七年级数学下学期期末模拟卷（新教材鲁教版五四制七下全部）

**基本信息** 以《孙子算经》古文应用、疫情口罩销售等真实情境为载体，通过基础判断、综合计算、动态探究三级梯度设计，覆盖鲁教五四版七年级下册数学核心知识，突出运算能力、推理意识与模型意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|二元一次方程组判断、平行线性质|第7题以古文算经考方程模型，体现文化传承| |填空|6/18|概率频率、不等式组整数解|第13题坐标平移与面积计算，融合几何直观| |解答|7/72|方程组求解、几何证明、函数应用|第20题疫情口罩销售考函数与不等式，第23题三角板旋转探究动态几何推理|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A C C B B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．4 12．5 13．（1）（2）/（2）（1） 14．9 15．25° 16． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴方程组的解为：；..........4分 （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：．.........4分 18．（8分） 【详解】（1）解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为；..........2分 （2）解：①画树状图如下： ..........3分 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为；..........4分 ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为，..........5分 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： ..........7分 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为．..........8分 19．（8分） 【详解】（1）证明：，， ， ，..........1分 ， ， ；..........3分 （2）解：， ，..........4分 ， ，..........5分 平分， ，..........6分 ， ．..........8分 20．（12分） 【详解】解：（1）设A中口罩的售价为x元，B种口罩的售价为（x+20）元， 由题意得：9x=4(x+20) ，解得：x=16，..........2分 ∴16+20=36（元），..........3分 答：A种口罩和B种口罩每包售价分别为16元和36元；..........4分 （2）设应该购进A种口罩x包，则B种口罩购进(1500-x)包，设利润为y元， 由题意得：1500-x≤x，解得：x≥1200，..........6分 y=(16-12)x+(36-28) ×(1500-x)=-4x+12000， ∴当x=1200时，y最大值=12000-4×1200=7200，..........8分 答：应该购进A种口罩1200包，才能使利润最大，最大利润为7200元；..........9分 （3）设该药店4月份购进B种口罩a包，A种口罩4a包，C种口罩c包， 由题意得：12×4a+28a+10c=12000， 化简得：， ∵，即：，..........10分 又∵6000-38a是5的倍数且a为整数， ∴a最大可取155， ∴a+4a+=≥797，..........12分 即：该店至少可以购进三种口罩共797包． 21．（10分） 【详解】（1）证明：∵， ∴，，..........1分 ∵E为的中点， ∴，..........2分 ∵， ∴．..........4分 （2）解：∵， ∴，，..........5分 ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，..........7分 ∵， ∴，..........8分 ∵， ∴．..........10分 22．（12分） 【详解】（1）解：由题意得：，解得：，..........2分 ∴直线对应的函数表达式为，..........3分 解方程组得 ∴点C的坐标为...........5分 （2）解：∵直线，令，得，解得：， ∴与x轴的交点坐标是，..........6分 由图象可知：可得当，直线在x轴及上方即， 当时，直线在直线的下方，即， ∴当时，， 即关于x的不等式组的解集为...........8分 （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上， 设P点坐标为，则点Q坐标为， 当在C点左侧，则，解得，此时P点坐标为， 当在C点右侧，则，解得，此时P点坐标为， ∴P点的坐标为或...........12分 23．（14分） 【详解】（1）∵DEBC ∴∠CED＝∠BCA＝90°..........1分 ∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30°..........3分 （2）①是，45°.理由如下： 过点G作直线HLMN，则HLPQ． ..........4分 ∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，..........5分 ∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC..........6分 ∴∠BGF－∠EFN＝∠ABC＝45°..........7分 ②共分三种情况： 情况1：DEBC时，5t＝30，t＝6；..........9分 情况2：DEAB时，5t＝75，t＝15；..........11分 情况3：DEAC时，5t＝120，t＝24. ..........13分 ∴综上，t＝6，15，24秒．..........14分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材鲁教五四版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．已知a<b，则下列四个不等式中，不正确的是（   ） A．a+2<b+2 B． C． D． 4．2．如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(    ) A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，直线y＝﹣x＋a与y＝x＋b的交点的横坐标为﹣2，两直线与x轴交点的横坐标分别是﹣1，﹣3，则关于x的不等式﹣x＋a＞x＋b＞0的解集是（    ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣3＜x＜﹣2 D．﹣3＜x＜﹣1 7．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，平分，于点，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D． 10．如图，在中，，，、分别为、边上的点，不与点，重合，且，连接、交于点，连接．于点，交于点，于点，交于点，交于点．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点在边上移动时，总有 D．点在边上移动时，总有 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为______． 12．不等式组的整数解的和是___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，将线段水平向右平移到，，分别交x轴于N，M点．已知A、D两点的坐标分别为，，连结，，得面积为12的四边形，交y轴于E点．现有以下结论： （1）点C的坐标为； （2）三角形的面积为； （3）点M是N点向右平移4个单位而得到，点M坐标为； （4）若点为四边形内的一点，连，，且三角形的面积为4，则m的取值范围为．其中正确结论的序号为________． 14．如图，在直角坐标系中的坐标分别为，，，则的面积为________． 15．如图，在长方形中，点P在上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，已知．则的度数为___________． 16．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程组： （2）解不等式组： 18．在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 19．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 20．疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表： A种口罩 B种口罩 进价（元/包） 12 28 售价（元/包） 已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，9包A种口罩和4包B种口罩总售价相同． （1）求A种口罩和B种口罩每包售价． （2）若该药店3月份购进A种和B种口罩共1500包进行销售，且B种口罩数量不超过A种口罩的，如果所进口罩全部售出，应该购进A种口罩多少包，才能使利润最大，并求出最大利润． （3）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的4倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？ 21．如图，四边形中，，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当，时，求的长． 22．如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 23．如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材鲁教五四版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】A、中的是二次的，故此选项错误； B、中含有，不是整式方程，故此选项错误； C、中含有3个未知数，故此选项错误； D、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 2．如图，，，，则的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得到∠A=∠D=65°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠A=∠D=65°， ∴∠C=180°-∠ABC -∠A=35°， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．已知a<b，则下列四个不等式中，不正确的是（   ） A．a+2<b+2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐项排除即可． 【详解】解：∵a<b ∴a+2<b+2成立，则A选项不符合题意； 当c=0时，，则B选项符合题意； 成立，则C选项不符合题意； 成立，则D选项不符合题意． 故答案为B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式左右两边同时加（减）一个数（式）不等式符号不变；②给不等式左右两边同时乘（除）一个不为零的数（式），当该数（式）大于零时不等式符号不变，反之改变． 4．如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(    ) A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，设，，分别求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解：：：：：， 设，， Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为，，， ∵， 豆子落在区域Ⅰ的概率最小． 故选：A． 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：， 由作图过程可知：平分，故①正确； ∵ 点在的垂直平分线上，故②正确； ∴，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 6．如图，直线y＝﹣x＋a与y＝x＋b的交点的横坐标为﹣2，两直线与x轴交点的横坐标分别是﹣1，﹣3，则关于x的不等式﹣x＋a＞x＋b＞0的解集是（    ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣3＜x＜﹣2 D．﹣3＜x＜﹣1 【答案】C 【分析】根据题意和图形可以求得不等式的解集，从而可以解答本题． 【详解】∵直线y＝﹣x＋a与y＝x＋b的交点的横坐标为﹣2，两直线与x轴交点的横坐标分别是﹣1，﹣3， ∴ 关于x的不等式﹣x＋a＞x＋b＞0的解集就是直线y＝﹣x＋a位于直线y＝x＋b上方的部分且位于x轴上方，所对应的x取值范围，即﹣3＜x＜﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子比木长4.5尺，可得；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得： ， 故选：B． 8．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，结合全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 由题意可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴． 故选：B． 9．如图，在中，，，，平分，于点，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】延长、相交于点E，证明，可得，，从而可得，再由，求得，即可求得面积． 【详解】解：延长、相交于点E， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、全等三角形的判定与性质，三角形的中线，根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．如图，在中，，，、分别为、边上的点，不与点，重合，且，连接、交于点，连接．于点，交于点，于点，交于点，交于点．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点在边上移动时，总有 D．点在边上移动时，总有 【答案】D 【分析】证明，根据，的角度转化即可得到A选项结论，证明即可得到C选项结论，证明即可得到B结论，证明 即可得到D选项结论． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，则A选项正确； ∴ 在和中， ， ∴， ∴，则C选项正确； ∴ ∵ ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴，则B选项正确； 过点作，交的延长线于， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，则D选项不正确． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是用频率估计概率，以及概率公式；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.2，再根据概率公式列出方程，求解即可． 【详解】解：由题知，摸到白球的概率为0.2， ， 解得， 故答案为：4． 12．不等式组的整数解的和是___________． 【答案】5 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式得． 解不等式得． 不等式组的解集为． 不等式组的整数解为，． 整数解的和为． 13．如图，在平面直角坐标系中，将线段水平向右平移到，，分别交x轴于N，M点．已知A、D两点的坐标分别为，，连结，，得面积为12的四边形，交y轴于E点．现有以下结论： （1）点C的坐标为； （2）三角形的面积为； （3）点M是N点向右平移4个单位而得到，点M坐标为； （4）若点为四边形内的一点，连，，且三角形的面积为4，则m的取值范围为．其中正确结论的序号为________． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【分析】根据平移的性质得到点D到的距离为3，，，进而得到，则，进而得到，，即可判断（1）；利用三角形面积公式即可判断（2）；根据平移距离即可得到点M是N点向右平移4个单位而得到，然后求出所在直线表达式为，然后将代入求解即可判断（3）；过点P作轴分别交于G、H，则，，，，根据得到，据此求解即可判断（4）． 【详解】解：∵将线段向右平移到，，， ∴， ∴点D到的距离为3，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，故（1）正确； ∵ ∴ ∴三角形的面积，故（2）正确； ∵， ∴平移距离为4 ∴点M是N点向右平移4个单位而得到， ∵，， ∴设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴点M坐标为，故（3）错误； 如图所示，过点P作轴分别交于G、H， ∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 当时，；当时， ∵点P为四边形内部一点， ∴，故（4）错误． 综上所述，其中正确结论的序号为（1）（2）． 【点睛】本题主题考查了坐标与图形，平移的性质，求三角形面积，一次函数与几何综合，解题的关键是掌握以上知识点． 14．如图，在直角坐标系中的坐标分别为，，，则的面积为________． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，∵，，， 则的面积． 故答案为：9． 15．如图，在长方形中，点P在上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，已知．则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，，，可得的度数，进一步可得的度数． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， 根据翻折，可得，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再求出其公共解集． 本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）， 得，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴方程组的解为：； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 18．在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意知，共有48种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24种，利用概率公式可得答案． （2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． ②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为； （2）解：①画树状图如下： 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为； ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为， 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为． 19．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识． （1）根据，，易证，得到，由，等量代换推出，依据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由得，可得，根据角平分线的定义得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 20．疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表： A种口罩 B种口罩 进价（元/包） 12 28 售价（元/包） 已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，9包A种口罩和4包B种口罩总售价相同． （1）求A种口罩和B种口罩每包售价． （2）若该药店3月份购进A种和B种口罩共1500包进行销售，且B种口罩数量不超过A种口罩的，如果所进口罩全部售出，应该购进A种口罩多少包，才能使利润最大，并求出最大利润． （3）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的4倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？ 【答案】（1）A种口罩和B种口罩每包售价分别为16元和36元；（2）应该购进A种口罩1200包，才能使利润最大，最大利润为7200元；（3）该店至少可以购进三种口罩共797包． 【分析】（1）设A中口罩的售价为x元，B种口罩的售价为（x+20）元，根据“9包A种口罩和4包B种口罩总售价相同”，列出方程，进而即可求解； （2）设应该购进A种口罩x包，则B种口罩购进(1500-x)包，设利润为y元，根据题意，列出不等式，求出x的范围，再列出y关于x的一次函数解析式，进而即可求解； （3）设该药店4月份购进B种口罩a包，A种口罩4a包，C种口罩c包，用含a的代数式表示c，根据a，c的实际意义，求出a最大可取155，进而即可求解． 【详解】解：（1）设A中口罩的售价为x元，B种口罩的售价为（x+20）元， 由题意得：9x=4(x+20) ，解得：x=16， ∴16+20=36（元）， 答：A种口罩和B种口罩每包售价分别为16元和36元； （2）设应该购进A种口罩x包，则B种口罩购进(1500-x)包，设利润为y元， 由题意得：1500-x≤x，解得：x≥1200， y=(16-12)x+(36-28) ×(1500-x)=-4x+12000， ∴当x=1200时，y最大值=12000-4×1200=7200， 答：应该购进A种口罩1200包，才能使利润最大，最大利润为7200元； （3）设该药店4月份购进B种口罩a包，A种口罩4a包，C种口罩c包， 由题意得：12×4a+28a+10c=12000， 化简得：， ∵，即：， 又∵6000-38a是5的倍数且a为整数， ∴a最大可取155， ∴a+4a+=≥797， 即：该店至少可以购进三种口罩共797包． 【点睛】本题主要考查一次函数，一元一次不等式以及一元一次方程的实际应用，准确找出数量关系，列出函数表达式、不等式以及方程，是解题的关键． 21．如图，四边形中，，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行线的性质，结合中点的意义，选择适当判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数求一次函数解析式，求两条直线交点坐标，一次函数与一元一次不等式，一次函数与几何综合； （1）由直线与直线平行可得，再将点代入即可求出； （2）不等式组的解集是直线在x轴及上方，且在直线的下方的部分，结合图象即可得出结果； （3）由轴，可得点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上，可设P点坐标为，则点Q坐标为，分类讨论：当在C点左侧，；当在C点右侧，，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ∴直线对应的函数表达式为， 解方程组得 ∴点C的坐标为. （2）解：∵直线，令，得，解得：， ∴与x轴的交点坐标是， 由图象可知：可得当，直线在x轴及上方即， 当时，直线在直线的下方，即， ∴当时，， 即关于x的不等式组的解集为. （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上， 设P点坐标为，则点Q坐标为， 当在C点左侧，则，解得，此时P点坐标为， 当在C点右侧，则，解得，此时P点坐标为， ∴P点的坐标为或. 23．如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 【答案】(1)30° (2)①定值，45°；②t＝6，15，24秒 【分析】对于（1），根据“两直线平行内错角相等”得∠CED=90°，再根据∠FAC＝∠CED－∠FAD得出答案； 对于（2）①，先作直线HLMN，得HLPQ，根据平行线得性质得∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，再根据∠BGF＝∠HGF＋∠BGH，推导得出答案； 对于②，共分三种情况：DEBC，DEAB，DEAC，再结合速度和角度之间的关系求出答案. 【详解】（1）∵DEBC ∴∠CED＝∠BCA＝90° ∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30° （2）①是，45°.理由如下： 过点G作直线HLMN，则HLPQ． ∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC ∴∠BGF－∠EFN＝∠ABC＝45° ②共分三种情况： 情况1：DEBC时，5t＝30，t＝6； 情况2：DEAB时，5t＝75，t＝15； 情况3：DEAC时，5t＝120，t＝24. ∴综上，t＝6，15，24秒． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．解答本题时注意：分情况讨论． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材鲁教五四版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．已知a<b，则下列四个不等式中，不正确的是（   ） A．a+2<b+2 B． C． D． 4．如图，点、在线段上，且：：：：．以点为圆心，记以为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则(    ) A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，直线y＝﹣x＋a与y＝x＋b的交点的横坐标为﹣2，两直线与x轴交点的横坐标分别是﹣1，﹣3，则关于x的不等式﹣x＋a＞x＋b＞0的解集是（    ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣3＜x＜﹣2 D．﹣3＜x＜﹣1 7．《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，平分，于点，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D． 10．如图，在中，，，、分别为、边上的点，不与点，重合，且，连接、交于点，连接．于点，交于点，于点，交于点，交于点．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点在边上移动时，总有 D．点在边上移动时，总有 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为______． 12．不等式组的整数解的和是___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，将线段水平向右平移到，，分别交x轴于N，M点．已知A、D两点的坐标分别为，，连结，，得面积为12的四边形，交y轴于E点．现有以下结论： （1）点C的坐标为； （2）三角形的面积为； （3）点M是N点向右平移4个单位而得到，点M坐标为； （4）若点为四边形内的一点，连，，且三角形的面积为4，则m的取值范围为．其中正确结论的序号为________． 14．如图，在直角坐标系中的坐标分别为，，，则的面积为________． 15．如图，在长方形中，点P在上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，已知．则的度数为___________． 16．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程组： （2）解不等式组： 18．在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 19．如图，直线，被直线所截，连接，过点作于点，延长交于点，点在线段上，过点作于点，延长交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 20．疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售A，B两种口罩，今年3月份的进价如下表： A种口罩 B种口罩 进价（元/包） 12 28 售价（元/包） 已知B种口罩每包售价比A种口罩贵20元，9包A种口罩和4包B种口罩总售价相同． （1）求A种口罩和B种口罩每包售价． （2）若该药店3月份购进A种和B种口罩共1500包进行销售，且B种口罩数量不超过A种口罩的，如果所进口罩全部售出，应该购进A种口罩多少包，才能使利润最大，并求出最大利润． （3）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的C种口罩，A种和B种口罩仍按需购进，进价与3月份相同，A种口罩的数量是B种口罩的4倍，共花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？ 21．如图，四边形中，，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当，时，求的长． 22．如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 23．如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $