精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期二模考试数学试卷

2026年春期九年级模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（ ） A. 支出100元 B. 收入100元 C. 支出20元 D. 收入20元 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵由题意得，收入20元记作元，即收入用正数表示， ∴负数表示与收入意义相反的量，即支出， ∴元表示支出100元． 2. 据河南省文化和旅游厅2月24日消息，2026年春节假期，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.3亿元，与2025年同期相比，接待人次增长，旅游收入增长．其中数据“6281万”用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：6281万． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：几何体的左视图是． 4. 相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等．根据对顶角相等即可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 5. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 6. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分． 菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有无实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：，，， ， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：B． 8. 苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A a A AA Aa a Aa aa 共有4种等可能的情况数，其中孩子不患苯丙酮尿症的情况数是3， 则他们有正常孩子的概率是， 故选：D． 9. 为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（ ） A. 压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B. 当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C. 压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D. 当压力为时，压力传感器的电阻 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：图象与轴有交点， ∴不是反比例函数关系，故A错误； 对于选项B：由图可知，当时，，故B正确； 对于选项C：由图可知，电阻随压力的增大而减小，故C错误； 对于选项D：由图可知，当时，，故D错误． 10. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴上，点在轴上，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点作，垂足为点，连接，当为等腰三角形时，点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由可得 ，即得 ，得到当为等腰三角形时，有两种情况：或，再分情况解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为等腰三角形时，有两种情况：或， 当时，点为对角线的中点，此时点和点重合，不合题意； 当时，如图，过点作于， 则， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 标价为m元的商品，若打7折出售，则售价为 _________元． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键，根据售价等于标价乘以即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得出售价为元． 故答案为： 12. 不等式组的解集是_____． 【答案】x＞4 【解析】 【分析】首先分别求出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集． 【详解】解： ， 由①得：x＞4， 由②得：x＞2， 不等式组的解集为：x＞4． 故答案为x＞4． 【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握解不等式的方法. 13. 课后延时服务已经落地，为了进一步对课后延时服务进行规范，某校计划在延时服务时间内开展各种社团活动．小明对全校学生进行抽样调查，收集整理拟参加社团活动类型（A．读书交流，B．体育锻炼，C．戏剧说唱，D．手工陶艺，E．书法器乐）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，选项： ①该校共有1000名学生；②选择“读书交流”的人数是120人；③在扇形统计图中，“体育锻炼”部分所对应的圆心角的度数是；④选择“书法器乐”所占的百分比为．以上选项正确的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据扇形统计图和条形统计图的信息进行计算求解即可． 【详解】解：总人数为（名），故①正确； ，即选择“读书交流”的人数是100人；故②错误； “体育锻炼”部分所对应的圆心角的度数是，故③正确； 选择“书法器乐”所占的百分比为，故④正确； 故正确的选项是①③④． 14. 如图是以为直径的半圆，分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据作图可知是等边三角形，得到，，，进而得到，根据勾股定理求出，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ． 15. 定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】分两种情况求解：当时，证明即可求解；当时，由面积法求出，由勾股定理求出，再证明即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∵中，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“奋进四边形”． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“奋进四边形”． 作于点D，作于点E，作于点F， ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为3或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简及计算 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 依据教育部“双减”政策和《义务教育学校作业管理通知》等文件的规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．为了了解七、八年级的日常作业情况，校团委针对学生日常作业情况进行了调查，并从七、八年级中各随机抽取了10名学生的星期三的作业时间（用表示，单位：分钟）进行整理、分析和描述，共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 七年级10名学生的作业时间：67，78，86，86，86，88，93，94，96，96． 八年级10名学生的作业时间在C组的数据：82，83，83，86． 七、八年级抽取的学生作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 87 八年级 85 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）估计该校七年级800名学生和八年级600名学生中作业时间超过90分钟的总人数； （3）请对此次调查提出你的建议（写出一条即可）． 【答案】（1）83，86，30 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数以及结合扇形统计图求解即可； （2）用各年级总人数乘以样本中作业时间超过90分钟的人数所占比例再求和； （3）建议减少作业量． 【小问1详解】 解：八年级A组人数：；B组人数：，C组人数：， 共10个数据，则中位数是第5，6个数据的平均数，那么中位数在C组，可得第5，6个数据是83，83， ∴， 由七年级的数据可得众数； ， ∴； 【小问2详解】 解：用各年级总人数乘以样本中作业时间超过90分钟的人数所占比例再求和可得：（名） 答：该校七年级800名学生和八年级600名学生中作业时间超过90分钟的总人数为人； 【小问3详解】 解：根据规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．该校作业量较多，建议减少作业布置量（答案不唯一）． 18. 某校因生源增加，需在老教学楼南面建设一栋新综合楼，按规划部门要求，新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，学校新建综合楼，老教学楼的一楼窗户距地面的距离，该校所在地区冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）根据学校实际地形，的距离为时最符合校园整体设置，根据以上条件，新综合楼的高度应为多少？ （2）为满足学校的长期规划，新综合楼的设计高度为，请问为了满足采光要求，新综合楼至少应建在老教学楼正南方多少米处？ 注：图中所有的点均在一个平面内，所在的直线为水平地面． 【答案】（1）新综合楼的高度为 （2）新综合楼至少应建在老教学楼正南方处 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，求出，，根据即可求出答案； （2）求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，，，过点作，垂足为， ，， 在中，，， ， ， 答：新综合楼的高度为； 【小问2详解】 由题意得：， ， 在中，， ， 答：新综合楼至少应建在老教学楼正南方处． 19. 如图，中，点，点在轴上，且，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将向上平移个单位，若的中点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； （3）将沿直线翻折，折叠后点的对应点为，点的对应点为，求翻折后点的坐标，并判断点是否落在反比例函数的图象上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），点落在反比例函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出的值即可； （2）由中点公式和平移规律求出点，代入反比例函数的解析式即可； （3）容易判断点在轴上，且，从而得到点的坐标，进一步得出点的坐标，再根据反比例函数的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点的坐标为， ∴的中点坐标为， 将向上平移个单位，则的中点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴，， ∵是第一、三象限的角平分线所在的直线， ∴， 由折叠的性质可得，，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴点落在反比例函数的图象上． 20. 如图，平行四边形中，以为直径作，交于点，交对角线于点． （1）尺规作图：过点作的切线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求证：四边形是菱形； ②若，，求的长． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）①证明：四边形为平行四边形， ，， 是的切线， ， ，即， 连接， 为的直径， ， 在和中， ， ∴， ， 四边形为菱形． ② 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离为半径画弧，然后问题可求解； （2）①连接，由题意易得，，，则有，然后可得，进而问题可求证； ②连接，由题意易得，，则有，设，在和中分别用勾股定理得：，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：连接， 为的直径， ， 四边形为菱形， ， ， ， 设，在和中分别用勾股定理得： ， ， 解得：， 的长为． 21. 宁陵酥梨是商丘特产，质量上乘，口感脆甜，素有“桂林山水甲天下，宁陵酥梨冠中华”之美誉，是国家级地理标志产品．某超市售卖酥梨时，个头稍小的酥梨（简称小梨）销售价格为4.5元/千克，个头稍大的酥梨（简称大梨）销售方式为：千克及以下按原价销售，购买超过千克的大梨，超过部分打折． 某单位中秋节期间准备购买小梨和大梨1000千克为员工发福利，设购买大梨千克，购买小梨的费用为元，购买大梨的费用为元，与的函数关系如图，请回答问题： （1）求，的值； （2）若该单位此次购买总费用为元， ①与的函数关系式为________； ②该单位根据实际需要，规定大梨购买数量至少50千克，且购买大梨数量不超过小梨数量的，求当为多少时，有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）， （2）①；②当时，最小，最小值为4412.5元 【解析】 【分析】（1）先算出分段函数的表达式，在处分段，得到的值，分别将，代入 后计算即可得优惠，即的值； （2）①设购买大梨千克，则购买小梨为千克，则购买小梨所需费用为，分别算出当和时的表达式即可； ②由购买大梨数量不超过小梨数量的得的取值范围，再分和两种情况分别计算，最后比较即可． 【小问1详解】 解：设的解析式为， 经过点， ， 解得， ； 设的解析式为， 经过点和， ，解得， ， ， 当， 解得， 即当购买的酥梨超过100千克时，才有优惠， ∴； 当时，，即大梨原价为5元每千克， 当时，， 前100千克每千克按原价出售，即元， ，即折扣之后的酥梨价格为4元每千克， ∵， ∴超过100千克的部分按8折优惠，即； 【小问2详解】 解：①∵购买大梨千克，则购买小梨为千克， ∴购买小梨所需费用为， 根据（1）的结果可知， 当，购买大梨的费用为， 则有， 当，购买大梨的费用为， 则有， 故答案为：； ②大梨购买数量至少50千克，且不超过小梨数量的， ∴， 解得， 分两种情况： 第一种情况：当时，， ， 随的减小而减小， 当时，； 第二种情况：当时，， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 当时，最小，最小值为4412.5元． 22. 在二次函数中，图象经过点和． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】（1） （2）， （3）的值为6或2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【小问1详解】 解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； 【小问3详解】 由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 23. 等腰直角三角形中，，，过点作，点为直线上一个动点，连接，将射线逆时针旋转，交直线于点，过点作，交直线于点． （1）若点在点右侧时： 【特殊】 ①如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为________；线段，，的数量关系为________； 【一般】 ②如图2，当点与点不重合时，①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【特殊】 （2）当点在直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；； ②成立，证明如下： ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ； （2）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①，，理由如下：由，，点B和点D重合得，故，，又，，故，故，故，，在等腰直角三角形中，，故；②成立，证明如下：由，得，故，又，故，又，故，故，故，故，故，故，，在中，，故，又，故； （2）当点在点右侧时，如图1，作，交于，则是等腰直角三角形，故，故，故，由（1）得，；故，故；当点在点左侧时，如图2，作，交于，由，，得，又，，故，又，，故，故，故，故，又，故，故． 【小问1详解】 解：①，，理由如下： ，，点B和点D重合， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在等腰直角三角形中，， ； ②略； 【小问2详解】 解：当点在点右侧时，如图1，作，交于， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）得，； ， ； 当点在点左侧时，如图2，作，交于， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（ ） A. 支出100元 B. 收入100元 C. 支出20元 D. 收入20元 2. 据河南省文化和旅游厅2月24日消息，2026年春节假期，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.3亿元，与2025年同期相比，接待人次增长，旅游收入增长．其中数据“6281万”用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算（ ） A. B. C. D. 6. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 8. 苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（ ） A. 压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B. 当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C. 压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D. 当压力为时，压力传感器的电阻 10. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴上，点在轴上，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点作，垂足为点，连接，当为等腰三角形时，点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 标价为m元的商品，若打7折出售，则售价为 _________元． 12. 不等式组的解集是_____． 13. 课后延时服务已经落地，为了进一步对课后延时服务进行规范，某校计划在延时服务时间内开展各种社团活动．小明对全校学生进行抽样调查，收集整理拟参加社团活动类型（A．读书交流，B．体育锻炼，C．戏剧说唱，D．手工陶艺，E．书法器乐）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，选项： ①该校共有1000名学生；②选择“读书交流”的人数是120人；③在扇形统计图中，“体育锻炼”部分所对应的圆心角的度数是；④选择“书法器乐”所占的百分比为．以上选项正确的是________． 14. 如图是以为直径的半圆，分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为________． 15. 定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简及计算 （1）计算：； （2）化简：． 17. 依据教育部“双减”政策和《义务教育学校作业管理通知》等文件的规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．为了了解七、八年级的日常作业情况，校团委针对学生日常作业情况进行了调查，并从七、八年级中各随机抽取了10名学生的星期三的作业时间（用表示，单位：分钟）进行整理、分析和描述，共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 七年级10名学生的作业时间：67，78，86，86，86，88，93，94，96，96． 八年级10名学生的作业时间在C组的数据：82，83，83，86． 七、八年级抽取的学生作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 87 八年级 85 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）估计该校七年级800名学生和八年级600名学生中作业时间超过90分钟的总人数； （3）请对此次调查提出你的建议（写出一条即可）． 18. 某校因生源增加，需在老教学楼南面建设一栋新综合楼，按规划部门要求，新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，学校新建综合楼，老教学楼的一楼窗户距地面的距离，该校所在地区冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）根据学校实际地形，的距离为时最符合校园整体设置，根据以上条件，新综合楼的高度应为多少？ （2）为满足学校的长期规划，新综合楼的设计高度为，请问为了满足采光要求，新综合楼至少应建在老教学楼正南方多少米处？ 注：图中所有的点均在一个平面内，所在的直线为水平地面． 19. 如图，中，点，点在轴上，且，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将向上平移个单位，若的中点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； （3）将沿直线翻折，折叠后点的对应点为，点的对应点为，求翻折后点的坐标，并判断点是否落在反比例函数的图象上？并说明理由． 20. 如图，平行四边形中，以为直径作，交于点，交对角线于点． （1）尺规作图：过点作的切线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求证：四边形是菱形； ②若，，求的长． 21. 宁陵酥梨是商丘特产，质量上乘，口感脆甜，素有“桂林山水甲天下，宁陵酥梨冠中华”之美誉，是国家级地理标志产品．某超市售卖酥梨时，个头稍小的酥梨（简称小梨）销售价格为4.5元/千克，个头稍大的酥梨（简称大梨）销售方式为：千克及以下按原价销售，购买超过千克的大梨，超过部分打折． 某单位中秋节期间准备购买小梨和大梨1000千克为员工发福利，设购买大梨千克，购买小梨的费用为元，购买大梨的费用为元，与的函数关系如图，请回答问题： （1）求，的值； （2）若该单位此次购买总费用为元， ①与的函数关系式为________； ②该单位根据实际需要，规定大梨购买数量至少50千克，且购买大梨数量不超过小梨数量的，求当为多少时，有最小值，并求出这个最小值． 22. 在二次函数中，图象经过点和． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 23. 等腰直角三角形中，，，过点作，点为直线上一个动点，连接，将射线逆时针旋转，交直线于点，过点作，交直线于点． （1）若点在点右侧时： 【特殊】 ①如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为________；线段，，的数量关系为________； 【一般】 ②如图2，当点与点不重合时，①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【特殊】 （2）当点在直线上时，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $