∴， 故①正确； ∵沿着直线的方向平移后得到， ∴， 故②正确； ∵沿着直线的方向平移后得到， ∴点对应点的连线， 故③正确； ∵沿着直线的方向平移后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 36．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 37．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；然后根据平行线的判定定理判断③；最后根据平行线的判定与性质判断④． 【详解】解：，， ，故正确； ， ， ， ， 不能判断，故错误； ， ， ，故正确； ， ， ， ，故正确． 故选：C． 38．如图，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，求出，即可判断①；利用邻补角计算即可判断②；过点作，利用平行线的性质计算即可判断③；利用平行线的性质计算即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 39．以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质、最简分式、分式值为零的条件及分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式的相关知识． 根据分式的相关知识，逐一分析各说法是否正确即可． 【详解】解：∵分式的分子和分母在实数范围内无公因式，无法约分， ∴是最简分式， ∴说法正确， ∵将、扩大到原来的倍，分式变为， ∴分式的值扩大为原来的倍， ∴说法不正确， ∵分式的值为时，分子 解得，， ∵分母， ∴， ∴说法正确， ∵方程无解，或， ∴说法不正确， ∴说法正确的有个， 故选：． 40．我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析． ①这种调查方式是抽样调查，说法正确； ②12000名学生的身高情况是总体，原说法错误； ③600名学生的身高情况是总体的一个样本，原说法错误； ④每名学生的身高是个体，说法正确； ⑤样本容量是600，原说法正确； 所以正确的判断有①④⑤，共3个． 故选：B． 41．如图，已知，点E为延长线上一点，平分平分交的延长线于点G，且．则下列结论：①平分；②；③；④若点P为线段上一点（不与点A重合），则．正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行的性质，角平分线的性质,垂直的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行的性质和角平分线的性质． 利用平行的性质，角平分线的性质,垂直的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵平分， ， ∵， ， ∴， ∴平分， 故①正确，符合题意； ②由①得，， ∴， 故②正确，符合题意； ③由②得，， ∵， ∴， 由①得，， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作,交射线于点， 又∵， ∴， ， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①，②，③，④， 故选：D． 42．下列说法中正确的个数有（   ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式，整式的乘法进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①若满足， ∴ 即 ∴ ∴；故①正确 ②∵， ∴，当是整数时，不可能是整数， ∴关于的方程不存在整数解，故②不正确； ③∵ ∴， ∴ ∴ ∴，故③不正确； ④∵ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 故正确的个数有个 故选：B． 43．已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】①将x＝5，y＝﹣1代入检验即可做出判断； ②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断； ③将a＝1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可； ④有x+y＝3得到x、y都为自然数的解有4对． 【详解】解：①将x＝5，y＝﹣1代入方程组得：， 由①得a＝2，由②得a＝，故①不正确． ②解方程 ①﹣②得：8y＝4﹣4a 解得：y＝， 将y的值代入①得：x＝， 所以x+y＝3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确． ③将a＝1代入方程组得：， 解此方程得：， 将x＝3，y＝0代入方程x+y＝3，方程左边＝3＝右边，是方程的解，故③正确． ④因为x+y＝3，所以x、y都为自然数的解有，，，．故④正确． 则正确的选项有②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 44．如图a∥b，与相交，与相交，下列说法： ①若，则； ②若，则c∥d； ③； ④， 正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可． 【详解】解：如图： ①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确； ②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确； ③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°−∠1=360°得，∠2+∠3+180°−∠4+180°−∠1=360°，则∠4−∠2=∠3−∠1，故此说法正确； ④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误． 综上，正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 45．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 46．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 【分析】根据图1、图2与正方形A、正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 又图1，图2中阴影部分的面积分别为4， ，，即， ， 即， 因此①正确； ， 因此②正确； ，，， ，， ，， ， 即正方形A与正方形B的面积差为16， 因此③正确； 由于，即正方形A的边长为5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 47．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是________． 【答案】② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式、幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有的过程得展开式共有项，系数的和为：，再把②③④结合“杨辉三角”的规律，进行整理化简，即可作答． 【详解】解：∵，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ∴，系数的和为：， …… 以此类推，展开式共有项，系数的和为：，故①不符合题意； 结合“杨辉三角”，则， ∴， 即的结果是；故②符合题意； 结合“杨辉三角”，则， 即， ∵当代数式的值是1， ∴， ∴， 解得或，故③不符合题意； ，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∴的余数为6， 因此今天是星期一，再过天是星期天．故④不符合题意； 综上分析可知：正确的序号是②． 故答案为：②． 题型4 含参数问题 48．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 49．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 50．已知是二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将给定的解代入方程，求解 m 的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ . 故选： A． 51．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 52．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 53．把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 将因式展开后与多项式比较系数，求出a和b的值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵原多项式为， ∴，， ∴． 故选B． 54．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 55．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 56．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 57．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的特殊解．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，,从而求得m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选：C． 题型5 几何证明与计算大综合 58．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 59．如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)60； (2)①平行，见解析；②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； （2）解：①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 60．如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 61．已知，点A，D在直线上，点E，B在直线上，，平分，F是直线上方一点，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平角的定义，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． （1）由得，又，等量代换得，即可证明； （2）由，可得的度数，并根据及角平分线，可求，并根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴． （2）∵，， ∴， ∵ ∴ 而平分， ∴ 由（1）得 ∴． 62．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 63．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数． （1）根据平行线的性质求解即可． （2）过点作，由平行线的性质得出，根据线段的和差关系即可得出，再证明，再由平行线的性质即可得出的度数． （3）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，设，则，过点作．根据平行线的性质列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）解：如图1，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 由（1）知， 所以， 所以． 所以． （3）解：存在，理由如下： 设，则， 过点作． 因为， 所以． 如图2，当点在点左侧时，， 由（2）知， 所以， ∴， 解得：， 即：． 如图1，当点在点右侧时，， 由（2）知， 所以，， 解得：， 即：． 综上所述：的度数为或． 64．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质； （1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质解答即可； （3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ，   ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ，， ． ； （3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 65．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 66．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求． （3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）． 【答案】（1）45°；（2）90°；（3）162°或（90°+x）° 【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解决问题； （2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线a∥b，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得a的度数； （3）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析即可． 【详解】解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠APC=∠BPD， ∵∠CPD=90°， ∴∠APC+∠BPD=90°， ∴∠APC=45°； （2）如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G， ∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG， ∵a∥b， ∴∠EPQ+∠PQF=180°， ∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°， ∴∠GPQ+∠PQG=90°， ∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°， ∴∠PGQ=90°， ∵PG⊥AB，QG⊥BC， ∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°， ∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°， 即α=90°． （3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E， 由（2）知，∠E=90°， ∵α=108°， ∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°， ∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°； 若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b， ∵∠BHF=∠AHP=x， ∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x， ∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x， ∵a∥b， ∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°， ∴∠FGQ=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°， 则∠CGF=（180°-∠FGQ）=18°， 由∠CGF+∠CFG+β=180°， 得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-18°=90°+x， 综上，β角的度数为162°或90°+x． 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键． 67．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 68．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 69．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 70．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 题型6 方程的综合应用 71．某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动： 人数x/人 收费标准/元 50 45 40 经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？ 【答案】该校七年级参观该景点的学生人数是 160 人，八年级参观该景点的学生人数是 80 人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设该校七年级参观该景点的学生人数是人，八年级参观该景点的学生人数是人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费 11200 元；若两个年级学生联合组团只需花费 9600元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是人，八年级参观该景点的学生人数是人， （元）， ， ， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级参观该景点的学生人数是 160 人，八年级参观该景点的学生人数是 80 人． 72．请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用： 任务1：根据题意求出拆除旧教学楼的实际面积，新建教学楼的实际面积，即可； 任务2：根据题意，列出方程组，即可求解； 任务3：求出多余资金，即可． 【详解】解：（1）拆除旧教学楼的实际面积为， 新建教学楼的实际面积为， 完成表格如下： 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x 新建教学楼面积 y （2）由题意，得 解得， 此时 答：学校实际新建教学楼面积为． （3）方法一：（元） 方法二：多余资金为， 扩大绿化面积为： 答：扩大的绿化面积为． 73．如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 【答案】(1)，， (2)，． (3)第二批货物的原料是60吨，成品率提高了 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组是解题的关键． （1）根据题意分别用表示即可； （2）根据“第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．”列出方程组，即可求解； （3）设第二批货物的原料有吨，产品有吨，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意填写表格如下： 地 地 公路运费（元） 铁路运费（元） （2）解：由题意得：， 解得：． （3）解：设第二批货物的原料有吨，产品有吨，由题意得： ， 解得：， ∵第一批成品率： 第二批成品率： ∴第二批成品率提高了． 答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了． 74．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 75．诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 【答案】(1)个体户A加工销售的香榧每克利润为元； (2) (3)该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）由每克利润总利润总重量，再列式计算即可； （2）由每克利润总利润总重量，列式表示企业B加工销售的香榧单克利润，再建立方程求解即可； （3）先求解商店从企业共购入盒，设该次交易的销售数量为盒，当售价不满元时，可得，此时方程无解；当售价大于或等于元时，设满减元，此时，且，可得，再利用方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（元/克） ∴个体户A加工销售的香榧每克利润为元； （2）解：由题意可得：， 解得：； （3）解：由题意可得：商店从企业共购入（盒）， 设该次交易的销售数量为盒， 当售价不满元时，则 ， 此时方程无解； 当售价大于或等于元时，设满减元， 此时， ∴， ∴， ∵都为正整数，且， ∴①，， ②，， ③，， ④，， ⑤，，此时总售价为（元），而，不符合题意，舍去， ∴该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 76．根据如表素材，探索完成任务． 背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：3杯或20杯 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键． 任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； 任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元； 任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， 、、均为非负整数， 或 或， 答：款加料的奶茶买了3杯或20杯． 77．问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)150 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： 得，． 故答案为：2 （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 78．某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 79．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 80．根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【答案】(1)成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． (2)该景区门票打8折销售． (3)小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． （1）设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设景区门票打m折，根据题意列出分式方程求解即可； （3）设小明购买了a张成人票，b张学生票，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． （2）解：设景区门票打m折， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，符合题意，且满足方程． 答：该景区门票打8折销售． （3）解：设小明购买了a张成人票，b张学生票，则． 即． 化简，得． ∵a， b均为正整数， ∴或． ∴小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 81．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 82．年春晚吉祥物“龙辰辰”，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜爱．某商店，第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件． (1)求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“龙辰辰”玩具每件售价均为元，且全部售完，求两次的利润总和． 【答案】(1)元/件 (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握分式方程的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键 （1）设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元/件； （2）解：由题意知，第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为元， ∵（元）， ∴两次利润总和为元． 83．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元． (1)求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？ (2)“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5． ①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？ ②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由． 【答案】(1)每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元． (2)①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售；②有2种购买方案，理由见解析． 【分析】（1）根据题意直接列出二元一次方程组即可求解； （2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，根据“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格，分别设出购买篮球和羽毛球拍的个数，根据总钱数，列出一个二元一次方程，根据题意求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元， 依题意得： ，解得：． 答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元． （2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售． ②他有2种购买方案，理由如下： 设小能购买了个篮球，副羽毛球拍， 依题意得：， 化简得：． 均为正整数， 小能有2种购买方案． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组、分式方程、二元一次方程的实际应用等知识点，正确理解题意、根据等量关系列出相应的方程是解题关键． 84．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 85．冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 由题意可得， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得， ， 整理得，， 当时，， 当时，， ∴方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液； 方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液． 86．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 87．某校组织趣味数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同．如表记录了4位参赛者的答题及得分情况． 参赛者 答题总数 答对题数 答错题数 总得分 20 20 0 100 20 19 1 93 C 17 14 3 64 13 11 2 51 (1)从如表可以看出：答对1题得___________分，答错1题得___________分，未作答1题得___________分； (2)参赛者完成18道答题得69分，他答对了多少道题？ (3)参赛者得了67分，请直接写出他答对___________题；答错___________题；未作答___________题． 【答案】(1)5，，0 (2)他答对了15道题； (3)15；4；1 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，二元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系列出方程是关键． （1）从参赛者的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由参赛者的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者E答对了x道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分=69分建立方程求出其解即可； （3）设参赛者F答对了a道题，未作答b题，则答错了道题，得到，由于a和b都是非负整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分， 未作答1题得分为：分， 故答案为：5，，0； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，由题意，得， ， 解得：． 答：他答对了15道题； （3）解：设参赛者F答对了a道题，未作答b题，则答错了道题，由题意，得， ， 整理得， 由于a和b都是非负整数， ∴，，， 他答对15题；答错4题；未作答1题． 故答案为：15；4；1． 题型7 整式与几何综合 88．如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 89．将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则________． 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、，若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）32；（2）80；（3）． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）由题意可得，即可求解； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，可得，，代入即可求解. 【详解】解：（1）∵ 故答案为：32； （2）由条件可知 ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 90．如图，两个正方形边长分别为，． (1)求阴影部分的面积（用含，的式子表示）； (2)当，时，求此时阴影部分的面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积、完全平方公式变形求值． （1）根据正方形的性质可知，，，，可得，根据三角形的面积公式即可得到代数式； （2）由完全平方公式可知，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：如下图所示， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，， ， . 91．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值； (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则________； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． (3) 【答案】(1)68 (2)①52；②60；③64 【分析】本题主要考查了完全平方公式和几何图形的结合，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式进行求解即可； ②设，，利用完全平方公式进行求解即可； ③设，，则，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：①设，则，， ， 故答案为：52； ②设，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 92．在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②60 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积， 即； （2）解：①由（1）可得：， ∵，， ∴， 解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 93．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①5；② 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和转化，熟练对公式变形是解题关键． （1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到； （3）①由（2）公式可变形得，代入求出的值即可； ②令，，从而得到，由可得，利用（2）公式求出的值即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 94．“以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式：      (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______； (2)利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值； (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）根据代入计算即可； （3）根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：由图2可得， 故答案为：． （2）解：， ，即， ， ， ． （3）解：，， ∴阴影部分的面积为． 95．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 96．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）利用（1）的结论，把写成两个式子相乘的形式，把代入计算，即可得的值； （3）利用（1）的结论，对原式进行变形，写成便于约分的形式，计算即可． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为． （3）解：． ． 97．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 98．【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 【答案】(1)图形见解析，； (2)； (3)，； (4) 【分析】本题主要考查了数形结合思想、立方和公式的推导与应用，熟练掌握“利用几何图形的面积/体积表示代数运算，归纳立方和的规律”是解题的关键． （1）类比已知推导方法，构造图形表示、、，通过大正方形面积得出和； （2）根据前面规律归纳的表达式； （3）分类统计不同棱长的正方体个数，利用（2）的结论计算总和； （4）先确定大正方体棱长，再用（2）的结论计算所有正方体个数． 【详解】（1）解：构造图形如图， 表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：， 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，，，就可以表示个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵ 棱长1的正方体：个，棱长2的正方体：个，棱长3的正方体：个，棱长4的正方体：个， ∴ ， ∴ 故答案为：，； （4）解：设图4大正方体棱长为，则大小正方体个数为，由（2）可知大小正方体共有（个）， 99．【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （2）利用（1）所得的等量关系解得即可； （3）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解； （4）根据完全平方公式得到，根据求出，即，进入求出，根据求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， 由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米， ∴， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）解： ， ∵， ∴， （负值舍去） ∵， ∴， 即， ∴ ∵ ， ∴． 100．【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（100题七大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 角度问题 题型5 几何证明与计算大综合 题型2 规律问题 题型6 方程的综合应用 题型3 多结论问题 题型7 整式与几何综合 题型4 含参数问题 题型1 角度问题 1．如图，直线a、b被直线c所截，若，，那么（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．如图为商场某品牌椅子的侧面图，与地面平行，，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知，，垂足分别为点，，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，若直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 12．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 13．如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的度数是（    ）    A． B．15° C．17° D．19° 14．为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路．如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知公路与公路平行，则公路从地到地修建的方向为北偏东（    ） A． B． C． D． 15．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则________°． 题型2 规律问题 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 17．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 19．观察下列等式： ； ； … 小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 20．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1；…． 请依据上述规律判断：若今天是星期五，则经过天后是（   ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 21．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 22．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A．， B．，7 C．2， D．2，7 23．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 24．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 25．观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ________． 26．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为_______． 27．观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 题型3 多结论问题 28．《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”．据此求客房和房客的数量．以下是甲、乙、丙三种解题思路：【甲】设客房有x间，则；【乙】设房客有y人，则；【丙】设客房有x间，房客有y人，则．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 29．我国古代《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中记载这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文为：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，同人数、物价各多少？对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（   ） 甲：设人数有x人，则； 乙：设物价有y钱，则； 丙：设人数有x人，物价有y钱，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 30．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 31．下列语句正确的有（   ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 32．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则 ；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．如图，在三角形中，，AB=3cm，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接AD，有以下结论：①；②ADCF；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 36．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 38．如图，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 40．我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 41．如图，已知，点E为延长线上一点，平分平分交的延长线于点G，且．则下列结论：①平分；②；③；④若点P为线段上一点（不与点A重合），则．正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 42．下列说法中正确的个数有（   ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 44．如图a∥b，与相交，与相交，下列说法： ①若，则； ②若，则c∥d； ③； ④， 正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 45．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 46．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 47．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是________． 题型4 含参数问题 48．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 49．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 50．已知是二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 51．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 52．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 53．把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 54．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 55．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 56．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 57．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 题型5 几何证明与计算大综合 58．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 59．如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 60．如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 61．已知，点A，D在直线上，点E，B在直线上，，平分，F是直线上方一点，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 62．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 63．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 64．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 65．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 66．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求． （3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）． 67．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 68．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 69．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 70．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 题型6 方程的综合应用 71．某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动： 人数x/人 收费标准/元 50 45 40 经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？ 72．请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 73．如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 74．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 75．诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 76．根据如表素材，探索完成任务． 背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 77．问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 78．某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 79．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 80．根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 81．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 82．年春晚吉祥物“龙辰辰”，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜爱．某商店，第一次用元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件． (1)求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“龙辰辰”玩具每件售价均为元，且全部售完，求两次的利润总和． 83．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元． (1)求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？ (2)“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5． ①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？ ②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由． 84．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 85．冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 86．综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 87．某校组织趣味数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同．如表记录了4位参赛者的答题及得分情况． 参赛者 答题总数 答对题数 答错题数 总得分 20 20 0 100 20 19 1 93 C 17 14 3 64 13 11 2 51 (1)从如表可以看出：答对1题得___________分，答错1题得___________分，未作答1题得___________分； (2)参赛者完成18道答题得69分，他答对了多少道题？ (3)参赛者得了67分，请直接写出他答对___________题；答错___________题；未作答___________题． 题型7 整式与几何综合 88．如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 89．将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： 【直接应用】 （1）若，，则________． 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、，若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 90．如图，两个正方形边长分别为，． (1)求阴影部分的面积（用含，的式子表示）； (2)当，时，求此时阴影部分的面积的大小． 91．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值； (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则________； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． (3) 92．在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 93．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 94．“以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式：      (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______； (2)利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值； (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 95．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 96．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 97．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 98．【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 99．【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 100．【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $