专题04 导数中的极值点偏移及双变量比值换元（6个题型归纳）（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦导数双变量问题，按参数有无及运算类型系统分类，通过典型例题强化推理能力与逻辑思维 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无参数和型极值点偏移|5题|含零点/极值点证明，证x₁+x₂>2x₀|从基础无参问题切入，构建对称化构造思维| |无参数积型极值点偏移|5题|证x₁x₂>e²等积型结论|延伸至乘积关系，深化函数单调性应用| |有参数极值点偏移|5题|含参数讨论及零点关系证明|增加参数复杂性，强化分类讨论能力| |指数对数对称化构造|4题|结合指对运算构造辅助函数|融合指对性质，提升抽象建模能力| |指数比值换元|2题|通过比值t=x₂/x₁转化双变量|换元法简化双变量，体现转化思想| |对数比值换元|3题|对数式中设t=lnt₁-lnt₂换元|针对对数结构优化换元策略，完善方法体系|

专题04 导数中的极值点偏移及双变量比值换元 题型1 无参数型的和型极值点偏移 题型4 与指数对数运算有关的对称化构造 题型2 无参数的积型极值点偏移 题型5 与指数运算有关的比值换元 题型3 有参数的极值点偏移问题 题型6 与对数运算有关的比值换元 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 无参数型的和型极值点偏移 1．（25-26高二下·全国·期中）已知函数有两个不同的零点，其极值点为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题设零点定义可得，设，构造函数，根据导数得出，即可证明． 【详解】因为的极值点为， 所以令，得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，不妨设． 构造函数， 则 ， 所以在上单调递增， 当时，，有． 将代入，得， 又，，在上单调递增， 故，即． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，.当，，是方程的两个根，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由已知构造函数，是的两个零点，由导数确定的单调性，确定的范围，然后构造函数，由导数确定单调性，由单调性证明． 【详解】方程可化为， 设，则，， 令得， 当时，，时，， 所以在上递增，在上递减， 又，，， 所以在和上各有一零点，即在和上各有一零点， 不妨设，即，则， 设，则， ， 时，，所以在上递增，而， 所以时，，，即， 因为， 所以， 又在上递减， 所以，所以． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的符号来确定函数单调性（要根据导函数零点来分类），即可求解； （2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，利用导数判断其单调性，即可证明． 【详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（） 【答案】证明见解析 【分析】先得到的单调性和极值情况，确定，不妨令，分析得到只需证，构造差函数，进行证明即可. 【详解】定义域为， 故， 因为，所以，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 又趋向于0或时，趋向于， 由零点存在性定理可得，只需成立， 即，故， 此时存在两个不相等的零点，不妨令， 要证，即证，而，， 由于在上单调递增，只需证， 令，， 则 ， 显然，当时，， 所以在上单调递增， 故，故，即， 又，故，得证. 题型二 无参数型的积型极值点偏移 11．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 12．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 13．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分析极值点情况即可得解. （2）由（1）的信息可设，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 当时，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点， 所以的取值范围是. （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由，，不妨令， 要证，只证，即证，就证， 令，求导得 ，于是函数在上单调递减，， 而，则，即，又， 因此，显然，又函数在上单调递增，则有， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 14．（23-24高三上·江苏·阶段检测）已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，恒成立，即恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围； （2）方法一：由（1）得，转化为是的两个零点，求导得到单调性，得到，换元后即证，构造 ，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案； 方法二：先证明引理，当时,,当时, ，变形得到只需证，结合引理，得到，，两式结合证明出答案. 【详解】（1）的定义域为，， 由题意恒成立，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减, ∴在处取得极大值，也是最大值，， 故； （2）证法一：函数有两个极值点，由(1)可知， 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,又因为， 所以， 要证,只需证,只需证， 其中，即证， 即证， 由,设, 则,,则, 设 ， ， 由(1)知，故, 所以,,即，在上递增， ,故成立,即； 证法二： 先证明引理:当时,,当时, ， 设, ， 所以在上递增,又, 当时,，当时，， 故引理得证， 因为函数有两个极值点，由(1)可知, 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,即， 要证,只需证， 因为，即证， 由引理可得, 化简可得①， 同理， 化简可得②， 由①-②可得 ， 因为，，所以， 即,从而. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后解不等式、即可求得极值. （2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值. （3）由已知可得，构造函数，根据其单调性可得，构造函数并研究其单调性，构造函数并研究其单调性，当时，依次结合函数、的单调性即可证得结果. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （3）不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 题型三 有参数的极值点偏移问题 6．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】(1)1 (2)，证明见解析 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 8．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导，根据题意判断，计算出，检验成立. （2）①求导后分析的单调性，进而根据题意判断出在定义域内有两个零点，数形结合求解的取值范围； ②根据题意构造函数,利用极值点偏移得到；然后要证明，通过换元将多变量不等式转化为单变量不等式，从而证明原式成立. 【详解】（1），． 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故：不仅是函数的最小值，同时也是极小值． ． 检验：当时， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 所以： 成立， 故： （2）①当时，， 令：；同理： 所以 在上单调递减，在上单调递增. 当时，；当时，； 且；所以方程有两个不同的根时，． ②由题可知：， 即且 构造函数 所以在上单调递减，故． 所以， 又因为所以：， 又因为，所以： 因为 在单调递增， 所以． 要证：， 即证：， 即 只须证明：， 即证： 因为：，故只须证明： 因为成立． 所以原不等式成立，证毕. 【点睛】关键点点睛：将双（多）变量问题通过换元转化成为一个变量的函数问题，借助导数研究其单调性和最值，从而证明不等式. 9．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过函数的单调区间，从而求出函数的最小值，令最小值为0求得的值； （2）问题转化为证明，设函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）函数， 令得 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 所以函数在时取最大值， 当时，函数;当 时，函数    ; 根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点， 易知， 所以； （2）证明： 不妨设要证明：，只需要证，易知 由（1）可知在单调递增，在单调递减； 所以只要证明，即证， 设函数而， 并且在区间上 即在单调递增，所以 从而所以 所以 10．（21-22高三上·福建龙岩·阶段检测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 题型四 与指数对数运算有关的对称化构造 16．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）求导得到与的单调性，进而分别可得两函数斜率为0的切线方程，根据题意得到方程，求出的值； （2）令可得，由函数单调性可得，结合（1）可得，不妨设，构造差函数，解决极值点偏移问题. 【详解】（1）由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． （2），令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令 ， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设进行变形，得到再利用导函数进行求解. 17．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数，．（为自然对数的底数） (1)当时，求函数的极大值； (2)已知，，且满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用导数研究的单调性，进而求得其最大值. （2）同构函数，转化为，结合换元法，分别讨论与，当时运用不等式性质即可证得结果，当时运用极值点偏移即可证得结果. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为； （2）由题意知，，由可得， 所以，令， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则， 令，，又，，所以，，则， ①若，则，即，所以； ②若，设，且满足，如图所示，    则，所以，下证：． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，所以，，， 所以，即， 又因为，所以，即． 由①②可知，得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 18．（2023·山东日照·二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知； （2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； ①当时，，在上单调递增， 若，则，时，，不合题意； 若，则，不合题意； ②当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增，； 若恒成立，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，； 则当时，符合题意； 综上所述：. （2）由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 由得：； ，， 当时，由得：，； 当时，要证，只需证， ，，则只需证， 又，只需证； 令，， 则， 在上单调递减，，， 即，即得证，； 综上所述：成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明. 19．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）证明：由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 题型五 与指数运算有关的比值换元 20．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. （3）先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 21．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 题型六 与对数运算有关的比值换元 22．（24-25高三·全国·二轮复习）已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求函数导数，由函数存在极值点得到，，代入需要证明的不等式中并分离常数得到不等式，再由得到的代数式，从而建立不等式，通过换元后构造函数，并求导数，从而得到函数的单调性，从而知道的最值，然后证明不等式成立. 【详解】． 因为有两个不同的极值点，所以，. 欲证，即证，又， 所以原式等价于①． 由， 得②． 由①②知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即. 23．（2025高二·全国·专题练习）已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】先换元，即证，分别构造函数来证明即可. 【详解】因为，有两个零点，， ， 令，则， 即证明，即证， 设， 由于，即， 左边即证， 即证， 设，则，单调递增， 则当时，，即成立，故. 要证， 即证即, 而, 故即证， 即证：， 令，即证：. 则， 设， 则， 设，则， 设，则，其， 而，故在为减函数， 而，，故存在， 使得时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，且， 故，故即恒成立， 故在上为减函数，而， 故当时，即，时，即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故（不恒为零），故为减函数， 故，即， 即得证. 24．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是 . 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证. $专题04 导数中的极值点偏移及双变量比值换元 题型1 无参数型的和型极值点偏移 题型4 与指数对数运算有关的对称化构造 题型2 无参数的积型极值点偏移 题型5 与指数运算有关的比值换元 题型3 有参数的极值点偏移问题 题型6 与对数运算有关的比值换元 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 无参数型的和型极值点偏移 1．（25-26高二下·全国·期中）已知函数有两个不同的零点，其极值点为．求证：． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，.当，，是方程的两个根，求证：. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（） 题型二 无参数型的积型极值点偏移 11．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 12．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 13．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 14．（23-24高三上·江苏·阶段检测）已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 15．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 题型三 有参数的极值点偏移问题 6．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 8．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 9．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 10．（21-22高三上·福建龙岩·阶段检测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 题型四 与指数对数运算有关的对称化构造 16．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 17．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数，．（为自然对数的底数） (1)当时，求函数的极大值； (2)已知，，且满足，求证：． 18．（2023·山东日照·二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 19．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 题型五 与指数运算有关的比值换元 20．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 21．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 题型六 与对数运算有关的比值换元 22．（24-25高三·全国·二轮复习）已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 23．（2025高二·全国·专题练习）已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 24．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. $