专题13.3 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学三角形的中线、角平分线、高核心知识点，系统梳理中线（含重心）、角平分线（交点性质）、高（不同三角形位置特性）的定义与性质，通过11个题型构建从概念到应用的学习支架，涵盖求线段长度、周长、面积、度数及证明、作图、分类讨论等。 资料以“知识点+题型+例题+变式”设计，如中线与面积关系、角平分线结合平行线证平行、高线分类讨论顶角度数等，培养几何直观、推理能力与模型意识。课中辅助教师示范教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题13.3 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用中线求线段长度】 1 【题型2 利用中线求三角形周长】 2 【题型3 中线与三角形面积关系】 3 【题型4 直接利用角平分线求度数】 4 【题型5 角平分线结合平行线求度数】 5 【题型6 利用角平分线证明】 6 【题型7 识别与画出三角形的高】 8 【题型8 利用等积法求高或边长】 9 【题型9 高线与三角形面积计算】 10 【题型10 利用高线求角的度数】 11 【题型11 高线位置分类讨论问题】 13 考点1 三角形的中线 知识点1 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 【题型1 利用中线求线段长度】 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式1-1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）是的中线，，__________． 【变式1-2】已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【变式1-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为___________． 【题型2 利用中线求三角形周长】 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【变式2-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【变式2-2】如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是________． 【变式2-3】如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD与△ADC的周长之差为_______. 【题型3 中线与三角形面积关系】 【例3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是___． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，是的中线，若，则_____． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是的角平分线，是边上一点，连接交于点，，，连接． (1)求的度数； (2)若为的中线，的面积为，请用字母表示的面积； (3)如图2，过点作的垂线交直线于点，若，，求的面积． 考点2 三角形的角平分线 知识点2 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 【题型4 直接利用角平分线求度数】 【例4】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【变式4-1】如图，在中，，平分，若，，则_____． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，于点，平分，交于点，若，，求的大小． 【变式4-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【题型5 角平分线结合平行线求度数】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 (1)求证：； (2)若平分，，求证：． 【变式5-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，，，那么平分吗？ 解：∵平分（已知）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴_________， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（________________________）， （________________________）， ∴________________________（等量代换）． ∴平分． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，则的度数为 _______． 【变式5-3】如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是______． 【题型6 利用角平分线证明】 【例6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB上，EFAD，连接DE． (1)求证：∠BEF＝∠CAD； (2)若DEAC，求证：EF平分∠BED． 【变式6-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且． (1)求证：； (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由． 考点3 三角形的高 知识点3 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型7 识别与画出三角形的高】 【例7】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【变式7-1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 【变式7-3】如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________． 【题型8 利用等积法求高或边长】 【例8】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【变式8-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【变式8-2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【变式8-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 【题型9 高线与三角形面积计算】 【例9】如图，为中边上的一点，，，，是上的一点，且的面积等于面积的2倍，的长为（　　） A．1 B．3 C． D．不确定 【变式9-1】如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式9-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是______． 【题型10 利用高线求角的度数】 【例10】（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 【变式10-1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式10-2】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，（），是的高． (1)如图，若为内角的平分线． ①当，，则的度数为_________； ②用含，的代数式表示的度数，并说明理由； (2)如图，若是外角的平分线，交延长线于点，若，则的度数为_________． 【题型11 高线位置分类讨论问题】 【例11】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【变式11-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在中，，是边上的高，若，则________． 【变式11-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【变式11-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，为边上的高，若，则的度数为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 利用中线求线段长度】 1 【题型2 利用中线求三角形周长】 3 【题型3 中线与三角形面积关系】 6 【题型4 直接利用角平分线求度数】 9 【题型5 角平分线结合平行线求度数】 13 【题型6 利用角平分线证明】 18 【题型7 识别与画出三角形的高】 23 【题型8 利用等积法求高或边长】 25 【题型9 高线与三角形面积计算】 27 【题型10 利用高线求角的度数】 30 【题型11 高线位置分类讨论问题】 34 考点1 三角形的中线 知识点1 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部. 【题型1 利用中线求线段长度】 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）是的中线，，__________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形中线的定义，掌握这个知识点是解题的关键． 根据三角形中线的定义，中线连接顶点和对边中点，因此点D是的中点，等于的一半． 【详解】解：∵是的中线， ∴点D是边的中点． ∴． 故答案为6． 【变式1-2】已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 【变式1-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为___________． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【题型2 利用中线求三角形周长】 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长 的周长 求解，即可解题． 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长 的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解： 为的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 与的周长差是 ， 故答案为：8． 【变式2-3】如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD与△ADC的周长之差为_______. 【答案】2 【分析】△ABD与△ACD的周长的差=AB-AC，据此答题即可． 【详解】解：△ABD的周长=AB+AD+BD，△ACD的周长=AC+AD+CD， ∵AD是BC的中线， ∴BD=CD， ∵AB=5cm，AC=3cm， ∴△ABD的周长-△ACD的周长=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=2（cm）， 故答案为：2． 【点睛】考查了三角形的中线概念和性质，掌握三角形的中线的概念是解题的关键. 【题型3 中线与三角形面积关系】 【例3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是___． 【答案】3 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的高相等，的面积是12， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的高相等， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是的角平分线，是边上一点，连接交于点，，，连接． (1)求的度数； (2)若为的中线，的面积为，请用字母表示的面积； (3)如图2，过点作的垂线交直线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为是角平分线，且，所以可先求出和的度数；所以可利用三角形外角定理，结合已求的的度数，求出的度数． （2）因为是的中线，所以和的面积相等；因为，所以可利用三角形面积与底的比例关系，结合的面积为，逐步推导的面积． （3）先根据，，求出 ，可得 ，根据， 得​． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ， 解得． （2）解：∵是的中线， ∴ ． ∵在上，，和同高（以到的距离为高）， ∴， ∴． ∴． （3）解：∵，，， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴， 即 ， ∵， ∴​． 考点2 三角形的角平分线 知识点2 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部. 【题型4 直接利用角平分线求度数】 【例4】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 【变式4-1】如图，在中，，平分，若，，则_____． 【答案】/30度 【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分线和高的定义是解题的关键． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，于点，平分，交于点，若，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质 是解题的关键．先根据，，算出，再根据三角形外角性质得，又因为平分，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 则 【变式4-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 【题型5 角平分线结合平行线求度数】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点D，E分别在的边，上，，点F在线段上，且 (1)求证：； (2)若平分，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据平行线的性质可判定，再结合已知条件可得出，据此再根据平行线的判定可得出结论； （2）首先由（1）得到，结合角平分线的定义可得到，再由即可得出，结合即可得此，最后再由三角形的外角定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴． （2）证明：由（1）知：， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式5-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，，，那么平分吗？ 解：∵平分（已知）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴_________， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（________________________）， （________________________）， ∴________________________（等量代换）． ∴平分． 【答案】角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等； 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质进行证明即可． 【详解】解：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ 3 ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴  （等量代换）． ∴平分． 故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解答本题的关键． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，则的度数为 _______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线的定义得出，，平行线的性质得出，，进而根据三角形内角和得出、，再得到和的关系即可得到答案． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数．此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键． 【详解】解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型6 利用角平分线证明】 【例6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB上，EFAD，连接DE． (1)求证：∠BEF＝∠CAD； (2)若DEAC，求证：EF平分∠BED． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得∠BEF＝∠BAD，再根据角平分线得∠CAD＝∠BAD，等量代换即可证明； （2）由（1）知∠BEF＝∠CAD＝∠BAC，通过两直线平行，同位角相等，可得∠BED＝∠BAC，等量代换即可证明． 【详解】（1）因为EF∥AD， 所以∠BEF＝∠BAD， 因为AD平分∠BAC， 所以∠CAD＝∠BAD， 所以∠BEF＝∠CAD． （2）由（1）知∠BEF＝∠CAD＝∠BAC 因为DE∥AC， 所以∠BED＝∠BAC， 所以∠BEF＝∠BED， 所以EF平分∠BED． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式6-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 【答案】 角平分线的定义；等量代换； ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义． 根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答． （2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式6-3】如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且． (1)求证：； (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，说明见详解 【分析】（1）根据，，可得，根据同位角相等，两直线平行可判定； （2）根据，可得，继而得到，由对顶角，可得，由（1）可得，，再因为AD是∠BAC的角平分线，有，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键． 考点3 三角形的高 知识点3 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 2.三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【题型7 识别与画出三角形的高】 【例7】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 【变式7-1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形高的定义线段是的高的是： ． 【变式7-2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 【答案】A 【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图（1）中的折叠方式可知，， 是的角平分线； 由图（2）中的折叠方式可知，， ， ， 是的高线； 由图（3）中的折叠方式可知，， 是的中线． 【变式7-3】如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________． 【答案】AE 【分析】根据三角形的高的概念即可得答案． 【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点， ∴BE⊥AC，即AE⊥BH， ∴△BHA中边BH上的高是AE， 故答案为：AE 【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【题型8 利用等积法求高或边长】 【例8】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 【变式8-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 【变式8-2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 【变式8-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边________．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 【题型9 高线与三角形面积计算】 【例9】如图，为中边上的一点，，，，是上的一点，且的面积等于面积的2倍，的长为（　　） A．1 B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设，根据三角形面积公式，利用得到，则，所以，再根据三角形面积公式即可求出的长．解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化． 【详解】解：设， ∵，，即， ∵和同高，设高为， ∴， ∵的面积等于面积的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，和同高，设高为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-1】如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【分析】根据三角形面积公式：S=ah，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC的面积2×3＝3， △DEF的面积2×3＝3， ∴△ABC的面积＝△DEF的面积． 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式． 【变式9-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解： 由题意得：，，， ， 的边上的高为，， ， 故答案为：． 【题型10 利用高线求角的度数】 【例10】（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 【答案】16 【分析】设，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 【变式10-2】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ， ． （2）是的角平分线． ． ． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，（），是的高． (1)如图，若为内角的平分线． ①当，，则的度数为_________； ②用含，的代数式表示的度数，并说明理由； (2)如图，若是外角的平分线，交延长线于点，若，则的度数为_________． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（）①由三角形内角和定理得，进而根据三角形角平分线的定义可得，又由三角形的高可得，最后根据角的和差即可求解；②同理①解答即可求解； （）作的内角平分线，由（1）②得，再根据角平分线的性质可得，进而由角的和差即可求解； 本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，角的和差，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作的内角平分线，则， ∵是的角平分线，为的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11 高线位置分类讨论问题】 【例11】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式11-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在中，，是边上的高，若，则________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论. 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， 当为锐角时，如图所示， ∴在中，， 即， 在中，， ∴， 当为钝角时，如图所示， ∴在中，， ∴即， 在中，， ∴. 故答案为：或. 【变式11-2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 【变式11-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，为边上的高，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键． 分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算． 【详解】解：当高在内部时，如图， ，在中，； 当高在外部时（点D在延长线上）， ，则， 在中，， 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $