四川省成都某中学2025-2026学年高一下学期人教A版第九周周考数学试题

**基本信息** 成都航天中学高一下周测卷，以复数、向量、三角函数、解三角形为核心，通过基础辨析、几何应用、综合探究题，检测学生数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配周度知识巩固与能力分层提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7/35|复数充要条件（1）、向量夹角（2）、解三角形存在性（4）|结合残损纸条情境（4），考查数学眼光分析问题| |多选题|3/18|向量运算（9）、圆弧上动点参数表示（10）、角平分线与外心（11）|正方形圆弧动点问题（10），体现数学思维的严谨性| |填空题|3/15|三点共线（12）、函数图象平移（13）、扇形面积最值（14）|扇形护栏面积优化（14），渗透数学建模意识| |解答题|5/75|三角函数单调性（15）、复数综合（16）、向量表示与数量积（17）、解三角形与线段比例（18）、周长范围（19）|分层设问，如解三角形周长范围（19），检测数学语言表达与逻辑推理能力|

成都航天中学高2025级高一下期第九周周周清 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题5分，共35分） 1．设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，______（隐约可见数字‘6’），满足条件的有两个，”则残损处可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图②．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 6．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 7．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共12分） 9．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为4 D．过作交于，则的最大值为5 11.在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共10分） 12．已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 13．将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是___________ 14.如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 四、解答题（每小题15分，共60分） 15．已知． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)令，若函数的最大值为1，求的取值范围． 16.16.已知复数，，其中． （1）当时，求的值； （2）若，求实数m的值； （3）若的实部大于1，求a的取值范围． 17．如图所示，在中，，，，，. (1)用，表示与；(2)求的值； (3)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且. (1)求角A的大小；(2)若，，求的面积. (3)如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证 . 19．在中，角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 成都航天中学高2025级高一下期第九周周周清答案 1．【答案】C 【详解】设复数 ，的实部为，虚部为， 可化为，即， 对等式两边平方得： ， 展开整理后可得 ， 即的实部等于虚部，两个命题可以互相推出，因此是充要条件. 2．【答案】B 【详解】依题意，，又，所以，解得，所以, 所以， 又因为， 所以． 3．【答案】B 【详解】在上的投影向量为. 4．【答案】D 【详解】选项A，当时，此时三角形的三边确定，此时三角形唯一，不符合题意. 选项B，当时，在中，由余弦定理：， 所以，此时三角形唯一，不符合题意. 对于C，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或， 此时三角形唯一，不符合题意. 对于D，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或. 经检验和均可以构成三角形，满足条件. 5．【答案】D 【详解】设塔高， 在中，，所以， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 所以塔高为. 6．【答案】B 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 7．【答案】B 【详解】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 8.【答案】D 【详解】因为，所以． 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 9．【答案】ABD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，因此，D正确. 10．【答案】ACD 【详解】以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，设，则， 由，得， 所以，则， 选项A、B：， 由，得， 所以时，的最大值为，故A正确； 当或时，的最小值为1，故B错误； 选项C：， 当时，的最大值为4，故C正确； 选项D：由题意， 所以 令，， 所以当时，有最大值5，则的最大值为5，故D正确. 11.【答案】BCD 【详解】若，则O为的重心，又O为的外心， 故是等边三角形，所以，但，所以，A错误； 在中，由正弦定理得①， 同理在中，②， 是的角平分线，则， 则， ①②得， 所以，B正确； 因为， 所以， ．因为，， 所以，即，C正确； 过分别作的垂线，垂足分别为，由圆的垂径定理得，分别为边的中点， 利用数量积的几何意义得：，， 故，D正确． 12．【答案】 / 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 13．【答案】 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 14.【答案】50 【详解】设该扇形花坛的半径为米，弧长为米， 则，所以，由已知， 所以该扇形花坛的面积，， 所以当米时，该扇形花坛的面积取最大值，最大值为平方米． 15．【答案】(1)和； (2). 【详解】（1）当时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. （2） ， 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点， 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 16.【答案】（1） （2） （3） 【解析】 （1）当时，，则， 故． （2）因为，，所以． 依题意得，解得． （3）由题意可得． 因为的实部大于1，所以， 解得． 17．【答案】(1)， (2) (3)存在实数使得，此时 【详解】（1）因为，，所以，. 所以， . （2） . （3）. 因为，所以，即， 整理得， 即， 解得. 所以，存在实数使得，此时. 18．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∵为三角形内角， ∴ （2）∵，，， ∴，即， ∴ （3）如图，在中，， 设单位向量，于是，即 过点D作的平行线，则， 而，， 故， 即证 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， ， ， ， 又， ， ， . （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由②①得， 所以. （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 . 因为为锐角三角形，所以， 即， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为. 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $