专练1 巧构等腰三角形（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷B（北师大版·新教材）

**基本信息** 聚焦等腰三角形构造的几何专项训练，以“构造全等+截长补短”为核心方法，系统整合角平分线、垂直平分线性质与全等推理，形成“方法-应用-拓展”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |巧构等腰三角形几何专练|5题（含3道综合题、1道多解题）|角平分线构造全等、截长法、补短法、垂直平分线性质应用|以等腰三角形性质为基础，通过辅助线构造全等三角形，结合勾股定理解决长度计算与证明，体现从基本图形到实际应用的推理过程，培养几何直观与推理意识|

初中期末抢分小卷（B）·数学 抢分小卷（一） 专练1 巧构等腰三角形 几何专练 1. 如图，在中，，平分，点在线段的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，，．求的长． 课标 项目式学习 2. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作, 垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 3. 如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 （1）当，时，求点E到点C之间的最短距离； （2）若时，试说明： 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）填空：∠DBC=_________度； （2）猜想：BC、AB、CD三者数量关系_____________________； （3）证明你的猜想． 5. 如图，在中，，于点，且．求的度数．（一题多解法） （1）方法一（截长法）：在上取点，使，连接． （2）方法二（补短法）：延长至点，使，连接． 初中期末抢分小卷（B）·数学 抢分小卷（一） 专练1 巧构等腰三角形 几何专练 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，，再结合等角对等边得出，，再通过可证明，由全等三角形的性质结合线段和差关系可得到，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示． ∵，平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理，得． 课标 项目式学习 【2题答案】 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【3题答案】 【答案】（1）10 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， ， 点E到点C之间的最短距离为10； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ∴ 【4题答案】 【答案】（1）18；（2）BC=AB+CD；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得出结果； （2）通过观察可初步猜想BC=AB+CD； （3）在线段BC上截取BE=BA，连接DE．先证明△ABD≌△EBD，再结合角度证明∠CDE=∠CED，从而有CD=CE，最后通过等量代换即可得出结果． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠A=108°， ∴∠ACB=∠ABC=×（180°-108°）=36°， 又BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=18°． 故答案为：18； （2）BC=AB+CD．证明见（3）， 故答案为：BC=AB+CD； （3）证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴∠BED=∠A=108°，∴∠DEC=72°， 又∵∠C=36°， ∴∠CED=∠CDE=72°，∴CD=CE， ∴BC=BE+EC=AB+CD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和以及三角形外角的性质等，综合利用相关性质进行推理，并正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【5题答案】 【答案】（1） 过程见解析 （2） 过程见解析 【解析】 【分析】（1）截长法：在上截取，构造等腰三角形，利用等边对等角和三角形外角性质，将用表示，再结合内角和求解； （2）补短法：延长至点使，构造等腰三角形，利用等边对等角和三角形内角和求解． 【小问1详解】 解：方法一（截长法）：如图①，在上取点，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：方法二（补短法）：如图②，延长至点，使，连接，则． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $