天津市静海区第一中学2025-2026学年高二下学期6月学业能力调研数学试题

**基本信息** 静海一中高二数学6月调研卷分层设计（基础120分+提高30分），聚焦导数、概率统计等核心知识，通过手机近视概率、旅游行程规划等真实情境，考查数学思维与应用意识，适配高二学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题45分|集合、逻辑、回归分析|结合散点图考相关关系，选项设置易混易错点| |填空题|6题30分|导数切线、条件概率|一题两空考条件概率计算，渗透全概率公式| |解答题|3题45分|二项式定理、超几何分布|对比二项分布与超几何分布，强化方法归类| |提高题|2题27分|导数单调性、零点问题|分层设计证明与恒成立问题，对接高考综合题型|

静海一中2025-2026第二学期高二数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人：张秀娟 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（30分）两部分，含卷面分3分，共150分。 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数 二项式定理 排列组合、概率分布列 条件概率、全概率公式、回归分析、独立性检验 集合、逻辑 不等式 易混易错 方法归类 分数 37 20 40 20 10 20 16 15 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1．已知集合，B=，则（   ） A． B．] C． ] D． 2．下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 3．若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C． 线性回归方程中 D．可以预测当时销量约为2.1万只 4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，，且，则的最大值为（       ） A． B．3 C．2 D． 6．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为， 图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 B．若随机变量，满足，则. C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数r越接近于1； D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； 8．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（     ） A．484 B．564 C．386 D．640 9．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入 底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表 示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．关于的不等式的解集是，则实数__________. 11．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，________． 12．已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 13．的展开式中含的项为____. 14．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 15． 已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是 三、解答题 (本大题共3小题，共45分) 16．（10分）袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. （1）求事件“取出的3个小球中，标号的最大数字是5”的概率； （2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 17．（15分）已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． （1）求和的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中的常数项． （4）若,求.（结果用数字表达） 18．（20分）一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. （1）若有放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求和 （2）若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和； （3）若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值. （4）结合（1）（2）两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 19．（15分）已知函， （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 20．（12分）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 21．卷面分（3分） 高二数学6月月参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C B D A A D B C 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 1 11. 1 12. ; 13. 14. 15． 三、解答题 16．(1). (2) 17．【详解】（1）由题意，展开式中第5项的二项式系数为，只有这一项的二项式系数最大，则展开式中一共有9项，可得， 又所有项的系数之和为1，取代入，得，又因为，所以， （2）所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为 所以的展开式中的常数项为． (4) -6560 18．(1)=和= (2)的分布列为： 1 2 3 = (3)的分布列为： 1 2 3 均值 (4) 19．(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系分类讨论即可. （2）代入化简得，令，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （3）当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，构造函数，结合导数与单调性及零点判断求解即可. 【详解】（1）的定义域为. . 其中，则，故只需讨论的符号. 当时，，则，在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，. . 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，， 因此，即，所以. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为. 若使恒成立，只需恒成立，即恒成立即可. 又，即恒成立. 令，则， 故在上单调递减，且， 所以. 故实数的取值范围为. 20.(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； (2) 【详解】（1）函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 高二数学（6月）学生学业能力调研试卷 第 5 页 共 8 页 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $