专练2 一元二次方程（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷（沪科版·新教材）

**基本信息** 以“解法-性质-应用”为主线，系统覆盖一元二次方程核心考法，融合跨学科与创新题型，强化数学抽象、运算及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法训练|1-5题|因式分解法、配方法、公式法、换元法|从分解因式到三种解法，构建方程求解体系| |根的性质|6-9题|根与系数关系、判别式应用|结合方程根的定义，推导根的数量与关系| |数学建模|10-14题|几何建模、物理公式转化、经济问题分析|从实际情境抽象等量关系，培养应用意识| |创新应用|4题|新定义运算转化|将新规则转化为方程，提升数学抽象能力|

专练2 一元二次方程 1. 若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____． 新定义题 4. 我们规定：对任意实数，，，，有．其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如．若，则的值为__________． 5. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 6. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 双空题 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是______； （2）若，则m的值为______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 10. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 跨学科物理 11. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 12. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 13. 从上海到南京相距，小王上午驾车以一定的速度从上海去南京，下午从南京赶回上海．在回来的路上按原来的速度行驶了后，由于汽车故障修理了，随后以比原来快的速度行驶，结果用了和去时相同的时间赶到上海．小王上午驾车的速度是_____________． 14. 商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 专练2 一元二次方程 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，， 故选：． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程配成完全平方式，再对比选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【3题答案】 【答案】x1=﹣1，x2=﹣3． 【解析】 【分析】换元法即可求解,见详解. 【详解】令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0, 解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3 解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键. 新定义题 【4题答案】 【答案】4或-2 【解析】 【分析】按照新定义的运算，将等式两边分别进行计算，得到关于的一元二次方程，然后求解该方程即可． 【详解】解：∵， ， ∴，即， 解得，． 故的值为或． 【5题答案】 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 得， 解得，． 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， 解得，． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 解得，． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 双空题 【8题答案】 【答案】 ①. 且 ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据，且，可得答案； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，再整理，并代入求出解即可. 【详解】解：（1）由题意知，，且， 解得，且， 的取值范围是，且. 故答案为：，且； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ 整理得：， 解得： 由知，，且， ， 故答案为： 【9题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵， ∴． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 跨学科物理 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即可． 【详解】解：当时， 解得：（舍去）， 即物体经过秒落回底面． 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设上午车速为，根据去程时间=回程各段时间和，列分式方程求解，再舍去不合题意的解． 【详解】解：设小王上午驾车的速度是． 根据题意，得， 解得，． 经检验，，均为方程的解，但不合题意，舍去． 答：小王上午驾车的速度是． 【14题答案】 【答案】（1）15元 （2）不可能；理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． 【小问2详解】 解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $