四川省成都某中学2025-2026学年高一下学期第14周周考数学试题

**基本信息** 成都航天中学高中数学周测试卷，聚焦复数、向量、立体几何等核心知识，通过轮船航行（第12题）、民宿栅栏设计（第19题）等现实情境，融合空间想象与逻辑推理，梯度覆盖基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部、向量垂直、球表面积|长方体倾斜问题（第4题）考查空间几何直观| |多选题|3|线面关系、三角形性质|正八边形窗花（第11题）渗透文化传承| |填空题|3|解三角形、圆锥体积|小虫爬圆锥（第14题）考查最短路径| |解答题|6|四棱锥体积、向量运算|民宿设计优化（第19题）体现数学应用意识|

成都航天中学第十四周周周清 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，．若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（     ） A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 5．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（   ） A． B． C．28 D．56 6．如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 7．平行四边形ABCD中，，，，若，，则（    ） A．4 B．6 C．18 D．22 8．已知钝角三角形中，角的对边分别为，若，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 10．在中，（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若是锐角，，则为锐角三角形 11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若P为ED的中点，则 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题 12．一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_____海里. 13．函数的单调增区间为______. 14．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________. 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.(1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 16．已知向量，，设．(1)，求当取最小值时实数的值； (2)若①求；②当向量与向量的夹角为，求出实数的值． 17．如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值；(2)求的长． 18． 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. （1）求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 成都航天中学第十四周周周清答案 1．【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为.【答案】A 2．【详解】因为，.所以， 因为，所以.所以.【答案】A 3.【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为，又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为，所以球的表面积为.故选：C. 4.【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确.【答案】B 5．【答案】A【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，，所以该棱台的体积是. 6．【答案】C【详解】如图，过A′作y′轴的平行线，交x′轴于点C′，则，又，所以，，所以. 由直观图还原得△AOB，如图，则，，，由勾股定理可得. 7．【答案】C【详解】由题意可知，以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示 因为，所以. 设，则，由，得，即，解得，所以.设，则，由，得，即，解得，所以.所以，.故选：C. 8.【答案】D【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角.由余弦定理得， ∴，解得.又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是，故D正确. 9．【详解】对A：与两个平行平面分别平行的两条直线的位置关系不能确定，故A错误； 对B：根据条件，要想确定，还需要直线，相交这个条件，故B错误； 对C：根据线面平行的性质定理，可得C正确； 对D：如图，可以满足所有条件，但，故D错误.【答案】ABD 10．【答案】ACD【详解】对于A，设的外接圆的半径为，若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确；对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或，所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得，若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即，又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：ACD. 11．【答案】BCD【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设，根据余弦定理可得，，整理得到， 设，，设， 对选项A：，所以，故A错误； 对选项B：，， 即在向量上的投影向量为，故B正确； 对选项C：因为P为的中点，所以，所以，， ，故C正确； 对选项D：， ， 所以，所以，整理得到，由题意可知， 所以在上单调递增，当时，，当时，，故，故D正确.故选：BCD. 12．【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，    由题意结合图可知，，海里，在中，由余弦定理知，，所以，即， 解得或（舍负），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里．故答案为：2 13．【详解】 . 由，得， 所以函数的单调增区间为. 14．【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示： 该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：∴.设底面圆的半径为r,则有,解得,所以这个圆锥的高为，则这个圆锥的体积为.故答案为：. 15．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 16．【详解】（1）当时，， 所以所以，所以当时. （2）①因为，则，又，，所以，， 所以； ②依题意，因为，所以， 又，则有，且，整理得，解得或，所以存在或满足条件． 17．【详解】（1）解：在中，，，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，则，故为等腰三角形，故. （2）解：由（1）知，，又因为，则，因为，则为锐角， 且，所以，，在中，由正弦定理，可得. 18． 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，.，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，，因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，此时． 19.【答案】（1）是定值； （2）8742元． 【解析】 （1）是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． （2）由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 试卷第1页，共3页 第11页 学科网（北京）股份有限公司 $