6.2平行四边形的判定第3课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦平行线之间的距离概念及性质、平行四边形判定与性质的综合应用，通过铁轨枕木情境导入，衔接已学平行四边形知识，搭建从具体问题到抽象定理的学习支架。 特色在于融合情境探究与逻辑推理，以动手操作（方格纸画平行线、度量垂线段）和严谨证明（用平行四边形定义证距离相等）培养几何直观与推理意识，综合例题（如证明四边形MENF是平行四边形）提升应用能力，多样化练习兼顾基础与挑战，助力学生夯实知识，为教师提供清晰教学路径。

6.2 平行四边形的判定 第3课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级数学下册第六章6.2《平行四边形的判定》第三课时。主要教学内容包括：平行线之间的距离概念及性质、平行四边形的判定定理和性质的综合应用。学生在初步认识平行四边形的概念和基本判定方法后，通过本课的学习，进一步掌握平行线之间的距离处处相等的结论，能运用平行四边形性质和判定定理进行简单的分析、推理与计算，以解决几何中的相关问题。同时，学生可在探究与交流中深化对平行四边形的认识，为后续学习平面几何知识打下坚实基础。 2.内容解析 本节以“夹在两条平行线之间的枕木是否同长”作为情境引入，从动手操作、观察、度量和猜想出发，帮助学生建立“平行线之间的距离处处相等”的概念。随后通过对四边形与平行四边形之间关系的探究，巩固了平行四边形的判定及性质的综合运用。教学过程中，围绕“判定定理与性质运用”和“平行线距离定理”这两大知识要点进行探究，引导学生从定义、判定、性质三方面层层递进，体会几何推理和数学思维的严谨性与灵活性。通过情境创设、动手画图与课堂巩固练习，激发学生的学习兴趣，培养自主探索与归纳应用的能力，进而发展学生的空间想象及几何思维品质。 1.教学目标 •掌握平行线间的距离的概念及性质。 •能运用平行四边形的性质进行计算和证明。 •能够综合运用平行四边形的判定定理和性质 2.目标解析 •通过观察和操作活动，学生理解“平行线间的距离处处相等”的含义，并能在具体几何图形中进行准确的识别与度量。 •在平行四边形面积计算、线段相等和角度关系等几何问题中，学生能够运用平行四边形的对边平行及相等、对角线互相平分等性质解决问题。 •基于不同判定定理的多样化分析与推理，学生可对涉及平行四边形及平行线距离的综合题目进行探究式学习，培养数学思维的灵活性和严谨性。 3.重点难点 • 教学重点：运用平行四边形的性质进行推理、计算和证明。 • 教学难点：在几何综合题中恰当、灵活地运用平行四边形的判定定理与性质，建立问题与结论的关联，学会剖析关系、构造辅助线等解决策略。 学生已初步掌握了平行四边形的基本概念与判定定理，对平行线基本性质也有一定了解，如平行线的判定与性质、点到线距离等。但在实际应用中，学生常将点到线的距离与平行线之间的距离混淆，或对平行线间的距离“不变性”缺乏严谨推理。对于平行四边形综合题的入手点和辅助线的选取，部分学生还不够熟练，需要教师通过典型例题指引思路，让学生进行多角度分析与实践操作。同时，学生对几何证题的整体思路尚不够清晰，需要通过指导和适量的归纳练习，强化学生在回顾已有定理、选取恰当方法、推理与证明等方面的综合能力。 创设情景，引入新课 知识回顾： 情景引入 如图，在笔直的铁轨下， 夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗？与同伴进行交流． 【设计意图】通过实际生活中熟悉的铁轨和枕木的场景，引导学生观察与思考，激发他们的探究热情，同时复习平行线的相关知识，为后续学习“平行线之间的距离”的性质做好铺垫。 探究点1：平行线之间的距离 1.操作思考 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量,我们可以发现这些垂线段的长度都相等． 猜想：平行线间距离处处相等. 你能证明猜想的正确性吗？试一试. 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D． 求证：AC = BD． 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD, ∴∠1=∠2=90°, ∴AC∥BD, ∵a∥b，即AB∥CD, ∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义). ∴AC=BD(平行四边形的对边相等). 2.知识归纳 平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． 3.练一练 平行线之间的距离是指两条平行线中(　　) A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度 C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 解：B 4.思考交流 ①两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？ 点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. ②夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想. 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等. 5.练一练 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC//AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则四边形ABCD的周长是_______. 解：21 6.尝试交流 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性. 解：如图所示的是几个符合条件的平行四边形.对于画出的平行四边形，画法和说理方式都是多样的，利用平行四边形的各个判定定理都可以得到符合条件的图形. 【设计意图】通过对平行线之间的距离的验证与证明，学生亲身经历了“现实问题→作图度量→分析推理→获取结论”的过程，提升了探究能力。 探究点2：平行四边形判定方法的综合运用 1.探究交流 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE． 求证：四边形MENF是平行四边形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC（平行四边形的定义）． ∴ ∠MDF=∠NBE． ∵ DM=BN，DF=BE， ∴ △MDF≌△NBE(SAS). ∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴ ∠MFE=∠NEF． ∴ MF∥NE． ∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 2.典例分析 例1如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_____. 分析：根据平行线之间的距离处处相等. 解析：设高为h,则=·BD·h=16,h=4, 所以=·AE·h=×5 ×4=10. 例2如图所示,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1)求证:四边形ABDE是平行四边形; 解:(1)证明:∵AE⊥AC,BD垂直平分AC, ∴AE∥BD. ∵∠ADE=∠BAD, ∴DE∥AB, ∴四边形ABDE是平行四边形. (2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长. 解:(2)∵DA平分∠BDE, ∴∠ADE=∠ADB. 又∵∠ADE=∠BAD, ∴∠BAD=∠ADB,∴BD=AB=5. 设BF=x,则DF=5-x, ∴=-=-, 解得x=,∴BF=, ∴AF=. 又∵BD垂直平分AC, ∴AC=2AF=. 【设计意图】通过各类例题（包括平面几何的各种作图与证明），引导学生在具体情境中使用“平行四边形的判定定理”和“平行线之间的距离处处相同”的性质，从而培养学生的综合运用与迁移能力。 1.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=1,AD=2, 那么AD,BC 间的距离为 ( 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：A 2.如图所示，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 解：B 3.如图所示，已知直线a∥b，点A,B,C在直线a上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2.若△CEF的面积为5,则△ABD的面积为(　　) A.2 B.4 C.5 D.10 解：C 4.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是(　　) A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A=∠C 解：B 5. 如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点 E,FG⊥l2于点 G,则下列说法中正确的有　　　　(填序号) ①AB= CD; ②CE= FG ; ③A，B两点间的距离就是线段 AB 的长度; ④与两平行线间的距离就是线段 CD的长度。 解：① 6.如图所示，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件:　　　(只添加一个即可),使四边形AECF是平行四边形. 解：AF=CE． 7.设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD间的距离是12 cm，EF与CD间的距离是5 cm，则AB与EF间的距离是　　 cm. 解： 8.如图,直线a∥b,A,B为直线b上两点,C,D为直线a上两点,AD与BC交于点E. (1)请写出图中所有面积相等的三角形:　　　　　　　　; (2)若A,B,C为三个定点,点D在直线a上移动,那么无论点D移动到何处,总有　　　与△ABC的面积相等.这两个三角形底边AB上的高相等的理由是　　　　　　. 解：(1)=,=,= (2)△ABD,平行线之间的距离处处相等 9.如图所示,田村有一口四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,则田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.(画图要保留痕迹,不写画法) 解：田村能实现这一设想,如图所示(图形不唯一). 10.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． 解：在□ABCD中，∠ABC=70°， ∴ ∠ADC=∠ABC=70°． ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠EBF=∠ABC=×70°=35°． ∵ BE∥DF， ED∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴ ∠EDF=∠EBF=35°． ∵ ∠CDF＋∠EDF=∠ADC ， ∴ ∠CDF=∠ADC－∠EDF=70°－35°=35°． 【设计意图】“巩固练习”部分呈现了多样化的习题，既涵盖基础知识点的检验，又提供相应的挑战性问题，以帮助学生扎实掌握平行线间的距离及平行四边形的判定与性质，培养学生多角度分析和综合运用所学知识解决问题的能力。 主板书 6.2 平行四边形的判定 第3课时 探究点1 平行线之间的距离 探究点2 平行四边形判定方法的综合运用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题6.2第4，5，8，9，11题。 2.探究性作业：习题6.2第12，13题。 学科网（北京）股份有限公司 $