期末抢分卷（一）（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷B（北师大版·新教材）

**基本信息** 立足初中数学期末综合检测，融合中华文明图案、明代数学文化及无人机科技情境，梯度覆盖基础运算、逻辑推理与创新应用，突出几何直观、运算能力及应用意识的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题|轴对称与中心对称、分式化简、等腰三角形外角|新定义“智慧数”（第5题）、一题多解（第6题）| |填空|6题|古代“绫罗尺价”问题（第9题）、三角板旋转分类讨论（第12题）|数学文化渗透、动态几何思想| |解答题|11题|几何直观证明（第17题）、无人机费用优化（第21题）、中位线项目式学习（第23题）|跨学科应用、探究性问题设计|

初中期末抢分卷（B）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 1. 中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰的一个外角的度数为，则其底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 新定义题 5. 一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是“智慧数”的是（ ） A. 48 B. 120 C. 30 D. 32 6. 如图，的对角线交点为，，，则的度数为（ ）（一题多解法） A. B. C. D. 二、填空题 7. 若，则________． 8. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 古代数学文化 9. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 10. 如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为____________． 11. 如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 分类讨论思想 12. 将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时，________________． 三、解答题 13. 按要求完成各题： （1）解方程：． （2）如下图，和成中心对称．若的面积为4，求的面积． 运算能力 14. 先化简，再求值：，其中m满足． 15. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； （2）在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 几何直观 17. 如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． （1）求证：； （2）当时，求． 四、解答题 18. 如下图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将平移后得到，已知点的坐标为，请画出． （2）若和关于原点成中心对称，请写出的各顶点坐标． （3）将绕点逆时针旋转得到，请在坐标系中画出． 应用意识 19. 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． （1）求，两款帆布袋的单价分别为多少元． （2）某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 20. 如下图，四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）连接．若，，，求的面积． 五、解答题 21. 综合与实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，越来越多的国产无人机应用于实际生活，为人们的生活带来了便利 素材1 某农业公司欲购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型无人机比B型无人机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型无人机喷洒40公顷农田所用时间与B型无人机喷洒50公顷农田所用时间相等 素材2 已知购买1架A型无人机和1架B型无人机共需要11万元，购买2架A型无人机比1架B型无人机贵4万元，农业公司计划购进20架无人机 （1）A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地 （2）A，B两种型号无人机每台各多少万元 （3）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，则该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总费用最少？请求出最少费用 22. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； （2）若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； （3）仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； （4）利用（3）中结论计算：． 六、解答题 课标 项目式学习 23. 【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 初中期末抢分卷（B）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形；根据轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合的图形；即可解答． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形(绕中心旋转与自身重合)； B、是轴对称图形(有多条对称轴)，但绕中心旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：B． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，原式错误，不符合题意； B、，则：，原式错误，不符合题意； C、，则：，正确，符合题意； D、，则：，原式错误，不符合题意； 故选C． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据外角的定义，得到等腰三角形的一个内角为，进而得到该角为顶角，根据两个底角相等，且三角形的内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵等腰的一个外角的度数为， ∴等腰三角形的一个内角为； ∵， ∴该角只能是顶角， ∴等腰三角形的底角的度数为：； 故选A． 新定义题 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式把每一个数表示成两个非零自然数的平方差，即可解答． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不能表示为两个非零自然数的平方差，符合题意； D、，不符合题意． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得到，，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质即可求出的度数；也可以先根据平行四边形的性质结合已知条件求出，最后根据等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． 又，， ， ， ． 一题多解法 四边形是平行四边形， ，，， ． ， ， ． 二、填空题 【7题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据 “同大取大” 原则即可得出答案． 【详解】解：根据 “同大取大” 原则得出， 故答案为：． 古代数学文化 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠问题，勾股定理，折叠结合平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为： 分类讨论思想 【12题答案】 【答案】秒或秒或秒 【解析】 【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点E落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值． 【详解】解：设旋转角为α，则旋转的时间（秒）， 在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行， 有以下三种情况： （1）当时， ， ∴点E落在线段上时， 旋转角， （秒）； （2）当时，则， ， ， 旋转角， （秒）； （3）当时，则， ， 旋转角， （秒）； 综上所述：秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）将分式方程转化为一元一次方程进行求解即可； （2）根据和成中心对称可得，，由三角形的中线的性质可得，即可求的面积． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得，解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 运算能力 【14题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 【15题答案】 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据一元一次不等式组的解法先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示这两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图所示： 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，即为所求，平行四边形得到，则等高，而，故； （2）连接交于点，连接并延长交即为点，根据平行四边形得到，，继而可证明，则，那么可证明四边形为平行四边形，则． 【小问1详解】 解：在图1中，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求： 几何直观 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识． （1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两个三角形全等； （2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出的长度． 【小问1详解】 证明：和都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边， ， ， 在和中， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，然后连接起来即可； （2）利用中心对称变换的性质分别求出的对应点的坐标即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后连接起来即可． 【小问1详解】 解：平移后，点的对应点为， 平移变换是向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． ，， ，． 综上所述，如图所示． 【小问2详解】 解：和关于原点成中心对称，且，，， ，，． 【小问3详解】 解：如图所示． 应用意识 【19题答案】 【答案】（1）两款帆布袋的单价分别为8元和5元 （2）当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【小问1详解】 解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； 【小问2详解】 解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证得到，即可得出； （2）先证为等边三角形得到，且，则根据勾股定理得，根据证明，得出平行四边形的面积等于的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中， ∴， ∴， ∴． 五、解答题 【21题答案】 【答案】（1）A型无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型无人机平均每小时喷洒10公顷地 （2）A型无人机每台5万元，B型无人机每台6万元 （3）购买A型无人机、B型无人机各10台才能使总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】（1）设型无人机平均每小时喷洒公顷地，则型无人机平均每小时喷洒公顷地，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）设型无人机每台万元，型无人机每台万元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （3）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设总费用为万元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：设型无人机平均每小时喷洒公顷地，则型无人机平均每小时喷洒（）公顷地． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意， （公顷）． 答：型无人机平均每小时喷洒公顷地，型无人机平均每小时喷洒公顷地． 【小问2详解】 解：设型无人机每台万元，型无人机每台万元． 根据题意，得解得 答：型无人机每台5万元，型无人机每台6万元． 【小问3详解】 解：设购买型无人机台，则购买型无人机台． 根据题意，得， 解得． 设总费用为万元，则． ， 随的增大而减小． ， 当时，值最小，． （台）． 答：购买型无人机、型无人机各台才能使总费用最少，最少费用为万元． 【22题答案】 【答案】（1）提取公因式法，2 （2）2025， （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； 【小问2详解】 解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 六、解答题 课标 项目式学习 【23题答案】 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（），理由见解析；的长为或． 【解析】 【详解】（）延长至，使，连接证明，则有，，然后证明四边形是平行四边形，所以，，从而有，； （）延长至点，使，连接，同（）理，则，，然后证明，故有，从而求证； （）延长至点，使，连接，，先证，得，，则，由线段绕点逆时针旋转得到线段，，再证得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； 分两种情况，当为的中位线时；当不是的中位线时两种情况分析即可． 解：（）证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （）， 理由如下：如图，延长至点，使，连接， 同（）理， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）．理由如下： 如图，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； 解：由题意知，， 分是的中位线和不是的中位线两种情况求解， 当是的中位线时，， ∴； 当不是的中位线时，如图，取中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $