精品解析：2026年重庆市第一中学校九年级中考考前自测数学试题

2026年重庆一中初2026届初三下期第三次模拟测试 数学试题卷 2026.6 （考生注意：本试题共25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，改变的符号可得其相反数． 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义为：在平面内，沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称图形的定义，判断哪个图形沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A的，选项B的，选项C的，均找不到满足条件的直线，使图形对折后两侧完全重合． ∴ A、B、C都不是轴对称图形． ∵ 选项D的存在一条竖直中线，沿该直线对折后，直线两侧部分完全重合． ∴ D是轴对称图形． 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 检测一批灯泡的使用寿命 B. 调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C. 调查某校七（1）班学生的身高情况 D. 调查全国中学生课外阅读量 【答案】C 【解析】 【分析】普查适合调查范围小，人数少，调查无破坏性的情况，结合各选项的实际情况判断即可. 【详解】解：A选项，检测灯泡使用寿命具有破坏性，不适合普查； B选项，北京市七年级学生数量多，范围广，不适合普查； C选项，某校七(1)班学生人数少，范围小，适合普查； D选项，全国中学生数量多，范围广，不适合普查. 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 5. 估算的值应该在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】A 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据算术平方根的性质估算结果的范围，即可得到答案． 【详解】解：， 、 又， ， 即的值在到之间． 6. 如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角问题，掌握边形的外角和360°是解题的关键．直接运用360°除以45°，即可作答． 【详解】解：∵这个多边形是正多边形 ∴每个外角都相等 则， 则这个正多边形的边数是8 故选：A． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 8. 某公司今年月份的营业额为万元，按计划月份的营业额要达到万元，若该公司，月营业额的月均增长率相同，则该月均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为平均增长率问题，设月均增长率为，根据增长规律可得4月份营业额为万元，6月份营业额可表示为，由此列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到结果． 【详解】解：设该公司月均增长率为，根据题意列方程得 ， 解得，（，不合题意舍去） 即月均增长率为． 9. 如图，在正方形中，在对角线上，且，连接并延长交边于点，过作于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用相似三角形求出的长，进而求出的长；再利用相似三角形求出的长，得到的长；最后过作于，构造直角三角形全等求出的长，计算比值即可． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为， ， ，而， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∴， 过点作于点，过作于， 同理可得：，，而， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线。 ∴， ∴． 10. 已知整式：，其中，，，…，，为正整数，，同时规定：．下列说法： ①满足条件的所有整式中，使一元一次方程的解为的整式有个； ②满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是正数的整式共有个； ③当时，满足条件的所有整式的和为； ④满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的条件，按要求分类枚举所有符合条件的整式，逐一验证每个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：逐一判断各说法： ① 若是一元一次方程且解为，则，， 代入得． ∵ ，是正整数， ∴ ． 又，和都满足条件，共2个整式，故①正确． ② 二次三项式即，，所有系数为正整数，满足，，． ∵ ，对任意恒为判别式． 枚举所有符合系数条件的组合： 当系数和时： ，，符合； ，，可取，不符合； ，，符合，共2个符合． 当系数和时：，，符合； ，，符合； ，，符合，共3个符合． 总计个，故②正确． ③ 时，，四个正系数的最小和为， 因此： 系数和：只有符合条件； ：四个正整数和为，仅一个系数为其余为，所有符合差条件的组合为． 计算所有的和：系数和为，系数和为，系数和为，常数项和为，总和为，与说法不符，故③错误． ④ 统计所有满足条件的整式： ：共个（：个，：个）； ：共个（：个，：个）； ：共个（：个，：个）； ：共个（全，和为，符合条件）； ：个正整数的最小和为，无符合条件的整式． 总个数，故④正确． 综上，正确的说法共个． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 年我国某工程总投资约万元，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值． 将转变为符合科学记数法要求的形式，把的小数点向左移动位，得到，满足，此时小数点移动了位，因此． 【详解】解：． 12. 从、、、、中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：从1、2、3、4、5中随机抽取一个数，共有5种等可能的结果，其中偶数为2和4，共2种结果，因此抽到偶数的概率为． 13. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】先根据，求出的度数，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 14. 已知，同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质求出的所有可能值，再利用二次根式的非负性筛选出符合条件的值，再计算的值，最终求出的结果． 【详解】解：由可得，即或 ， ，且二次根式 ， ，即，  不符合要求，舍去，  将代入，得  ∴， ∴． 15. 如图，矩形与圆相切于点，相交于点、，点在圆上，连接与交于点，连接．若，，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线性质和矩形性质得出，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出；通过证明得出为中点，利用垂径定理和勾股定理求出的长，构造直角三角形利用勾股定理求出的长 【详解】解：连接并延长交于点 矩形与圆相切于点 四边形是矩形 ，， ， 四边形是矩形 ， ，、在圆上 为中点 在中，， ， 在和中 ，即为中点 连接，过点作于点 四边形是矩形，， 设圆半径为，则， 在中， 解得在中， 过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∴ ∵ ∴是的中点， ， ∴为中点，， ， 在中， 16. 我们规定：一个各个数位均不相同的四位数，满足，，则称为“双年数”．例如：，满足各个数位数字均不相同，且，，所以是一个“双年数”；，因为，所以不是一个“双年数”．请根据材料写出最小的“双年数”：________；若将的千位与个位交换，百位与十位交换，得到新数，记，．若能被整除，且多项式能被整除，则满足条件的的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问，要得到最小的“双年数”，需让高位数字尽可能小，结合“双年数”定义和数位的取值范围，逐个确定各数位数字即可．第二问，先将和用数位表示，代入化简，再根据整除条件，结合各数位的取值范围和数位不同的条件，求解得到符合条件的． 【详解】解：根据“双年数”定义，满足，，，，且互不相等． 要使最小，需千位最小： 当时，，不是个位数，舍去； 当时，，不是个位数，舍去； 当时，，符合要求． 为个位数，故，且，最小，此时，四个数字互不相同，因此最小的“双年数”为． 由题意得，， 结合，，代入化简： ， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，能被整除， ∴是的倍数， ∵，，为整数， ∴， ∴或， 当，则不能被整除，舍去， ∴， ∴或， 当时，则，，不符合题意舍去， 当时，则，，符合题意， ∴． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得：________ 解不等式②，得：________ 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：________． 【答案】，，， 【解析】 【详解】解：解不等式组： 解：解不等式①，得： 解不等式②，得： 将不等式组的解集在数轴上表示：略 ∴该不等式组的解集为：． 18. 学习了三角形的角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展研究，她发现了三角形角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流，现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造三角形的角平分线． 在的边的下方作，在射线上截取，连接交于点，线段即为的一条角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明她的猜想． 证明： ① ． 又 ② ， ③ ， 线段为的角平分线． 【答案】；①，②，③． 【解析】 【分析】根据作角等于已知角和作线段的方法作图即可完成构造三角形的角平分线．再根据等边对等角和平行线性质证明即可． 【详解】解：作图略； 证明： ①． 又②， ③， 线段为的角平分线． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解甲、乙两款投影仪的用户体验情况，小美随机调查了购买甲、乙两款投影仪的用户各20名，记录下他们的体验评分（体验评分满分为10分且为正整数，单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：A等级，B等级，C等级），下面给出了部分信息： 购买甲款投影仪的20名用户体验评分为： 2，2，3，3，4，4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，8，9，9，10，10 购买乙款投影仪的20名用户体验评分为A等级的所有数据为： 7，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10 抽取的购买两款投影仪的用户体验评分统计表 款别 平均数 众数 中位数 甲款 6.1 6.5 乙款 6.1 8 抽取的购买乙款投影仪的用户体验评分扇形图 （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款投影仪用户体验情况更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若购买甲款投影仪的用户有8000名，乙款投影仪的用户有5000名，估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有多少名？ 【答案】（1）7，，． （2）乙款投影仪用户体验更好．理由：虽然两款平均数相同（均为），但乙款中位数（7.5）高于甲款（），说明乙款中间水平用户评分更高；或乙款众数（8）高于甲款（7），表明乙款更受多数用户青睐． （3）C等级用户共2850名． 【解析】 【分析】（1）  (甲款众数)： 观察甲款评分数据，找出出现次数最多的那个数值即为众数． (乙款中位数)： 根据扇形图算出各等级人数，将20个数据从小到大排列，取第10和第11个数据的平均值． (B等级占比)： 用总人数减去A、C等级的人数得到B等级人数，再除以总人数转化为百分比． （2） 在平均数相同的情况下，对比两款的中位数或众数，数值更大的说明整体高分段用户更多，体验更好． （3）分别用甲、乙两款的总用户数乘以样本中C等级的占比（频率），最后将两部分结果相加． 【小问1详解】 解：甲款众数  ：在20个评分中，7出现5次，为最高频数，故  ． 乙款中位数  ：由扇形图知C等级占25%，C等级人数为人，A等级11人，则B等级人数为人． 故数据排序后，第10、11位是A等级的前两个数即7和8，故  ． 乙款B等级占比   ，故  ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲款样本中C等级（）有4人，估计8000名用户中C等级为  名． 乙款样本中，估计5000名用户中C等级为  名． 估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有 名． 答：估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有2850名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算整式的乘法运算，括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，进一步通分计算得到化简的结果，最后计算，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 某服装厂主要生产遮阳帽和恤两种产品，该厂共有台机器，每台机器每天可制作顶遮阳帽或件恤．开学前期，该厂接到幼儿园园服制作订单，每套园服由顶遮阳帽和件恤组成． （1）该服装厂应如何分配机器，能使每天生产的遮阳帽和恤恰好配套？ （2）今年月，该服装厂引进一台新机器，新机器每天生产遮阳帽的数量和每天生产恤的数量较每台旧机器每天生产的数量均有所增加，且这台新机器每天生产恤的增加量是每天生产遮阳帽增加量的倍．已知这台新机器生产顶遮阳帽比生产件恤多用了天，求这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量． 【答案】（1）安排9台机器生产遮阳帽，6台机器生产T恤 （2）顶 【解析】 【分析】（1）设服装厂应安排台机器生产遮阳帽，台机器生产T恤，结合每套园服由顶遮阳帽和件恤组成，再建立方程求解即可． （2）设新机器每天生产遮阳帽增加量为顶，则新机器每天生产T恤增加量为件，可得，进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：设服装厂应安排台机器生产遮阳帽，台机器生产T恤， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装厂应该安排9台机器生产遮阳帽，6台机器生产T恤． 【小问2详解】 解：设新机器每天生产遮阳帽增加量为顶，则新机器每天生产T恤增加量为件，则 ， 解得：， 经检验：符合题意， 答：这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量为顶． 22. 如图，在菱形中，连接，交于点，，，，为线段上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）；． （2）如图， 当时，随增大而减小．当时，随增大而增大．当时，随增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）求函数表达式：利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出长，结合线段和差关系表示出的长得到，再根据同高三角形面积比等于底边比推导出． （2）画图与写性质：在坐标系中描点连线画出一次函数线段和反比例函数曲线，观察图像走势直接得出函数的增减性或取值范围等性质． （3）求不等式解集：观察两个函数图像的交点位置，找出直线位于双曲线下方时对应的自变量的区间即可． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴，解得． 设，则，且（因不与端点重合）． ∴， ∴， ∵面积，面积， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：两个函数图像的交点坐标大约是，故时的取值范围为 23. 如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） （1）求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） （2）游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）米． （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决. （1）明四边形是平行四边形，可得米，过点C作，垂足为H，把分成两个直角三角形，再解三角形即可求出、，由即可求解； （2）游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，构造，利用勾股定理表示甲乙两人之间的距离，再根据题意列方程即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为H， ∵景点在观景中心的北偏东方向，休息站在景点的南偏西， ∴，，即， ∴， 由题意可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴米， 由景点在的东南方向米处，可得，米， ∴（米）， （米） ∴（米）， ∴米． 【小问2详解】 解：如图，游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，设甲离开观景中心距离为米时，即米，由题意可得米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴， ∵甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍，即， ∴ ∴， 解得：，（负数根不符合题意已经舍去）， 答：甲离开观景中心米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线交于点，过点作的垂线交于点，点为抛物线上一定点且横坐标为，过点作轴的平行线，在此平行线上有一动点，在轴上有一动点，当最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，平移后仍过点，且与轴的另一交点为点，在上有一动点，连接．设直线与直线形成的夹角为，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最小值为8． （3）所有符合条件的点N的坐标为和． 解：将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，平移后仍过点， 故点C与点B是对应点，，， 即抛物线沿向右平移4个单位，向上平移4个单位得到抛物线， ． 令，得，解得，所以或． 抛物线与x轴的交点为和． 情况一：与直线形成的夹角为时，， 如图： ∵过和直线解析式为， ∴设解析式为，代入点得，解得， 即直线解析式为， 联立抛物线和直线得，解得：，， 所以一个符合条件的点N是． 情况二：直线与直线形成的夹角为时，直线交于K，交轴于， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴过、的直线为， 联立抛物线y'和直线得，解得：，， 所以另一个符合条件的点N是． 综上所述，所有符合条件的点N的坐标为(0，28)和． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法代入已知点坐标解方程组即可求解， （2）根据，可得，将的最大值问题转化为的最大值，设点P的坐标为．用p表示出，即可得，由此可得当时，取得最大值．此时点P的坐标为．再利用将军饮马模型，作点P关于直线的对称点P'，的最小值问题转化为求从点出发，经过直线上的点E，再到轴上的点F的折线段的最小值．这个最小值等于点P'到y轴的垂线段长度． （3）分两种情况，情况一：直线与直线形成的夹角为时，，利用平行直线的一次项系数相等求出直线，再求与抛物线的交点；情况二：与直线形成的夹角为时，此时容易证明，由，由此求出直线与轴交点坐标，由此求出直线，进而求解抛物线的交点． 【小问1详解】 解：将和的坐标代入抛物线，得： ，解得：， 所以，该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由(1)得，抛物线解析式为． 当时，，所以点C的坐标为． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则M的坐标为． ∵P在直线下方， ∴．．， ∴， ∴当时，取最大值． 将代入的坐标，得． ∴点的坐标为． 作点关于直线的对称点．过点作轴，如图， 的坐标为，． 根据对称性，．所以． 所以，的最小值为8． 【小问3详解】 略 【点睛】第2小问的最值转化：识别“胡不归”模型特征，利用三角函数将加权线段和转化为单变量二次函数求极值；后续结合“将军饮马”对称模型求折线最短路径． 第3小问的角度存在性：处理动点形成的定角问题，核心规律是“构造相似”或“利用平行”，通过分类讨论（点在直线上下方）列出方程求解． 25. 等腰中，，为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）如图，点与点重合，点落在线段上，平分，，求的度数； （2）如图，，点，点分别为，的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图，点与点重合，点落在线段上，，，点，分别是线段，上两个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，在的右侧做等边，点为平面上一点，连接、，，当时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）结论：， 证明：如图，连接并延长到，使，连接、， ∵，， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形两底角相等结合三角形内角和等于列方程求解即可； （2）连接并延长到，使，构造中位线可得，再由垂直平分，可得，，再结合已知导角得出，进而证明，由此可得，利用全等三角形的性质可得，由此即可得出结论． （3）在  上构造辅助点  （使得  ），利用“一线三等角”模型构造全等三角形（  ）．得到  ，再结合已知证明，从而可得，在与成的定直线上， 的最小值就转化为了经典的几何模型：“定点到定直线的最短距离”，即 垂线段最短．，即当时，的值最小，再延长到，使，可得，进而将的最小值转化为，再结合两点之间线段最短即可求解． 【小问1详解】 解：设， 由旋转可知：，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，即， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取点，使，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在与成的定直线上，当时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 延长到，使， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当点T在上时，，此时取最小值，最小值为， 过点作，垂足为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故的最小值为． 【点睛】几何最值问题的本质是“动中取静”．本题的解题精髓在于“轨迹定位”：当题目中出现满足特定角度关系的动点时，首先要判断其轨迹是“直线”还是“圆弧”．本题通过全等变换，将复杂的旋转生成点转化为“定角对定线”的直线轨迹，进而利用“垂线段最短”将动态问题静态化．这种“构造全等以确定轨迹，利用轨迹求解最值”的方法，是解决动点几何压轴题的高级技巧． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2026届初三下期第三次模拟测试 数学试题卷 2026.6 （考生注意：本试题共25个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 检测一批灯泡的使用寿命 B. 调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C. 调查某校七（1）班学生的身高情况 D. 调查全国中学生课外阅读量 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的值应该在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 6. 如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司今年月份的营业额为万元，按计划月份的营业额要达到万元，若该公司，月营业额的月均增长率相同，则该月均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，在对角线上，且，连接并延长交边于点，过作于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，，，…，，为正整数，，同时规定：．下列说法： ①满足条件的所有整式中，使一元一次方程的解为的整式有个； ②满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是正数的整式共有个； ③当时，满足条件的所有整式的和为； ④满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 年我国某工程总投资约万元，将数据用科学记数法表示为________． 12. 从、、、、中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是________． 13. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______． 14. 已知，同时满足，，则的值为________． 15. 如图，矩形与圆相切于点，相交于点、，点在圆上，连接与交于点，连接．若，，，则________，________． 16. 我们规定：一个各个数位均不相同的四位数，满足，，则称为“双年数”．例如：，满足各个数位数字均不相同，且，，所以是一个“双年数”；，因为，所以不是一个“双年数”．请根据材料写出最小的“双年数”：________；若将的千位与个位交换，百位与十位交换，得到新数，记，．若能被整除，且多项式能被整除，则满足条件的的值是________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得：________ 解不等式②，得：________ 将不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：________． 18. 学习了三角形的角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展研究，她发现了三角形角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流，现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造三角形的角平分线． 在的边的下方作，在射线上截取，连接交于点，线段即为的一条角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明她的猜想． 证明： ① ． 又 ② ， ③ ， 线段为的角平分线． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解甲、乙两款投影仪的用户体验情况，小美随机调查了购买甲、乙两款投影仪的用户各20名，记录下他们的体验评分（体验评分满分为10分且为正整数，单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：A等级，B等级，C等级），下面给出了部分信息： 购买甲款投影仪的20名用户体验评分为： 2，2，3，3，4，4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，8，9，9，10，10 购买乙款投影仪的20名用户体验评分为A等级的所有数据为： 7，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10 抽取的购买两款投影仪的用户体验评分统计表 款别 平均数 众数 中位数 甲款 6.1 6.5 乙款 6.1 8 抽取的购买乙款投影仪的用户体验评分扇形图 （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款投影仪用户体验情况更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若购买甲款投影仪的用户有8000名，乙款投影仪的用户有5000名，估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某服装厂主要生产遮阳帽和恤两种产品，该厂共有台机器，每台机器每天可制作顶遮阳帽或件恤．开学前期，该厂接到幼儿园园服制作订单，每套园服由顶遮阳帽和件恤组成． （1）该服装厂应如何分配机器，能使每天生产的遮阳帽和恤恰好配套？ （2）今年月，该服装厂引进一台新机器，新机器每天生产遮阳帽的数量和每天生产恤的数量较每台旧机器每天生产的数量均有所增加，且这台新机器每天生产恤的增加量是每天生产遮阳帽增加量的倍．已知这台新机器生产顶遮阳帽比生产件恤多用了天，求这台新机器较每台旧机器每天生产遮阳帽的增加量． 22. 如图，在菱形中，连接，交于点，，，，为线段上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） （1）求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） （2）游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线交于点，过点作的垂线交于点，点为抛物线上一定点且横坐标为，过点作轴的平行线，在此平行线上有一动点，在轴上有一动点，当最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，平移后仍过点，且与轴的另一交点为点，在上有一动点，连接．设直线与直线形成的夹角为，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 等腰中，，为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）如图，点与点重合，点落在线段上，平分，，求的度数； （2）如图，，点，点分别为，的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图，点与点重合，点落在线段上，，，点，分别是线段，上两个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，在的右侧做等边，点为平面上一点，连接、，，当时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $