专练1 二次根式化简、求值的常用技巧（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷（沪科版·新教材）

**基本信息** 聚焦二次根式化简求值，以“概念辨析-技巧提炼-综合应用”为主线，系统整合构造完全平方、有理化、整体思想等8类解题方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|a型无理数定义辨析|从二次根式基本概念出发，构建无理数分类认知| |化简技巧|3题|复合二次根式构造完全平方、积的乘方逆用、分母有理化|通过具体运算情境，提炼化简的核心转化方法| |求值应用|4题|整体代入、代数式变形、双空题分步求解|结合整体思想，实现已知条件到目标代数式的转化| |大小比较|2题|平方法、作差法、一题多解|通过多解法训练，培养推理意识与灵活解题能力|

抢分小卷（一） 专练1 二次根式化简、求值的常用技巧 1. 若都是有理数，且，则( ) A. B. C. D. 2. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知则代数式的值为_______________ ． 运算能力 5. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 6. 比较和的大小． 方法一：，．∵，∴． 方法二：，．∴，∴． 根据上面的例题解答下列各题： （1） 比较和的大小．（一题多解法） （2）比较与的大小． 7. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是___________；化简___________； （2）比较与的大小，并说明理由． 8. 若，则的值为（ ） A. 90 B. 91 C. 93 D. 95 整体思想 9. 边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为______． 10. 已知，，则_____． 双空题 11. 已知，设，，则． （1）__________． （2）________． 12. 已知，求下列各式的值． （1）； （2） 抢分小卷（一） 专练1 二次根式化简、求值的常用技巧 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用完全平方公式将等号右边的式子展开，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【4题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，二次根式的混合运算，先化简是解题的关键． 先化简，再将化简后的结果代入，利用二次根式的混合运算法则求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0． 运算能力 【5题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 【6题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案；也可以利用二次根式的性质先将根号外的数字移到根号内，再比较大小； （2）先乘方，再根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案． 【小问1详解】 解：，． ∵， ∴． 一题多解法 ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【7题答案】 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 整体思想 【9题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据长方形的周长和面积公式得到，，然后将因式分解代入求解即可． 【详解】∵它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确将因式分解． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，完全平方公式的应用，由已知条件，，可知和均为负数，将表达式通过变量代换化为正数形式，再利用完全平方公式求解，最后整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 双空题 【11题答案】 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的表达式，直接计算的值即可； （2）利用平方差公式进行因式分解后，将（1）中所求的代入计算即可． 【详解】解：（1）． （2）∵， ∴， 即． 【12题答案】 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $