精品解析：重庆实验外国语学校2025-2026学年度下学期九年级数学作业

重庆实验外国语学校2025-2026学年度下期初三数学作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 生活中有许多对称的图形，下列四个图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B、C选项中的图片无法沿一条直线折叠，使直线两旁的部分互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图片能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分互相重合，故是轴对称图形，符合题意． 3. 下列问题中适合全面调查的是（ ） A. 了解重庆市居民的月平均收入 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 了解初三年级5班学生的视力情况 D. 检测某水域的水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】全面调查适用于调查范围小，调查对象数量少，不具有破坏性的调查，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、重庆市居民数量多，范围大，不适合全面调查， B、检测灯使用寿命具有破坏性，不适合全面调查， C、初三年级5班学生数量少，范围小，适合全面调查， D、某水域范围大，无法进行全面调查，适合抽样调查． 4. 祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法形式为，要求，n为整数，只需根据定义确定a和n的值即可． 【详解】解：∵该差值为 ， 根据科学记数法对的要求， 得 ， 将原数小数点向右移动7位得到，原数绝对值小于1，故， ∴． 5. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，过点作轴于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得出，再利用反比例函数的几何意义求出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可得， 是等腰三角形， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 8. 如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（ ） A. 43 B. 57 C. 64 D. 73 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出规律图的棋子颗数为，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由图形可得： 图1有颗棋子， 图2有颗棋子， 图3有颗棋子， 图4有颗棋子， …， ∴图的棋子颗数为， ∴图8的棋子颗数为． 9. 如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，作交延长线于点，连接，证明点都在以为直径的半圆上，利用圆周角定理求得，，利用等边对等角求得，求得，，结合，推出，得到，则． 【详解】解：连接，作交延长线于点，连接， ∵正方形，∴，，， ∵， ∴， ∴点都在以为直径的半圆上， ∴，， ∴，， ∵将边顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，，，…，均为整数．若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有5个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有整式中三次三项式有12个； ④在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等式分的奇偶性得到与系数的关系，再逐一验证四个说法的正确性即可． 【详解】解：当为奇数时，， ∵， ∴， ∵为自然数， ∴， 当为偶数时，， ∵， ∴， ∵为自然数， ∴， 综上，， 当时，，， ∴，此时， 当时，，， ∴， ∵为正整数，，，…，均为整数， ∴ 当时，，， ∴， ∵为正整数，，，…，均为整数， ∴ 当时，，， ∴， ∵为正整数，，，…，均为整数， ∴ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 当时，，， ∴， ∵为正整数，，，…，均为整数， ∴，，此时； ①满足条件的所有整式中单项式有，，，，，共个，故①正确； ②当时，满足条件的所有整式的和为，故②错误； ③满足条件的所有整式中三次三项式有、、、、、、、、、、、，共12个，故③正确； ④将、、求和可得， 故在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 某饮料厂搞促销活动，在一箱饮料（24瓶）中有4瓶的盖内印有“奖”字，小兵的妈妈买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，那么他拿的这瓶的中奖概率是_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得，剩余饮料总数量为（瓶），且剩余中奖饮料数量仍为瓶， ∴小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，他拿的这瓶的中奖概率是． 12. 如图，，AE平分交CD于点E，若，则为_________． 【答案】114°##114度 【解析】 【分析】根据平行线性质求出的度数，根据角平分线求出的度数，根据平行线性质求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：114°． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，解题的关键是掌握：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 13. 若为正整数，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到正整数的值． 【详解】解： ， ， ， ∴， 为正整数，且， ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉第一个绝对值，再分和两种情况讨论，解方程组得到，的值，再计算． 【详解】解：由移项得， 绝对值为非负数， ，即， ， ∴， 将代入，得， 整理得， ①当时，即，得， 此时，代入得， 把代入得，即，矛盾，方程组无解； ②当时，即，得，结合得， 此时，代入得：， 整理得， 把代入得， 解得，即，则，满足和， ∴． 15. 如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，于点，连接交于点，交于点，若，，，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由垂径定理可得，，即，，连接，设，则，由勾股定理得出，，，作于点，则，解直角三角形得出，，设，则，求出，，再解直角三角形得出，从而得出，，求出，得到，再证明，设，，则，，由相似三角形的性质得出，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵是的直径，于点，， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， 连接， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 代入可得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 16. 我们规定：一个各数位均不相等且不为零的四位数，若满足，且（为整数），则称这个四位数为“胜利数”．例如：四位数，因为，且，所以是“胜利数”．按照这个规定，最小的“胜利数”是______；一个“胜利数”，其前三位数字组成的三位数，后三位数字组成的三位数，记，若除以余数为，且为整数，则满足条件的的最大值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要使最小，则优先最小，即，设，则，再结合计算即可得出最小的“胜利数”，表示出，再结合除以余数为，即可确定，再由为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，且数字互不相等， 要使最小，则优先最小，即， 设，则， ∵， ∴， 将代入得， ∴是完全平方数， ∵， ∴是完全平方数， ∴， ∵要使最小， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵各个数字互不相等，且要使最小，， ∴，， ∴最小的“胜利数”是； 由题意可得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵除以余数为， ∴除以的余数为， ∵， ∴， ∴， ∴或或， 当时，此时，不是整数，故不符合题意； 当时，此时，不是整数，故不符合题意； 当时，此时，是整数，故符合题意； 由题意可得，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或或， 当时，此时无满足题意的整数解，故不符合题意； 当时，解得或或，此时不满足，故不符合题意； 当时，此时无满足题意的整数解，故不符合题意； 当时，解得或或或， 当时，，此时为，且，符合题意； 当时，，此时为，且，不是完全平方数，故不符合题意； 当时，，此时为，且，不是完全平方数，故不符合题意； 当时，，此时为，且，符合题意； 当时，此时无满足题意的整数解，故不符合题意； 当，解得或或， 当时，，此时为，且，不是完全平方数，故不符合题意； 当时，，此时为，且，符合题意； 当时，，此时为，且，符合题意； 当，此时无满足题意的整数解，故不符合题意； ∵， ∴满足条件的的最大值是． 三、解答题：（本大题9个小题，每小题8分，每小题10分，共86分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得：__________________． 解不等式②，得：__________________． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为__________________． 【答案】，，， 【解析】 【详解】略． 18. 如图，在四边形中，，点在对角线上． （1）尺规作图：在边上截取，连接、，在上方作交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证四边形是平行四边形． 证明：∵， ①_________， 在与中 ， ， ，， ， 即③_________， 又④_________， 四边形是平行四边形． 【答案】（1）根据题意画出图形如下： （2），，， 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，线段长为半径画弧交于点，连接、，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，相同的半径画弧交于点，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接并延长交于点，连接； （2）由平行线的性质可得，再证明得出，，从而得出，进而得出，再结合平行四边形的判定定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， ①， 在与中 ， ， ，， ， 即③， 又④， 四边形是平行四边形． 19. 5月25日是全国心理健康日（谐音“我爱我”），某校开展了心理健康知识测评活动，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的测评得分（得分越高表明该学生目前心理健康状况越好，分数为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（单位：分，所有分数均不低于70，用表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级15名学生的测评得分：73，74，80，80，81，83，84，85，88，88，88，91，92，93，95 八年级15名学生的测评得分在C组中的数据：86，86，87，88，88，89，89，89 七、八年级所抽取学生测评得分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 85 众数 89 八年级所抽学生测评得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的心理健康状况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有学生450人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次心理测评活动得分不低于85分的学生人数共有多少？ 【答案】（1）87，88，48 （2）八年级学生的心理健康状况较好；理由是： 从中位数的角度看，八年级成绩的中位数87分大于七年级成绩的中位数85分； 或从众数的角度八年级成绩的众数89分大于七年级成绩的众数88分； （3）640人 【解析】 【分析】（1）先确定八年级学生在A组的人数，进而可求出B、D两组的总人数，即可求出m，再根据中位数和众数的定义求出a、b； （2）在平均数相同的情况下，从中位数或众数的角度分析； （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：八年级学生在A组的人数为， 则八年级学生在B、D两组的人数共有（人）， 又因为B、D两组在扇形统计图中的圆心角相等， 所以B、D两组各有2人， ∴； ∵， ∴八年级测评得分的中位数在C组，且为87，即； 七年级学生的测评得分中，88出现的次数最多，为3次， ∴七年级得分的众数是88，即； 【小问2详解】 解：八年级学生的心理健康状况较好；理由略； 【小问3详解】 解：七年级抽取的15人中成绩不低于85分的有8人，八年级抽取的15人中成绩不低于85分的有10人， ， 答：估计该校七、八年级参加此次心理测评活动得分不低于85分的学生人数共有640人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则进行化简，再根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ， 原式． 21. 列方程解应用题：随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含5个折叠水杯和12个一次性餐盒．该工厂有28名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作15个折叠水杯或20个一次性餐盒． （1）若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？ （2）露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少0.6元，每个套装的包装成本为0.6元，求每套露营套装的成本价格． 【答案】（1）应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒 （2）每套露营套装的成本为24元 【解析】 【分析】（1）设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒，根据“该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装”列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元，根据“用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等”列出分式方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒， 由题意可得， 解得， 则（人）， ∴应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒； 【小问2详解】 解：设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， （元）， 故每套露营套装的成本为24元． 22. 如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿方向运动，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、同时出发，当点到达点时，点、均停止运动，过点作交于点，垂足为点，连接，设动点的运动时间为秒，点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）函数图象如图： 函数的一条性质为：函数的图象关于直线对称（答案不唯一） （3）当时，的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）求得，，，，根据三角形的面积公式即可求得；分两种情况讨论可求得； （2）列表、描点，连线即可画出函数图象； （3）结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，； 当时，； 综上，； 【小问2详解】 解：列表： 0 2 4 6 8 5 0 5 0 4.5 6 4.5 0 画图略； 函数的一条性质为：函数的图象关于直线对称（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：观察图象得，当时，的取值范围为或． 23. 如图，在某海域有，，，四个小岛，在的正东方向，在的北偏东方向，在正北方向，在的北偏西方向距离海里处，且在的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两岛之间的距离．（结果保留根号） （2）渔船甲从处出发沿着方向航行且行至处停止，渔船乙从处出发沿着方向航行，甲、乙两船同时出发且速度之比为，在两船行驶过程中，当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处多少海里？（结果保留一位小数） 【答案】（1），两岛之间的距离为海里． （2）当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于，根据方向角的定义，利用三角函数求出，，利用线段的和差关系即可求出； （2）过点作于，得出四边形是正方形，，利用三角函数求出，，根据平行线的性质得出，得出当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上，再根据速度比得出路程比为，设，则，，过点作于，利用三角函数求出，，即可得出，利用勾股定理列方程求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于， 由题意可知，，，，海里， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：，两岛之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴（海里）， 由题意得，， ∴，， ∴（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上， 分别用点、表示甲船、乙船， ∵甲、乙两船同时出发且速度之比为， ∴两船的路程之比为， ∴设，则，， 过点作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，（舍去）， 当时，（海里），即（海里）， ∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线与轴交于点，． （1）求抛物线解析式； （2）已知点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）解：点的坐标为或，求解过程如下： 如图，将射线上的点沿射线方向平移个单位长度得到点，过点作轴，过点作于点， 则，， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，可以看作是将抛物线先向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，即， ∵平移后，点是点的对应点， ∴，即， ∴是一个钝角；且轴，， 如图，过点作，交延长线于点，过点作轴于点， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∴， 由题意，设点的坐标为， ∴，， 在中，，即， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，则此时点的坐标为； 当时，，则此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，再延长，交轴于点，过点作轴于点，连接，分别求出，利用二次函数的性质求最小值，进而可得点的坐标，然后求出，利用两点之间线段最短、垂线段最短求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式和点的坐标，进而可得是一个钝角，再根据正切的定义建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线的解析式得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入函数得：， ∴， ∵， ∴直线与轴交于点，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 如图，延长，交轴于点，过点作轴于点，连接， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴， 在中，， ∴，， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 在中，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题综合性较强，涉及到胡不归模型、二次函数图象的平移问题． 25. 在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），，之间的数量关系为， 证明：延长、交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再结合三角形内角和定理可得，由求出，最后再由平角的定义计算即可得出结果； （2）延长、交于点，过点作交于点，导角得出，由等腰对等角并结合题意得出，证明，得出，即为的中点，由直角三角形的性质求出，再证明，得出，，，最后再证明，得出，即可得证； （3）求出，，，由旋转的性质可得，，从而可得点在直线上运动，且，由折叠的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，，，作交的延长线于，则，，，由勾股定理可得，连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，连接，作于点，则，证明，求出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，之间的数量关系为， 证明略； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵点为直线上一动点，且， ∴当点在的中点时，如图中的，由（2）可得此时点在的延长线上，且，作直线， ∴垂直平分， ∴，， 当点与点重合时，如图中的点，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为的中点， ∴点在直线上，即点在直线上运动，且， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得到， ∴，， ∵点为直线上一动点， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得，，， ∵， ∴， ∴，， 作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 连接，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；相似三角形的对应边成比例；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2025-2026学年度下期初三数学作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 生活中有许多对称的图形，下列四个图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列问题中适合全面调查的是（ ） A. 了解重庆市居民的月平均收入 B. 检测一批灯的使用寿命 C. 了解初三年级5班学生的视力情况 D. 检测某水域的水质情况 4. 祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接．将线段绕点A逆时针旋转，当点O的对应点落在x轴上时，的面积是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 12 6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（ ） A. 43 B. 57 C. 64 D. 73 9. 如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，，，…，均为整数．若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有5个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有整式中三次三项式有12个； ④在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 某饮料厂搞促销活动，在一箱饮料（24瓶）中有4瓶的盖内印有“奖”字，小兵的妈妈买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，那么他拿的这瓶的中奖概率是_______． 12. 如图，，AE平分交CD于点E，若，则为_________． 13. 若为正整数，且满足，则_______． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，于点，连接交于点，交于点，若，，，则的长度为_____． 16. 我们规定：一个各数位均不相等且不为零的四位数，若满足，且（为整数），则称这个四位数为“胜利数”．例如：四位数，因为，且，所以是“胜利数”．按照这个规定，最小的“胜利数”是______；一个“胜利数”，其前三位数字组成的三位数，后三位数字组成的三位数，记，若除以余数为，且为整数，则满足条件的的最大值是_______． 三、解答题：（本大题9个小题，每小题8分，每小题10分，共86分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得：__________________． 解不等式②，得：__________________． 在同一数轴上表示不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为__________________． 18. 如图，在四边形中，，点在对角线上． （1）尺规作图：在边上截取，连接、，在上方作交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证四边形是平行四边形． 证明：∵， ①_________， 在与中 ， ， ，， ， 即③_________， 又④_________， 四边形是平行四边形． 19. 5月25日是全国心理健康日（谐音“我爱我”），某校开展了心理健康知识测评活动，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的测评得分（得分越高表明该学生目前心理健康状况越好，分数为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（单位：分，所有分数均不低于70，用表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级15名学生的测评得分：73，74，80，80，81，83，84，85，88，88，88，91，92，93，95 八年级15名学生的测评得分在C组中的数据：86，86，87，88，88，89，89，89 七、八年级所抽取学生测评得分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 85 众数 89 八年级所抽学生测评得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的心理健康状况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有学生450人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次心理测评活动得分不低于85分的学生人数共有多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解应用题：随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含5个折叠水杯和12个一次性餐盒．该工厂有28名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作15个折叠水杯或20个一次性餐盒． （1）若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？ （2）露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少0.6元，每个套装的包装成本为0.6元，求每套露营套装的成本价格． 22. 如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿方向运动，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、同时出发，当点到达点时，点、均停止运动，过点作交于点，垂足为点，连接，设动点的运动时间为秒，点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，在某海域有，，，四个小岛，在的正东方向，在的北偏东方向，在正北方向，在的北偏西方向距离海里处，且在的西北方向．（参考数据：，） （1）求，两岛之间的距离．（结果保留根号） （2）渔船甲从处出发沿着方向航行且行至处停止，渔船乙从处出发沿着方向航行，甲、乙两船同时出发且速度之比为，在两船行驶过程中，当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处多少海里？（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线与轴交于点，． （1）求抛物线解析式； （2）已知点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $