期末复习：导数与函数的极值问题、导数与函数的最值问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数应用核心，通过极值与最值问题的分层训练，构建从局部到整体的知识逻辑，覆盖选择、填空、解答典型题型，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与函数的极值问题|6例+6变式|含参数极值点判定、极值点个数求参、切线方程综合|以导数几何意义为基础，通过导数符号变化分析单调性，建立极值判定的推理链条| |导数与函数的最值问题|6例+6变式|区间最值求解、含参最值讨论、最值应用证明|基于极值概念拓展，通过比较极值与端点值确定最值，体现局部到整体的数学思维|

期末复习：导数与函数的极值问题、导数与函数的最值问题专项训练 期末复习：导数与函数的极值问题、导数与函数的最值问题专项训练 考点目录 导数与函数的极值问题 导数与函数的最值问题 考点一 导数与函数的极值问题 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．-2 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 例3．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 例4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 例5．（2026·湖南长沙·三模）函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 例6．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求的极大值. 变式1．（25-26高二下·广东汕头·期中）若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 变式3．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）函数的极值为____________． 变式4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 变式5．（25-26高二下·山东·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 变式6．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 考点二 导数与函数的最值问题 例1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东江门·期中）当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______． 例4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 例5．（25-26高二下·广东佛山·月考）设函数，若函数在处与直线相切． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． 例6．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数的图象在点处的切线方程为，求证：； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 变式1．（25-26高二下·重庆江津·期中）当时，函数取得最大值，则（     ） A．0 B． C． D．1 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 变式3．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 变式4．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数的最小值为____. 变式5．（25-26高二下·福建龙岩·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 变式6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：导数与函数的极值问题、导数与函数的最值问题专项训练 期末复习：导数与函数的极值问题、导数与函数的最值问题专项训练 考点目录 导数与函数的极值问题 导数与函数的最值问题 考点一 导数与函数的极值问题 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．-2 【答案】B 【分析】求导，由极小值定义得到方程，求出或6，检验后得到结论 【详解】， 在处有极小值，故， 所以，解得或6， 当时，，令得或， 令得， 所以在处取得极小值，满足要求， 当时，，令得或， 令得， 此时在处取得极大值，不合要求， 综上，. 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 例3．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 例4．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数有两个极值点转化为有2个不同的正实根，列出关于参数的不等式组，求解即得. 【详解】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 例5．（2026·湖南长沙·三模）函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即． （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故 例6．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求的极大值. 【答案】(1)； (2)时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. (3)当时，极大值为；当时，极大值为. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，. 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）得当或时，无极大值. 当时，在处取极大值，极大值为. 当时，在处取极大值，极大值为 . 变式1．（25-26高二下·广东汕头·期中）若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】函数的定义域为， ，在有两个不同极值点. 分母恒成立，令在上有两个不同的正实根. 函数，两个不同根都在需满足： ①判别式，结合得； ②对称轴，解得. ③区间端点，解得；恒成立. 综上，. 变式2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 变式3．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）函数的极值为____________． 【答案】 （极小值为，无极大值） 【详解】由，得 . ∵，∴，∴恒成立， 令，得，得. 令，得，得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴在处取得极小值，极小值为，无极大值. 变式4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 令函数，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，，函数，即单调递增，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，；当时，， 当且仅当时，函数有两个变号零点， 由，解得，所以实数的取值范围为. 变式5．（25-26高二下·山东·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题可得，即可得到的值． （2）根据导数的几何意义结合条件即得． 【详解】（1），的定义域为， ， 因为在处取得极小值，所以， 即，解得，，经检验满足题意， 所以，； （2）由（1）得，， 因为，， 所以在点处的切线方程为， 即． 变式6．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合极值点和极值可得，并根据函数单调性检验即可； （2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. （2）对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 考点二 导数与函数的最值问题 例1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在区间上的单调区间即可求解. 【详解】由题可得：，令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，故函数在区间上的最小值为 例2．（25-26高二下·广东江门·期中）当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由. 设，， 则. 又因为，， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时， 所以. 因为，所以，. 设，，则，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以. 所以. 即实数的最小值为. 例3．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______． 【答案】 【分析】通过求导确定函数在区间上的单调性，结合单调性分析最小值即可. 【详解】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 例4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】先对函数求导，分和讨论单调性. 时在区间单调递减，最小值为，解得与条件矛盾舍去；时根据极值点与区间的位置关系分情况讨论，结合最小值为0求解. 【详解】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 例5．（25-26高二下·广东佛山·月考）设函数，若函数在处与直线相切． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可； （2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值. 【详解】（1），， 函数在处与直线相切， ，解得 （2）由（1）知，，， ， 当时，令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ． 例6．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数的图象在点处的切线方程为，求证：； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)由（1）可知，，则函数在点处的切线方程为，即， 所以， 设函数， 求导可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即. (3) 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的单调性，从而得到极值； （2）求导，利用导数的几何意义求得函数，构建辅助函数，通过导函数的符号得出函数的单调性和最值，从而进行证明； （3）通过特殊值得到参数的范围，构建辅助函数，通过辅助函数的单调性和最值，从而得到原函数的单调性和最值，从而求得参数的值. 【详解】（1），求导可得， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极大值为，无极小值, （2）略 （3）， 因为函数的最小值为2，所以， 当时，，可得， 求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，最小值为2，即解得. 变式1．（25-26高二下·重庆江津·期中）当时，函数取得最大值，则（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，可得， 因为当时，函数取得最大值， 故，解得，所以，经验证在时取得最大值， 所以. 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 变式3．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 变式4．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数的最小值为____. 【答案】 【分析】求函数的定义域，再利用导数判断其单调性，结合函数单调性求最值. 【详解】函数的定义域为，， 令，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 变式5．（25-26高二下·福建龙岩·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)的单调递增区间为；单调递减区间为 (2)在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性； （2）通过比较端点值和极值，得到函数的最值. 【详解】（1）， 令，得 ， 令，得 ; 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）知函数的极小值点为，极小值为， 因为，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 变式6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ） 【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围． 【详解】（1）函数求导得 ， 已知，则， ． （2）（ⅰ），则，求导得：， ，在上恒成立， 导数符号由决定： 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ，， ， 在上的最小值为，最大值为； （ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值， 在上的最大值为， ，解得， 又，， 的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $