期末抢分卷（一）（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷A（人教版·新教材）

**基本信息** 融合古代数学文化（梅文鼎三斜求积术）与项目式学习（测量古树高度），覆盖二次根式、函数、几何图形等核心知识，梯度设计适配期末综合检测，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6题|最简二次根式、多边形、众数、勾股定理|情境应用（商店销量统计）、动态几何（点运动函数图像）| |填空|6题|函数自变量范围、一次函数、三角形中位线、古代数学文化|一题多解法（一次函数求解）、跨知识综合（分式方程与一次函数）| |解答题|11题|二次根式运算、菱形作图、梯形中位线、数据分析、几何证明|转化思想（二次根式平方式探索）、数据观念（射击成绩分析）、几何直观（平行四边形折叠证明）|

初中期末抢分卷（A）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 2. 从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 情境应用 3. 某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：）的衬衫，一个月内的销量如下表：你认为商家进货时最感兴趣的是这组数据的（ ） 领口大小/ 38 39 40 41 42 销量/件 64 199 180 110 47 A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 4. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的周长为40，对角线的长为12，是线段上一点，过点作，交于点，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 6. 如图1，在中，点P从点B出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则边的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 8. 已知是的一次函数，下表列出了，的部分对应值，则________________．（一题多解法） 0 1 2 1.5 3.5 9. 如图，，两地被建筑物阻隔，为测量，两地的距离，先在外选定一点，通过测量得到，的中点，，且，则，两点间的距离是______m． 10. 若关于的分式方程的解为整数，且一次函数的图象不经过第四象限，则符合题意的整数的个数为________． 古代数学文化 11. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 12. 在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是___________． 三、解答题 13. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）已知，求的值． 14. 已知关于的函数． （1）若是的正比例函数，求的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 15. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图中画出的中点； （2）在图中的对角线上取两个点，使． 16. 我们知道“连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线．如下图，在梯形中，，，分别是，的中点，那么就是梯形的中位线．通过观察、测量，猜想，和有怎样的位置和数量关系，并说明理由．（一题多解法） 17. 设一次函数，为常数，且，图象过，． （1）求该一次函数的表达式： （2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 四、解答题 转化思想 18. 【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 课标 项目式学习 19. 某中学组织八年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示． 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你分别用甲、乙两组的测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 20. 如下图，矩形纸片中，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处． （1）求的长． （2）过点作，垂足为，取的中点，连接，求的长． 五、解答题 数据观念 21. 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 六、解答题 几何直观 23. 已知，如图1，的对角线，相交于点O，直线过点O，分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）将沿直线折叠，如图2，点A落在点处，点B落在点处，设交于点G，分别交，于点H，M． ①求证：； ②如图3，连接，求证：． 初中期末抢分卷（A）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含分母，故B不符合题意； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意； D、被开方数是小数，故D不符合题意； 故选：A． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 情境应用 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的实际应用，商家进货时最关注的是哪种领口尺寸销量最大，以便合理分配进货量，众数代表数据中出现次数最多的值，即销量最高的领口大小，因此商家最感兴趣的是众数． 【详解】解：根据表格数据，销量最高的是领口的衬衫（199件），对应众数，平均数反映整体水平，中位数代表中间值，方差衡量波动，均不直接反映最畅销的尺寸， 因此，商家最关注众数， 故选：D． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．连接，交于O，利用菱形的性质和勾股定理得到，，，再利用平行线间的距离处处相等得到是菱形边上的高，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，交于O， ∵菱形的周长为40，对角线的长为12， ∴，，，，， 在中，，则， ∵，， ∴是菱形边上的高， ∴由得， 解得． 故选：A． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2信息可知，当点与点重合时，；当时，的值最小，，可求出的值，即点到线段的高；当点与点重合时，；再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据图2信息可知，当点与点重合时，；当时，的值最小，如图所示，， ∴在中，； 当点与点重合时，知， ∴， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根据函数图象与几何图形变换的综合，理解函数图象信息，掌握动点与几何变换线段的关系，点到直线垂线最短等知识的综合运用是解题的关键． 二、填空题 【7题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出；也可以利用比例关系直接列方程求出． 【详解】解：设一次函数的解析式为． 将，代入， 得 解得 一次函数的解析式为． 当时，， ． 一题多解法 由表得, 解得． 经检验，是原分式方程的解． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理，计算即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线 ∵， ∴， 故答案为：． 【10题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意求得满足条件的的值，从而可以得到满足条件的所有整数 的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴解得． 解分式方程，得． ∵分式方程的解为整数，且， ∴整数， ∴符合题意的整数的个数为3． 古代数学文化 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当矩形的长在上时，②当矩形的宽在上时，③当矩形的宽在上时，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】∵直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点， 当时，，当时，,， 则，，， ∴ 设矩形的宽为，则矩形的长为, ①当矩形的长在上时，如图所示， ∴，又， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：； ②当矩形的宽在上时， 同理可得， 则， 解得：； ③当矩形的宽在上时，如图所示， 依题意，，又， ∴， 解得：， ④当矩形的长在上时，同③的情形一样，可得， 综上所述，矩形的宽的长度是或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则运算； （2）根据二次根式有意义的条件可得且，解得，计算出的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：根据题意得且， 解得， ∴， ∴原式． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数、一次函数的定义等知识点，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解： 关于的函数是的正比例函数， ，解得． 【小问2详解】 解：当时，该函数的表达式为， 令，得，解得：， 当时，函数图象与轴的交点坐标为． 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和无刻度的直尺按要求画图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接交于点，然后连接，延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，然后连接，延长交于点，连接交于点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 【16题答案】 【答案】，，见解析 【解析】 【分析】连接并延长交的延长线于点，则，可以证得是的中位线，利用三角形的中位线定理即可证明． 【详解】解：，． 理由：如图①，连接并延长交的延长线于点． 由题意知，，． ，． 在和中， ， ，． 又，，， 即，． 一题多解法 理由：如图②，连接，取的中点． 在中，，分别是边，的中点， ，． 在中，，分别是边，的中点， ，． 又，， ，，三点在同一条直线上， ∴，． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）把点代入一次函数的解析式中，可得到，代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：把，分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 点在该一次函数图象上， ， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式． 四、解答题 转化思想 【18题答案】 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 课标 项目式学习 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键；若选择甲组，则由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；若选择乙组，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若选择乙组，则有： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【20题答案】 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，四边形是矩形，，，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，，由折叠的性质可知，垂直平分线段，则，，三点共线，由勾股定理求出，再利用三角形的中位线即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，．由折叠的性质可知，垂直平分线段， ∴． 又∵， ∴，，三点共线， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点，， ∴． 五、解答题 数据观念 【21题答案】 【答案】（1）9；；；；（2）；9；10；；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【22题答案】 【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； （2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【解析】 【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； 【小问2详解】 解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得：， ∴w与m的函数关系式为； ②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134， ∴当时，w最大，最大值， 则， 答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 六、解答题 几何直观 【23题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析，②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）①延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； ②过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：①由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $