专练1 巧用勾股定理解决问题（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末抢分卷A（人教版·新教材）

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过模型专练构建“问题情境—平面转化—定理应用”的解题体系，强化空间观念与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最短路径模型|1-3题|立体图形平面展开+勾股定理求对角线|从正方体、长方体到台阶，逐步提升空间图形转化能力| |折叠问题模型|4-5题|轴对称性质+勾股定理列方程求解|结合矩形性质，通过折叠构建全等关系与直角三角形| |情境应用模型|6-7题|实际问题抽象为直角三角形模型|以云梯救援为背景，培养用数学语言表达现实世界的应用意识| |赵爽弦图模型|8-10题|面积关系+勾股定理综合应用|融合数学文化，通过一题多解发展推理能力与创新意识|

初中期末抢分小卷（A）·数学 抢分小卷（二） 专练1 巧用勾股定理解决问题 模型专练 1. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个侧面爬到点，则它爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________． 3. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？（盒子底面蚂蚁无法到达） 4. 如图，长方形纸片沿对角线折叠，点落在处，交于，设重叠部分为，给出以下四个结论：①是等腰三角形；②和一定是全等三角形；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后和一定相等．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，点F为长方形ABCD中BC边上一点，将长方形ABCD沿AF所在直线折叠，使得点B恰好落在CD边上的点E处．已知，则的面积为_______． 6. 情境应用 云梯消防车（如图①）设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图②，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车在点处将云梯伸长去救援点处的被困人员．已知点处的被困人员距离地面的高度为，云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点处去救援点处的被困人员．已知点处的被困人员距离地面的高度为，其中，消防车水平向演习楼房方向移动的距离（的长）为_______________． 7. 如下图，一架云梯斜靠在墙上，这时，云梯的长度比（云梯底端离墙的距离）的长度多，经测量． （1）判断与地面是否垂直，并说明理由． （2）若云梯的顶端沿墙下滑了到达点处，则云梯的底部是否也外移了？请说明理由． 8. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 144 9. 一题多解法 如图所示的是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，，，，分别是，，，的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为_______________． 10. 赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如下图，边长为4的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，连接并延长交于点．若，求的长． 初中期末抢分小卷（A）·数学 抢分小卷（二） 专练1 巧用勾股定理解决问题 模型专练 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故选：． 【2题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为9， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：15． 【3题答案】 【答案】它需要爬行的最短路程是 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．利用展开图的两种情况分析求解是解题关键． 【详解】解：当展开图如图1所示时， ，，， ，， . 当展开图如图2所示时， ，，， ，， . ， 所以它需要爬行的最短路程是. 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，，得出，由折叠的性质得出，，，，得到，继而得出是等腰三角形，①正确， 可证，可得到②③正确，无法得到和相等，进而判断④，即可得到答案． 【详解】解：长方形， ，，，， ， 由题可知， ，，，， ，，， ， 是等腰三角形， ①正确， 在和中， ， ②正确， 是等腰三角形，， 折叠后得到的图形是轴对称图形， ③正确， 折叠后，和不一定相等， ④错误， 综上正确的结论是：①②③， 故选：C ． 【5题答案】 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，利用勾股定理列方程求解是解题的关键． 根据长方形的性质及轴对称的性质可得cm，，根据勾股定理求得cm，设cm，则cm，cm，再根据勾股定理列方程，即可求得答案． 【详解】解：四边形是长方形， cm，cm，， cm， 将长方形沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上的点处， cm， (cm)， 设cm，则cm，cm.cm， 根据勾股定理， ， 解得cm，即cm， ， 故答案为： ． 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，在和中利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点． 根据题意，得，，，，， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即消防车水平向演习楼房方向移动的距离为． 【7题答案】 【答案】（1）地面．理由见解析 （2）云梯的底部也外移了．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形； （2）由勾股定理求出的长即可得出结论． 【小问1详解】 解：地面．理由如下： 在中，由题意可知，，，． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴地面． 【小问2详解】 解：云梯的底部也外移了．理由如下： 由题意可知，，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴云梯的底部也外移了． 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF2的长． 【详解】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE， ∵，， ∴小正方形的边长=13-5=8， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 【9题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意设，则，则根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案；也可以根据三角形中线的性质得到面积相等，即可得到，代入数据进行求解即可． 【详解】解：由题意可知．设，则． ∵的长为5，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴阴影部分的面积． 一题多解法 ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，． 又∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【10题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】过点作于点，设与交于点，利用已知条件和正方形的性质，全等三角形的性质得到，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，设与交于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∵边长为的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， 即，解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $