精品解析：天津市滨海新区经济技术开发区第二中学2025-2026学年高二下学期单元检测（5月月考）数学试题

天津市滨海新区经济技术开发区第二中学2025-2026学年高二下学期单元检测（5月月考）数学试题 一、单选题：本题共9小题，共45分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 3. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角 C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 4. 已知，且第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（ ） A. 的单调递增区间是， B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 6. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6．已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45 7. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 9. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，本题共6小题，共30分. 10. 的展开式中的常数项为___________． 11. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 12. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 13. 若随机变量，且，则____________． 14. 在中，，，，则__________. 15. 已知函数．若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知. （1）求，的值； （2）求的值. 17. 化简，求值： （1）； （2）． 18. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积． 19. 已知的两个极值点分别是，. （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间. 20. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 21. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区经济技术开发区第二中学2025-2026学年高二下学期单元检测（5月月考）数学试题 一、单选题：本题共9小题，共45分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式以及复合函数求导规则即可判断出C正确. 【详解】易知，可得A错误； 而，可得B错误； 显然，可得C正确； 易知，可得D错误. 故选：C 2. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心 C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可． 【详解】对于A选项，样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确； 对于C选项，相关指数来刻画模型的拟合效果，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故C错误； 对于D选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故D正确； 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角 C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确． 【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误； 对于B，，与终边不同，故B错误； 对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误； 对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确． 故选:D． 4. 已知，且第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得． 【详解】∵，且第三象限角，∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围． 5. 如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（ ） A. 的单调递增区间是， B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 6. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6．已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式能求出结果. 【详解】设某天的空气质量为优的事件是A， 随后一天的空气质量为优的事件是B， 则，， 若某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率为：． 故选：A． 7. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出，然后代入计算即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以， 故选：B 8. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可. 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得, 门大炮总得分的期望值为， ， 故选：B. 9. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数在区间上单调递增等价于导函数在该区间上恒非负，将问题转化为求二次函数在给定区间的最小值，即可得到的取值范围。 【详解】因为， 所以， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间恒成立，即在区间恒成立 即，在区间恒成立 令 ，， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，对称轴 ， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 ，取得最小值 要使 对所有 恒成立，只需 ，即：， 因此 的取值范围为 . 二、填空题，本题共6小题，共30分. 10. 的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 二项式的展开式通项为，其中且. 令的指数为，即，解得. 将代入得常数项为. 11. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 【答案】504 【解析】 【分析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果 【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种， 当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种， 所以由分类加法原理可得共有种， 故答案为：504 12. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“选中的学生选了物理”，事件分别表示“选到甲、乙、丙学校的学生”， ，，，，，， 由全概率公式可知， ， 所求概率为或. 13. 若随机变量，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正态分布的对称性得到答案． 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 故答案为：0.26． 14. 在中，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为: 15. 已知函数．若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，令，则，易求，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意知，，当时，恒成立， 即恒成立， 令，则恒成立， ， 当时，， 在上单调递增， ， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解. 【小问1详解】 ∵,且, ∴, ∴,. 【小问2详解】 17. 化简，求值： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数的诱导公式，即可求解； （2）化简，利用两角差的正切公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，根据三角函数的诱导公式，可得原式. （2）由. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和两角差的正切公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 18. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为△ABC的面积等于，所以，得. 联立方程组解得. （Ⅱ），由正弦定理得， 联立方程组 解得， 所以的面积 点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的等． 19. 已知的两个极值点分别是，. （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点求出. （2）由（1）的结论，求出的导数大于0、小于0的不等式解集即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，是方程的两个根，则，解得， 此时，是的变号零点， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 20. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 21. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为：；递增区间为：， 的极大值为，无极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以切线方程为． 【小问2详解】 当时，，． 令，， 故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点 即：0是在R上的唯一零点 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 极大值 的单调递减区间为：；递增区间为： 的极大值为，无极小值 【小问3详解】 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $