精品解析：2026年重庆西南大学附属中学九年级中考考前测试数学试卷

数学定时练习 2026年6月 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下面四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某条河流水质污染情况 B. 调查某市居民的消费水平 C. 调查一批手机电池的耐用性 D. 调查全班同学的视力情况 4. 如图，点，，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，于点，连接并延长交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，为整数，若，． ①所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②若，则满足条件的有4个； ③若均不为0，关于的二次方程无解，则满足条件的有3个； ④若均不为0，则满足条件的有24个． 其中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，则摸出红球的概率是__________． 12. 如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是__________． 13. 若为正整数，且满足，则________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为__________． 15. 如图，为圆的直径，弦交于点，以，为边作平行四边形，连接交圆于点，连接，，若，，则的长为__________；长为__________． 16. 我们规定：一个各数位数字均不相同的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“九九数”．例如：四位数2745，因为，所以2745是“九九数”．按照这个规定，最小的“九九数”是__________；一个“九九数”，将其前面两位与后面两位整体调换位置，得到一个新的四位数，记，．若与均是整数，则满足条件的值的和是__________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得：__________________； 解不等式②得：__________________． 将不等式①、②的解集在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为：__________________． 18. 在学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了矩形的一种作图方法，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规完成以下作图，过点作的垂线交于点，在的右侧作交射线的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形 ， ① ． ， 在和中， ， ， ③ ，， ， ∴四边形是平行四边形 ， ， ∴平行四边形是矩形 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了“人工智能素养”知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，87，88，84，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，67，69，72，75，75，77，79，82，84，84，84，89，92，92，92，92，96，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 众数 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________；__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“人工智能素养”知识竞赛的成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某科技公司专注于推理芯片的研发与生产，同时为智慧城市提供图像识别数据标注服务． （1）生产一款推理芯片需要两种核心部件：计算单元和存储模块．每枚芯片需要1个计算单元和4个存储模块．现安排30名工人生产核心部件，每人每天可生产8个计算单元或16个存储模块．请问应如何分配工人，才能使每天生产的计算单元与存储模块恰好配套? （2）该公司承接了一项图像识别数据标注任务：计划使用自动标注系统标注10000张图片．第一阶段完成了2500张图片的标注后，对系统进行了升级．升级后，系统平均每分钟的标注速度是升级前的2倍，第二阶段用升级后的速度继续标注剩余图片．第一阶段标注图片所用时间比第二阶段所用时间的倍少10分钟，求系统升级后平均每分钟标注多少张图片? 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 如图，，是两个港口，，是两座小岛，A，B，C，D四点位于同一水平面．点在点的正东方向．点在点的正北方向2千米处，点在点的北偏西方向6千米处，且在点的北偏东方向．（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）某海上救援中心接到求救信号，救援快艇从港匀速出发，沿的航线前往岛执行任务；同时，遇险船只从岛出发，沿线段匀速驶向岛避风．已知救援快艇的速度是遇险船只速度的2倍，且救援快艇上的雷达只有在与遇险船只的距离不超过3千米时，才能准确锁定目标．遇险船只从岛出发后，航行多少千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只?（结果精确到千米） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交直线于点．点，为轴上的动点（点在点的上方），且，连接，．当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值． （3）如图2，在（2）中周长取得最大值的情况下，将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当时，请求出所有符合条件的点横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 25. 在中，，，E为上一点，连接． （1）如图1，若，，请用含x和y的式子，表示， （2）如图2，点F为的中点，点H为上一点，连接，分别交、于点G、点Q．点M为上一点且．若且，．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为直线上一动点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角，连接．点R、I分别为直线、上的动点且，直线与交于点J．当最小时，连接，若，当最大时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 2026年6月 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下面四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：把“中”字沿中间的竖所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，“中”字是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把“考”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，“考”字不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把“加”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，“加”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把“油”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，“油”字不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某条河流水质污染情况 B. 调查某市居民的消费水平 C. 调查一批手机电池的耐用性 D. 调查全班同学的视力情况 【答案】D 【解析】 【详解】解： A选项调查某条河流水质污染情况，范围大，工作量大，适合抽样调查，不符合题意； B选项调查某市居民消费水平，调查对象数量多，范围广，适合抽样调查，不符合题意； C选项调查一批手机电池的耐用性，测试过程具有破坏性，不适合全面调查，不符合题意； D选项调查全班同学的视力情况，调查对象数量少，范围小，易操作，适合全面调查，符合题意． 4. 如图，点，，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，……按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时，第⑨个图形中圆点的个数为． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 7. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的指数判断数的大小，指数越大对应的数越大，指数相同时比较系数即可得到结果 【详解】解：和展开后是9位数，和展开后是10位数， 和比前两个数大， 又， 最大 8. 某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按增长规律列出方程，求解后舍去不合理的负根即可． 【详解】解：设每个月的平均增长率为， ∵1月份营业额为200万元，经过两个月增长到3月份， ∴3月份营业额可表示为 ， 根据题意列方程得： 整理得 开平方得 ∵增长率为正数， ∴取正根 ，解得 即每个月的平均增长率为． 9. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，于点，连接并延长交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，过作于，于， 过作于，设正方形边长为，先证得，并求得的长，再证得，可根据相似性质列出线段关系，进而可求得的长，证得，求得的长，同理可得的长，最后根据勾股定理可求得的长，求比值即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，过作于，于， 过作于， 设正方形边长为， ， 是中点， ， ， ， ，． 由勾股定理得 ， ． ，，公共角， ， ， ， ． 又， ， ​， 代入，得​． ， ​，， ，  同理​， ． ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， 同理可得四边形是矩形， ， ，． 在中，由勾股定理： ， ． 10. 已知整式，其中，为正整数，，为整数，若，． ①所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②若，则满足条件的有4个； ③若均不为0，关于的二次方程无解，则满足条件的有3个； ④若均不为0，则满足条件的有24个． 其中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式的性质、一元二次方程根的判别式，分类枚举法，逐个验证四个结论的正确性即可． 【详解】解：① ∵，为正整数，为单项式，， ∴当时，，即，则，可取，共5个单项式， 当时，若为单项式，则必有，则，不满足，故不存在此类单项式，①正确； ② ，即，且，为正整数，则满足条件的组合有：，共5个，故②错误； ③由关于的二次方程无解，， 又∵均不为0，为正整数， ∴满足，且的组合有： ∴方程无解，即， ∴， 满足条件的组合只有共2个，故③错误； ④ ∵均不为0，为正整数， ∴时，满足，且的组合有： ，共14个； 时，满足，且的组合有：，共6个， 时，最小绝对值和为，共0个， ∴总共有个，故④错误； 综上，正确的结论只有1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，则摸出红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】若一个事件有种等可能的结果，事件包含其中种结果，则事件的概率，袋子中共有个球，所以摸出的球有种情况，其中红球有个，所以摸出红球的情况有种，用红球数量除以总球数即可得到摸出红球的概率． 【详解】解：袋中总球数为， 红球有个， 摸出红球的概率为. 12. 如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 13. 若为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小估算．估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 因此． 故答案为：5． 14. 若实数，同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可得，再根据绝对值的性质，分和两种情况讨论，消去绝对值符号后求解方程组，舍去不符合题意的解，得到，的值后代入计算即可. 【详解】解：由二次根式的性质得， ， 原方程组可化为： ， ①当时，， 将化为， 移项得， 将代入， 可得：， 整理得：， 若， 则原式化为，即，不成立，舍去； 若，则原式化为， 解得：，符合， 将代入， 可得：，符合， 此时； ②当时，， 将化为， 移项得：， 将代入， 可得：， 整理得：， 若，则原式化为， 解得：，不符合，舍去； 若，则原式化为，即，不成立，舍去； 故时无解； 综上，的值为. 15. 如图，为圆的直径，弦交于点，以，为边作平行四边形，连接交圆于点，连接，，若，，则的长为__________；长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而得到直径的长；然后根据平行四边形的性质和垂直关系证明是圆的切线，利用相似求出的长，进而得到的长；最后通过构造相似三角形，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接，，过点作交的延长线于点， 设的半径为， 为直径，于，， ， ， ， 在中，，  ， 解得， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ，  ，， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理可得， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ，， ， 在中，． 16. 我们规定：一个各数位数字均不相同的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“九九数”．例如：四位数2745，因为，所以2745是“九九数”．按照这个规定，最小的“九九数”是__________；一个“九九数”，将其前面两位与后面两位整体调换位置，得到一个新的四位数，记，．若与均是整数，则满足条件的值的和是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意得到，，然后根据得到，，即可得到最小的“九九数”； 首先根据得到，，然后表示出和，然后表示出，，代入得到，推出能被11整除，求出或或或或或或或，然后化简得到，然后分别代入求解判断即可． 【详解】解：∵要使“九九数”最小， ∴，， ∵， ∴，， ∴最小的“九九数”是； ∵一个“九九数”， ∴， ∴，， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ∵9和11互质，是整数， ∴能被11整除 ∵， ∴或或或或或或或， ∵ ∴当时，，是整数，符合题意 ∴此时， ∴； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意 ∴此时，， ∵各数位数字均不相同 ∴不符合题意； 当时，，是整数，符合题意 ∴此时，， ∴； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； ∴满足条件的有1836和5427， ∴， ∴满足条件的值的和是7263． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得：__________________； 解不等式②得：__________________． 将不等式①、②的解集在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为：__________________． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据题干的方法，先分别求出不等式①、②的解，取二者公共部分即是不等式组的解集． 【详解】略． 【点睛】注意：解集的端点要区分“实心”和“空心”． 18. 在学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了矩形的一种作图方法，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规完成以下作图，过点作的垂线交于点，在的右侧作交射线的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形 ， ① ． ， 在和中， ， ， ③ ，， ， ∴四边形是平行四边形 ， ， ∴平行四边形是矩形 【答案】（1） 垂线即为所作；即为所作 （2）①，，③ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识． （1）借助平行四边形的性质，根据过直线外一点作直线的垂线的方法作垂线即可；在射线的延长线上取即可； （2）根据题干给出的思路证明即可． 【小问1详解】 解：以点D为圆心，为半径画弧，交于点Z，分别以A、Z为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点X，连接交于点F；使用圆规在射线的延长线上取， 作图见答案． 证明，过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了“人工智能素养”知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，87，88，84，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，67，69，72，75，75，77，79，82，84，84，84，89，92，92，92，92，96，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 众数 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________；__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“人工智能素养”知识竞赛的成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），92， （2）八年级，七年级中位数为，小于八年级的中位数84，表明八年级至少有一半的学生的成绩是要高于七年级学生的成绩 （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出七年级B组学生的占比，再结合扇形图求出A的组的占比，根据各组占比，确定七年级学生成绩的中位数落在哪一个具体的组，再根据中位数概念求解中位数；根据众数的概念作答即可； （2）结合表格中，各个参数的特点进行比较即可； （3）先求出这个竞赛中，七、八年级学生竞赛成绩不低于90分的学生人数的占比，再估计总体即可作答． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，87，88，84，88，共计5个数， 从小到大依次排列为：83，84，87，88，88， 则其占比为：， ∴， 即D组的人数为：（人），C组的人数为：（人），A组的人数为：（人）， ∴七年级参赛人数是20人，将这20人的成绩从小到大依次排列，D组2人、C组7人、83，84，87，88，88，A组6人， ∴中位数刚好落在第10个数和第11个数上， ∴七年级学生成绩的中位数落在B组，即：， 根据众数概念，出现了4次，次数最多，即：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级中A组的学生人数为：（人），八年级此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是7人， 则这七、八年级学生中，此次竞赛成绩不低于90分的学生人数一共有：， 其占比为：， 该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是：（人） 答该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先进行因式分解，，再算，再算除法，再化简，所以原式，进一步化简即可得到最终化简结果． 【详解】原式 ． ， 把代入原，原式． 21. 某科技公司专注于推理芯片的研发与生产，同时为智慧城市提供图像识别数据标注服务． （1）生产一款推理芯片需要两种核心部件：计算单元和存储模块．每枚芯片需要1个计算单元和4个存储模块．现安排30名工人生产核心部件，每人每天可生产8个计算单元或16个存储模块．请问应如何分配工人，才能使每天生产的计算单元与存储模块恰好配套? （2）该公司承接了一项图像识别数据标注任务：计划使用自动标注系统标注10000张图片．第一阶段完成了2500张图片的标注后，对系统进行了升级．升级后，系统平均每分钟的标注速度是升级前的2倍，第二阶段用升级后的速度继续标注剩余图片．第一阶段标注图片所用时间比第二阶段所用时间的倍少10分钟，求系统升级后平均每分钟标注多少张图片? 【答案】（1） 应分配10名工人生产计算单元，20名工人生产存储模块 （2） 系统升级后平均每分钟标注100张图片 【解析】 【分析】（1）设生产计算单元的工人数为未知数，因为总人数已知，所以可表示出生产存储模块的工人数；根据每枚芯片需要1个计算单元和4个存储模块的配套关系，得到“存储模块总数计算单元总数”的等量关系，据此列一元一次方程求解． （2）设升级前平均每分钟标注图片数量为未知数，因为升级后速度是升级前的2倍，所以可表示出升级后的速度；根据“时间=总量÷速度”分别写出第一阶段和第二阶段的标注时间，再结合“第一阶段时间第二阶段时间”的等量关系列分式方程求解． 【小问1详解】 解：设分配名工人生产计算单元，则名工人生产存储模块． 根据题意，得 ， 解得， 则， 答：安排10名工人生产计算单元，20名工人生产存储模块． 【小问2详解】 解：设升级前平均每分钟标注张图片，则升级后平均每分钟标注张图片． 剩余待标注图片为张， 根据题意，得，化简得， 解得， 经检验是原方程的解， 所以， 答：系统升级后平均每分钟标注100张图片． 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1），（） （2）的最大值为4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据运动的特点有：，且，根据的面积为，的面积为，即可计算；当点P在线段上时，不含端点B，即，根据运动特点有：，的面积为；当点P在线段上时，不含端点D，即，根据运动特点有：的面积为，问题得解； （2）先计算出特殊点坐标，再根据数据描点，作图； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围，根据图象估值即可作答． 【小问1详解】 解：根据运动的特点有：，且， ∵在直角梯形中，，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴（）， 当点P在线段上时，不含端点B，即， 根据运动特点有：， ∴的面积为； 当点P在线段上时，不含端点D，即， 根据运动特点有：， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上：，（）； 【小问2详解】 对于， 当时，， 当时，， 当时，； 对于（）， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 根据上述的数据，描点画图即可，函数图象见答案 性质：函数的最大值为4； 【小问3详解】 不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围， 结合图象，的解集为：． 精确计算如下： 令， 即有：，或， 解得：（负值舍去），或者（，不符合区间范围舍去）， ∴． 23. 如图，，是两个港口，，是两座小岛，A，B，C，D四点位于同一水平面．点在点的正东方向．点在点的正北方向2千米处，点在点的北偏西方向6千米处，且在点的北偏东方向．（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）某海上救援中心接到求救信号，救援快艇从港匀速出发，沿的航线前往岛执行任务；同时，遇险船只从岛出发，沿线段匀速驶向岛避风．已知救援快艇的速度是遇险船只速度的2倍，且救援快艇上的雷达只有在与遇险船只的距离不超过3千米时，才能准确锁定目标．遇险船只从岛出发后，航行多少千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只?（结果精确到千米） 【答案】（1）（千米） （2）千米 【解析】 【分析】（1）延长、，二者交于点F，过点D作于点E，先证明，在中，求出、，再证明，问题得解； （2）当快艇处于点M、遇险船处在N点时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只，即，画出图形，过点M作于点G，在中，用表示出，，再在中利用勾股定理，列出关于的一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：延长、，二者交于点F，过点D作于点E，如图， 根据题意有：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（千米）， 答：求的长度为千米； 【小问2详解】 当快艇处于点M、遇险船处在N点时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只，即， 过点M作于点G，如图， 根据速度比可知：， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（千米），（，不符合题意舍去）， 答：遇险船只从岛出发后，航行千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交直线于点．点，为轴上的动点（点在点的上方），且，连接，．当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值． （3）如图2，在（2）中周长取得最大值的情况下，将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当时，请求出所有符合条件的点横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2）， （3）点G的坐标为：或者，求解方法如下： ∵， ∴顶点坐标为， ∵将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线， ∴抛物线上的点与抛物线的点关于对称， ∵抛物线的顶点，， ∴抛物线的顶点为，关于对称的对称点的坐标为：， ∴抛物线解析式为， 将代入，有：，解得：， ∴抛物线解析式为，即新函数的对称轴为：， ∵点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧）， ∴； ∵， ∴， 取点，点，连接，，过点K作于点Z，过点K作于点W,过点S作于点J，直线交y轴于点Y，交y轴于点V， ∵点，点，，， ∴，，即，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴同上方法可得：，， ∴， ∴在中，， ∴； 由（2）可知， 设直线的解析式为：，将，代入解析式, 得:，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，即， ∴； 当点G在直线下方时，如图，过点V作于点R， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：，或， ∵点G在直线下方， ∴点Y在直线下方， ∴， ∴此时， ∴， 同理利用待定系数法可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：，（舍去）， ∴， 此时点G的坐标为：； 当点G在直线上方时，如图，过点Y作于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理利用待定系数法可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：，（舍去）， ∴， 此时点G的坐标为：； 综上：点G的坐标为：或者． 【解析】 【分析】（1）先求出C点坐标，即根据，结合正切值求出，进而得出点B的坐标，再根据对称轴得出a、b的数量关系，再代入B的坐标，即可求解； （2）先证明是等腰直角三角形，延长，交于点X，过点F作于点H，再证明是等腰直角三角形；用表示出的周长，利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为：，且，表示出点的坐标，根据，即可用m、n表示出，则周长L可以表示出来，结合在抛物线上，利用二次函数求极值的方法，可确定出m的值，则可求出点P的坐标；取点I使得点I、点B关于y轴对称，过点I作轴，且使得，连接、、，点T在x轴上方，先证明是平行四边形，结合对称，可得，当T、M、P三点共线时，最小，最小为的长，问题即可作答； （3）先确定原二次函数的顶点坐标，根据将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，可知抛物线上的点与抛物线的点关于对称，则根据抛物线上点A、顶点的坐标可以求出新抛物线上与之对应的坐标，即可求出新抛物线的解析式；取点，点，连接，，过点K作于点Z，过点K作于点W,过点S作于点J，直线交y轴于点Y，交y轴于点V，利用正切值相等，先证明，即有；求出V点坐标；分类讨论，当点G在直线下方时，过点V作于点R，先证明，设，利用面积，再结合勾股定理可求出的值，此时可Y的坐标，则求出直线的解析式，将之于抛物线的解析式联立可求解；当点G在直线上方时，过点Y作于点R，，再证明，即可求出，进而得出Y的坐标，问题得解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， ∴， 代入，有：， 解得：，即， ∴； 【小问2详解】 令， 解得：，， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，延长，交于点X，过点F作于点H， ∵，轴, ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，， ∴，即， ∴周长为：， ∵，， ∴设直线的解析式为，即， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为：，且， 即， ∵轴, ∴， 令，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴周长L为：， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，取点I使得点I、点B关于y轴对称，过点I作轴，且使得，连接、、，点T在x轴上方， ∵，， ∴是平行四边形， ∴， ∵点I，点B关于y轴对称，， ∴，， ∴， ∴， 当T、M、P三点共线时，最小，最小为的长， ∵，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数的旋转，解直角三角形的计算，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，难题的难点在第三小问，如何将转化为是解答本题的关键． 25. 在中，，，E为上一点，连接． （1）如图1，若，，请用含x和y的式子，表示， （2）如图2，点F为的中点，点H为上一点，连接，分别交、于点G、点Q．点M为上一点且．若且，．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为直线上一动点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角，连接．点R、I分别为直线、上的动点且，直线与交于点J．当最小时，连接，若，当最大时，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接，过点F作交的延长线于点N， ∵，F为中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴， ∴， ∵，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点D、H、C、F四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质即可求得结果； （2）连接，过点F作交的延长线于点N，证明，，利用等腰直角三角形的性质并通过倒角即可证得结论； （3）先确定点Q和点J的运动轨迹，再利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义及勾股定理即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴， 如图，以为斜边在下方作等腰直角三角形，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴当点P在直线上运动时，点Q在直线上运动， 当时，取最小值， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点J在以为直径的圆上运动， 令中点为O，当点J，O，Q三点共线时，有最大值， 如图，过点J作于点S，过点Q作延长线于点T， ∴点B，D，C，E四点共圆，，， ∴点D，Q，E三点共线，是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，， ∴． 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