专练3 平行四边形（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷B（北师大版·新教材）

**基本信息** 以平行四边形性质与判定为核心，通过基础证明、模型探究、动态综合等模块，系统提炼折叠性质、等积法、分类讨论等解题方法，构建从概念到应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明|第1题|角平分线+等腰三角形判定、三线合一|平行四边形对边平行性质→等腰三角形判定→平行四边形判定| |模型观念|第3题|等底同高面积转化、从特殊到一般推广|平行四边形面积公式→三角形面积关系→实际应用模型构建| |综合与实践|第5题|折叠性质、等腰直角三角形判定|折叠对称性→平行四边形对边平行→等腰三角形性质→勾股定理计算| |动态探究|第6题|动态分类讨论、中点性质|角平分线+平行线→等腰三角形→平行四边形存在性→面积等分条件|

专练3 平行四边形 几何专练 1. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形． （3）若，求的长． 2. 如图，点O是平行四边形的对称中心，点E、F分别为边上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ________________ ． 模型观念 3. 探究：已知平行四边形的面积为100，M是所在直线上的一点 （1）如图1：当点M与B重合时，________； （2）如图2：当点M与B与A均不重合时，________； （3）如图3：当点M在（或）的延长线上时，________； 推广：平行四边形的面积为a，E、F为两边、延长线上两点，连接、、、，求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由． 应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地，、分别平行、AD，、交于O点，其中，，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域，连接、、，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形区域的面积． 4. 如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 综合与实践 5. 综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 几何直观 6. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）． 专练3 平行四边形 几何专练 【1题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，然后根据等腰三角形的判定证明，再等量代换求证； （2）由三线合一得到，然后证明，再等量代换，则，即可求证； （3）可得是等边三角形，则，由三线合一得到，最后在中由勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知． 平分， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：由（1）知， 又， 是等边三角形， ． ， ． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，过A作于H，由含角直角三角形的性质解得，再由勾股定理解得，从而求出，根据平行四边形中心对称的性质得到，再证明，最后由全等三角形面积相等解答． 【详解】解：如图所示，连接，过A作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵点O是平行四边形的对称中心， ∴O是的中点， ∴， ∵平行四边形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 模型观念 【3题答案】 【答案】（1）50；（2）50；（3）50；推广：阴影部分的面积为a，应用：，证明见解析 【解析】 【分析】（1）平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h，由题， ； （2）同（1）即可求解； （3）同（1）即可求解； 推广：阴影部分的面积为a，设平行四边形边上的高为h，边上的高为H，则，，故阴影部分的面积； 应用：连接，由推广的结论得到、和，即可求解． 【详解】解：（1）设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； （2）设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； （3）设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； 推广：阴影部分的面积为a，设平行四边形边上的高为h，边上的高为H， 则， ， 故阴影部分的面积； 应用：连接，由推广的结论， 有，， ， ∴. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键． 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 综合与实践 【5题答案】 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 几何直观 【6题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，结合角平分线的定义得出，由等角对等边即可得解； （2）由（1）可得，求出，由题意可得，，结合题意可得要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要，再分两种情况：当点在边上时；点在边的延长线上时，分别求解即可； （3）连接交于，由题意可得必过的中点，即为的中点，证明，得出，表示出，，得出，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∵， ∴要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在边的延长线上时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，连接交于， ∵线段将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴必过的中点，即 为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $