6.3三角形的中位线（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

6.3 三角形的中位线 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册第六章“平行四边形”，重点阐述三角形中位线的概念、定理及应用。通过平行四边形性质和三角形面积拆分，引导学生掌握中位线的平行与倍分性质。 2.内容解析 本节先复习平行四边形的判定与性质，引入三角形中位线概念；然后证明“中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”这一核心定理；最后通过测量不可到达距离及构造平行四边形等情境，展示中位线在计算与推理中的多元应用。 1.教学目标 • 理解三角形中位线的概念，能证明三角形中位线定理。 •掌握三角形中位线定理，能灵活运用该定理解题。 2.目标解析 •通过对三角形的分割与拼接，让学生深入理解中位线是平行并半等第三边。 •通过测量实例与习题练习，培养学生运用平行与倍分性质开展推理和计算的能力。 3.重点难点 • 教学重点：三角形中位线定理及其证明。 • 教学难点：运用定理解决灵活变式问题。 学生已掌握平行四边形的判定与性质，对三角形面积计算具备感性认识，但对分割与旋转拼接等几何变换还需示范。通过直观演示与典型例题，可较好突破中位线定理抽象推理的难点。 创设情景，引入新课 知识回顾： 情景引入 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，你能帮他设计合理的解决方案吗？ 【设计意图】通过生活中“分三角形蛋糕”的情境创设，激发学生的学习兴趣和求知欲。引导学生复习平行四边形的性质与判定，引出如何对三角形进行分割或变换，为后续三角形的中位线概念及定理探究做好铺垫。 探究点1：三角形的中位线 1.思考交流 (1)你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? (2)连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? 解：四个全等的三角形. 2.知识归纳 三角形的中位线的概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 两层含义: ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的中点. 3.思考交流 ①你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. ②三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗? 解：DE和边BC的关系 位置关系：平行 数量关系：DE是BC的一半 能说出理由吗? 4.新知探究 已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC,DE=BC. 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS), ∴AD=CF,∠A=∠ECF. ∴CF∥AB. ∵AD=BD, ∴BD=CF. ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC,DE=DF=BC. 5.知识归纳 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示: ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC,DE=BC. 利用三角形中位线定理就可以将任意一个三角形分成四个全等的三角形. 6.练一练 如图所示，已知DE是△ABC的中位线，若AC=8,则DE的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解：B 7.新知探究 例 如图所示，□ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，E为 AB的中点，∠ADB=90°AC=6，OE=1。求AD和 BD的长度。 解：∵□ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴AO=OC，DO=OB(平行四边形的对角线互相平分)。 ∵E为 AB的中点， ∴OE是△ADB的中位线(三角形的中位线的定义)。 ∴AD=2OE=2(三角形中位线定理)。 ∵AC=6，AO=OC， ∴AO=AC=×6=3。 在 Rt△ADO中，由勾股定理可得DO==. ∴BD=2DO=2。 8.知识归纳 三角形中位线定理的应用 （1） 可以证明两条直线平行； （2）可以证明线段的相等或倍分； （3）可以求线段的长度或角的度数（平移角）. 9.练一练 如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，OE=5 cm，则AD的长为_____cm. 解：10 【设计意图】通过操作、剪拼与旋转，让学生在动手和直观感知的基础上初步领会并验证三角形的中位线平行于第三边、且等于它的一半，为定理的形式化证明做情感与认知上的铺垫。引导学生主动思考和交流，通过辅助线和证明过程，培养逻辑推理能力，突破“中位线与第三边的关系”这一理解与证明的难点。 探究点2：三角形的中位线定理的实际应用 1.探究交流 如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? 解：其中的道理是:连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线, ∴AB=2MN. 利用三角形中位线定理可以测量两点之间不能到达的距离. 2.典例分析 例如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点. (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)若边AC=BC=8，求四边形DECF的周长. 证明: (1)∵D,F分别是边AB,AC的中点, ∴DF∥BC. 同理DE∥AC. ∴四边形DECF是平行四边形. (2)∵AC=BC=8,E,F分别是边BC,AC的中点, ∴EC=BC=4,FC=AC=4. ∵四边形DECF是平行四边形, ∴▱DECF的周长=2(EC+FC)=2×(4+4)=16. 【设计意图】通过例题激活学生的综合思维与几何直观，巩固三角形中位线定理的各类常见应用场景，提升迁移应用和解决实际问题的能力。 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　) A.1 B.2 C. D.1+ 解：A 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后找出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.下列有关他这次探究活动的描述错误的是(　　) A.AB=24 m B.MN∥AB C.=2 D.△ABC的周长是△CMN周长的2倍 解：C 3.如图所示,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点,连接MN.若AB=5,BC=9,则MN=____.  解：2 4.如图所示，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与点B,C重合),AD与EF交于点O,连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件:______(只添加一个条件即可).  解:BD=CD(答案不唯一) 5. 已知D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接DG,GF,FE,ED.如图所示,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形. 证明:∵D,E分别是边AB,AC的中点, ∴DE∥BC且DE=BC. 同理,GF∥BC且GF=BC, ∴DE∥GF且DE=GF, ∴四边形DGFE是平行四边形. 6.如图所示,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点. 求证:EF∥DG,且EF=DG. 证明: 如图, 连接DE,FG. ∵BD,CE是△ABC的中线, ∴E,D分别是AB,AC的中点, 则DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC. 同理FG∥BC,FG=BC, ∴DE∥FG,DE=FG, ∴四边形DEFG是平行四边形, ∴EF∥DG,且EF=DG. 7.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH. (1)这个中点四边形EFGH的形状是______; (2)请证明你的结论. 解：(1) (2)证明:连接AC. ∵E是AB的中点,F是BC的中点, ∴EF∥AC,EF=AC, 同理HG∥AC,HG=AC. ∴EF∥HG,EF=HG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 【设计意图】通过分层次、针对性的练习，让学生将三角形中位线定理与平行四边形的性质、判定等知识点融会贯通。 主板书 6.3 三角形的中位线 探究点1 三角形的中位线 探究点2 三角形的中位线定理的实际应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题6.3第1~3题。 2.探究性作业：习题6.3第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $