专练2 分式与分式方程（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷B（北师大版·新教材）

**基本信息** 以“方法引领-能力递进-应用拓展”为主线，系统整合分式化简求值、方程参数讨论及实际应用，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |赋值法|2题|化简后代入求值，关注分式有意义条件|从分式化简到特殊值代入，强化代数变形能力| |运算能力|4题|先化简再求值（整体代入），分式方程解的讨论（增根与无解）|从基础运算到参数问题，构建“运算-推理-应用”逻辑链| |新定义题|3题|新运算转化分式方程，实际问题建模（分式方程+不等式+函数）|知识迁移与综合应用，体现数学建模与数据分析|

专练2 分式与分式方程 计算专练 赋值法 1. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 已知，则分式的值为_______． 运算能力 3. 先化简，再求值： （1），其中满足． （2），其中为整数且满足不等式组 4. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. －1或 新定义题 6. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为______． 7. 若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 8. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 专练2 分式与分式方程 计算专练 赋值法 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式= = =， ∵，且x≠0，x≠±2， ∴当x=-1时，原式=1. 故选B. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解题时要注意x的值要保证分式有意义． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件 可得 ，然后将此关系代入所求分式，化简即可求值； 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入 ， 得 ． 故答案为 ． 运算能力 【3题答案】 【答案】（1） 5 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，通过得到，再整体代入进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后求出不等式组的解集，根据分式有意义的条件，结合为整数可得到的值只能取，再将代入化简后的代数式进行求值即可． 【小问1详解】 ． ∵， ∴， ∴原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵，且为整数， ∴的值只能取， ∴当时，原式． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 新定义题 【6题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 【7题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， ①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ②当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 【8题答案】 【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【解析】 【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解； （2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $