期末重难点突破训练（五大板块）2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦七年级下册五大核心板块，以题载知，通过选择、填空、解答题梯度训练，强化抽象能力、运算能力与推理意识，构建知识内在逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数|11题|概念辨析、估算、方程应用|平方根/立方根概念→运算性质→实际问题建模| |不等式与不等式组|10题|解集确定、整数解、方案设计|不等式求解→组的解集→实际应用（采购/竞赛）| |整式乘法与因式分解|10题|公式应用、化简求值、几何背景|整式运算→因式分解方法→代数几何综合| |分式|11题|化简、求值、实际应用（行程）|分式性质→运算→方程建模| |相交线平行线与平移|11题|角关系判定、平移计算、探究证明|角的位置关系→平行判定与性质→平移性质应用|

期末重难点突破训练2025-2026学年沪科版 七年级下册（五大板块） 板块一：实数 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 【答案】A 3.已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 【答案】D 4.一个正数a的平方根为与，则这个正数a的值是（    ）． A．6 B． C．1 D．36 【答案】D 5.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 6.一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估算．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（    ） A．1秒 B．0.4秒 C．0.2秒 D．0.1秒 【答案】D 7．已知，若，则 ． 【答案】 8．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 9．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 10．求下列各式的值． （1）．（2）． 【答案】解：（1）原式＝5﹣4+2 ＝3； （2）原式＝0.01×100+6×0.2 ＝1+1.2 ＝2.2． 11．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积． 【答案】175cm2 【详解】解：大正方体的边长为＝5cm， 小正方体的棱长是cm， 长方体的长是10cm，宽是cm，高是5cm， 长方体的表面积是（10×+10×5+×5）×2＝175cm2． 板块二：一元一次不等式与不等式组 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意得（　　） A．10x﹣5（20﹣x）≥125 B．10x﹣5（20﹣x）≤125 C．10x﹣5（20﹣x）＜125 D．10x﹣5（20﹣x）＞125 【答案】D 4．定义新运算，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 5．某中学计划采购A，B两种型号的黑板共块，经洽谈，一块A型黑板需要元，一块B型黑板需要元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为_______． 【答案】 7．关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 8．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a题，则他答错或不答的题数为题，根据题意列不等式：___________． 【答案】 9.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得：， 整理得：， 得：， ∵， ∴， 由③可得：， 由④可得：， ∴m的取值范围为：． 10．用节火车车厢和节汽车能运输化肥，用节火车车厢和节汽车能运输化肥． (1)求每节火车车厢与每节汽车平均能运输多少吨化肥？ (2)某化肥厂要运输一批超过的化肥，火车站恰好有节火车车厢可以运输．请问至少还需要多少辆汽车？ 【答案】(1)每节火车车厢平均能运输吨化肥，每节汽车平均能运输吨化肥； (2)至少还需要辆汽车． 【详解】（1）设每节火车车厢平均能运输，每节汽车平均能运输吨化肥， 依题意得：，解得：， 答：每节火车车厢平均能运输吨化肥，每节汽车平均能运输吨化肥； （2）设还需要辆汽车， 依题意得：，解得：， 答：至少还需要辆汽车． 板块三：整式乘法与因式分解 1. 乘积应等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3.若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　） A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55 【答案】A． 4．若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，现要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 6.若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　． 【答案】3或﹣1． 7.若a+b＝4，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值为 　 ． 【答案】12． 8.如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】45 9.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 板块四：分式 1．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 4.化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 5．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6．若，则 ． 【答案】 7．计算：的结果是____________． 【答案】 8.如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 9．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】解： ， 当时， 原式 ． 11．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2025年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【详解】解：设高铁的平均速度为公里/小时， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 是原方程的解，且符合题意， 答：高铁的平均速度为204公里/小时． 板块五：相交线、平行线与平移 1.如图，下列对∠1和∠2的说法正确的是（　　） A．∠1和∠2同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠1和∠2邻补角 【答案】C． 2.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 【答案】D． 3.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得，那么　　 A． B． C． D． 【答案】． 4.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 6.如图，，若，，则∠E=______． 【答案】##66度 7．如图，已知，，，则的值为 ．    【答案】/30度 8．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 ．    【答案】2 9．如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【答案】/30度 10.如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：栽种花卉部分的面积是． （2）当时，， 答：当时，面积为． 11.（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）： 解：过点P作PE∥AB ∵AB∥CD（已知）， ∴PE∥CD（ 　 　）， ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ 　 　）， ∴∠A+∠C＝　 　+　 （等式的性质）． 即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 　 　． （2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝　 　． （3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 　． 【答案】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD（已知）， ∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）． 即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C； （2）过点E作EP∥AB，如图， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠ADC＝∠BAD＝78°， ∴PE∥CD， ∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°， ∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°， 故答案为：119°； （3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC， ∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC， ∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）． 过点F作FP∥AB，如图， 则∠ABF＝∠BFP， ∵AB∥CD， ∴FP∥CD， ∴∠PFD＝∠FDC， ∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC， ∴2∠BFD＝∠AEC， 故答案为：2∠BFD＝∠AEC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点突破训练2025-2026学年沪科版 七年级下册（五大板块） 板块一：实数 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 3.已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 4.一个正数a的平方根为与，则这个正数a的值是（    ）． A．6 B． C．1 D．36 5.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 6.一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估算．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（    ） A．1秒 B．0.4秒 C．0.2秒 D．0.1秒 7．已知，若，则 ． 8．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 9．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 10．求下列各式的值． （1）．（2）． 11．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积． 板块二：一元一次不等式与不等式组 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意得（　　） A．10x﹣5（20﹣x）≥125 B．10x﹣5（20﹣x）≤125 C．10x﹣5（20﹣x）＜125 D．10x﹣5（20﹣x）＞125 4．定义新运算，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 5．某中学计划采购A，B两种型号的黑板共块，经洽谈，一块A型黑板需要元，一块B型黑板需要元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为_______． 7．关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 8．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a题，则他答错或不答的题数为题，根据题意列不等式：___________． 9.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 10．用节火车车厢和节汽车能运输化肥，用节火车车厢和节汽车能运输化肥． (1)求每节火车车厢与每节汽车平均能运输多少吨化肥？ (2)某化肥厂要运输一批超过的化肥，火车站恰好有节火车车厢可以运输．请问至少还需要多少辆汽车？ 板块三：整式乘法与因式分解 1. 乘积应等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3.若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　） A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55 4．若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，现要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 6.若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　． 7.若a+b＝4，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值为 　 ． 8.如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为 ． 9.先化简，再求值：，其中． 10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 板块四：分式 1．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2.下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 3.如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（   ） A． B． C． D．1 4.化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则 ． 7．计算：的结果是____________． 8.如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 9．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 10．先化简，再求值：，其中． 11．作为我国八纵八横高铁网的重要组成部分，集太原高铁预计在2025年年底开通，届时呼和浩特至太原旅行时间将大大缩减．经查询，呼和浩特到太原目前只有动车，两地动车路程为610公里．新的高铁运行路线开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，呼和浩特到太原的时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 板块五：相交线、平行线与平移 1.如图，下列对∠1和∠2的说法正确的是（　　） A．∠1和∠2同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠1和∠2邻补角 2.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 3.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得，那么　　 A． B． C． D． 4.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，，若，，则∠E=______． 7．如图，已知，，，则的值为 ．    8．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 ．    9．如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 10.如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 11.（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）： 解：过点P作PE∥AB ∵AB∥CD（已知）， ∴PE∥CD（ 　 　）， ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ 　 　）， ∴∠A+∠C＝　 　+　 （等式的性质）． 即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 　 　． （2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝　 　． （3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 　． 学科网（北京）股份有限公司 $