专题01 整式乘法（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 以幂的运算、多项式乘法、乘法公式为核心，通过13类题型系统覆盖整式乘法全考点，注重运算能力与几何直观的结合 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|3题型（9小题）|含同底数幂、幂的乘方、积的乘方及其逆用|从基本法则到逆用变形，构建幂运算体系| |多项式乘法|3题型（11小题）|涉及化简求值、不含某项问题、规律探究|从直接计算到条件限制再到规律发现，逐步提升复杂度| |乘法公式|5题型（20小题）|含公式计算、几何图形、变形求值、面积问题、整体思维|从代数运算到数形结合，再到公式变形与综合应用，体现“数与形”的内在联系| |新定义运算|1题型（4小题）|结合整式乘法定义新运算|拓展应用整式乘法法则，培养创新意识与推理能力|

专题01 整式乘法 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型8 平方差公式与几何图形（常考点） 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型9 完全平方公式与几何图形（常考点） 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型10 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型4多项式乘法的化简求值（常考点） 题型11 乘法公式中图形面积问题（重点） 题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型12 整式乘法的新定义运算（重点） 题型6 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型13 乘法公式中整体思维（重点） 题型7 乘法公式计算题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知，，则的值为______． 题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题） 4.（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，则______． 5．（25-26八年级上·福建莆田·期中）已知，，则代数式的值为________． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，则 ________． 题型三 积的乘方及其逆用（共3小题） 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：_________． 9．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 题型四 多项式乘法的化简求值（共4小题） 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 11．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 14．（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 15．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 16．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 17．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 题型六 多项式乘法中的规律性问题（共4小题） 18．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 19．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 20．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的规律．根据规律，可得的展开式为_________． 1 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 21．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 题型七 乘法公式计算题（共4小题） 22．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 23．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）先化简再求值：，其中． 24．（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 25．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）计算： (1) (2) 题型八 平方差公式与几何图形（共4小题） 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 29．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 题型九 完全平方公式与几何图形（共3小题） 30．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 31．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 32．（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形回答下列问题： (1)写出图1所示的数学等式：___________； (2)如图2是由4个长为宽为的全等长方形围成，根据图2回答下列问题： ①图2中小正方形边长为___________，大正方形边长为___________． ②由阴影部分面积可以得到的数学等式是：___________． ③已知，，求的值． 题型十 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 33．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 35．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段检测）若，，则______． 36．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，，则______． 37．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 题型十一 乘法公式中图形面积问题（共4小题） 38．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 39．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，请认真观察图形，解答下列问题： 图1是我们学过的乘法公式的图形表示 ，请利用这个公式解决下面问题， (1)用4个一样的长方形，长和宽分别为a，b，拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求的值； (3)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 41．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 题型十二 整式乘法的新定义运算（共4小题） 42．（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 43．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 44．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 45．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 题型十三 乘法公式中整体思维（共3小题） 46．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 48．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． $专题01 整式乘法 题型1 同底数幂的乘法及其逆用（常考点） 题型8 平方差公式与几何图形（常考点） 题型2 幂的乘方及其逆用（常考点） 题型9 完全平方公式与几何图形（常考点） 题型3 积的乘方及其逆用（常考点） 题型10 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型4多项式乘法的化简求值（常考点） 题型11 乘法公式中图形面积问题（重点） 题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型12 整式乘法的新定义运算（重点） 题型6 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型13 乘法公式中整体思维（重点） 题型7 乘法公式计算题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知，，则的值为______． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则，逆用法则对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可 【详解】解：∵ ∴，代入得：原式． 题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题） 4.（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 利用指数运算法则，由，得，，再将表示为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为． 5．（25-26八年级上·福建莆田·期中）已知，，则代数式的值为________． 【答案】12 【分析】将所求代数式利用幂的运算法则变形，代入已知条件计算即可得到结果； 【详解】解：根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，得： ， 将，代入，得： ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，则 ________． 【答案】12 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 题型三 积的乘方及其逆用（共3小题） 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的运算，灵活运用合并同类项法则、积的乘方法则、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则是解题的关键，根据这些运算法则逐一判断选项，进而得出正确的计算结果． 【详解】解： 与不是同类项，不能合并， 选项错误， ， 选项错误， ， 选项错误， ， 选项正确． 故选：． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算：_________． 【答案】 【分析】先观察式子，整理原式，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法计算求解即可． 【详解】解： 题型四 多项式乘法的化简求值（共4小题） 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 11．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 12．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据多项式乘以多项式，多项式乘以单项式进行化简，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 13．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共4小题） 14．（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 15．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 16．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【答案】， 【分析】利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再根据乘积中不含项和项，得到含项和项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， 乘积中不含项和项， ，， 解得：，． 17．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【答案】m的值是2，n的值是 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，再根据展开式中不含项求出m的值，逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则确定 【详解】解： 的展开式中不含项， ， 即 答：m的值是2，n的值是 题型六 多项式乘法中的规律性问题（共4小题） 18．（25-26八年级上·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 19．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 20．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的规律．根据规律，可得的展开式为_________． 1 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，通过观察杨辉三角的系数规律，每一行的系数由上一行相邻两个系数之和得到，且展开式按a的次数降序排列，据此可求解． 【详解】解：根据给定表格，杨辉三角的系数对应二项式展开系数，时系数为1，5，10，10，5，1， 则的系数为1，6，15，20，15，6，1， 故的展开式为． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 题型七 乘法公式计算题（共4小题） 22．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)10404 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】，110 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．原式合并同类项，再利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 24．（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 25．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的知识进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式的知识进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型八 平方差公式与几何图形（共4小题） 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 27．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 28．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 29．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 题型九 完全平方公式与几何图形（共3小题） 30．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】根据完全平方公式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：用4张甲种纸片、1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形， 这个大正方形的面积， 拼成的大正方形的边长为：． 31．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可以得到一个数学等式，请结合图形回答下列问题： (1)写出图1所示的数学等式：___________； (2)如图2是由4个长为宽为的全等长方形围成，根据图2回答下列问题： ①图2中小正方形边长为___________，大正方形边长为___________． ②由阴影部分面积可以得到的数学等式是：___________． ③已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①，；②；③ 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，通过对完全平方公式变形求值等知识点，解题关键是掌握完全平方公式． （1）用两种方式表示图形的面积，从而可得等式； （2）①根据题意列代数式即可； ②用两种方式表示阴影部分的面积，从而可得等式； ③利用（2）②中的公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中的面积可表示为，也可表示为， ∴图1中所表示的数学等式：； （2）解：①图2中小正方形边长为，大正方形边长为； ②阴影部分的面积可表示为，也可表示为， ∴得到的数学等式是； ③∵，， ∴ ∴． 题型十 通过对完全平方公式变形求值（共5小题） 33．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，运用完全平方公式的非负性进行变形，结合已知等式列出关于的不等式，进而求出的最大值． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时为最大值25． 故选：D． 35．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段检测）若，，则______． 【答案】 60或68/68或60 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴或， 当时， ； 当时，， 故答案为：或． 36．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 37．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 【答案】17；3 【分析】由完全平方公式进行变形即可求解； 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴或3， ∵，∴， ∴． 题型十一 乘法公式中图形面积问题（共4小题） 38．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 39．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，请认真观察图形，解答下列问题： 图1是我们学过的乘法公式的图形表示 ，请利用这个公式解决下面问题， (1)用4个一样的长方形，长和宽分别为a，b，拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求的值； (3)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）根据图形面积列出等量关系； （2）借助（1）的结论求解； （3）表示出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：（答案形式不唯一）； （2）解：由题意得，， ∵，， ∴，          ∴或； （3）解：∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 41．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】“算两次”是一种重要的数学思想，即用两种不同的方法表示同一个量如图形面积），从而建立等式．如图1，将一个长为、宽为的长方形沿虚线剪成四个相同的小长方形，再按图2拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法表示阴影部分（中间小正方形）的面积，可得到的等量关系是_____． A．    B． C．    D． (2)已知，求的值． (3)如图3，在六边形中，对角线和相交于点，四边形和四边形都为正方形，若，正方形和正方形面积的和为36，求阴影部分的面积． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）利用几何图形的面积公式进行表示即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：阴影部分（中间小正方形）的面积为或， ∴， 故选：D； （2）解：， ； （3）解：设，， 则，两边平方，得， ． ， ， 解得， ． 题型十二 整式乘法的新定义运算（共4小题） 42．（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 43．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，S是完美数，见解析； (3)的最小值等于． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键． （1）根据13是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， （3）由得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴13是“完美数”； （2）解：，是完美数， 理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是“完美数”，且是大于等于2的最小“完美数”， 当时，可由解得符合题意， 故的最小值等于 45．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)是， (3)证明见解析 (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （4）解： ． 题型十三 乘法公式中整体思维（共3小题） 46．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 47．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 48．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解： ， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. $