专题01 特殊平行四边形与最值（举一反三专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形动态问题，以6类几何最值方法为核心，构建“方法-题型-变式”三阶训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂线段最短|1例+3变式|利用垂线段最短求最值|菱形、矩形性质与点线距离结合| |三角形三边关系|1例+3变式|利用三角形三边关系求最值|正方形、直角三角形性质与中点模型结合| |两点之间线段最短|1例+3变式|利用两点之间线段最短求最值|菱形、矩形中动点路径转化| |将军饮马与造桥选址|1例+3变式|利用将军饮马与造桥选址求最值|正方形、矩形中对称与平移应用| |拼接|1例+3变式|利用拼接求最值|正方形、菱形中图形重组与路径优化| |胡不归|1例+3变式|利用胡不归求最值|菱形、矩形中含系数线段和的转化|

专题01 特殊平行四边形与最值（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用垂线段最短求最值】 1 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 2 【题型3 利用两点之间线段最短求最值】 3 【题型4 利用将军饮马与造桥选址求最值】 4 【题型5 利用拼接求最值】 5 【题型6 利用胡不归求最值】 6 【题型1 利用垂线段最短求最值】 【例1】如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为__________． 【变式1-1】（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在边长为4的菱形中，，点，分别为边，上的动点，且，点为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【变式1-3】如图，在矩形中，，，E为边上一动点，以BE为边构造等边（点F位于下方），连接．①当时， __________°；  ②点E在运动的过程中，的最小值为__________． 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 【例2】如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，连接，点是线段的中点，则的最大值是_______．    【变式2-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为______． 【变式2-2】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____． 【变式2-3】（2026·海南海口·一模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连接，，则________，线段长度的最大值为________． 【题型3 利用两点之间线段最短求最值】 【例3】（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【变式3-1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为_____． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于_________． 【题型4 利用将军饮马与造桥选址求最值】 【例4】（24-25八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，正方形的边长为，等边的顶点在正方形内，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为_____． 【变式4-1】在矩形中，，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4-2】如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是________． 【变式4-3】如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为_________． 【题型5 利用拼接求最值】 【例5】（24-25八年级下·重庆·期中）如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 【变式5-1】如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_______． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为______． 【变式5-3】如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接．则点在运动过程中，的最小值为______． 【题型6 利用胡不归求最值】 【例6】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 【变式6-1】如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【变式6-3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形与最值（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用垂线段最短求最值】 1 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 6 【题型3 利用两点之间线段最短求最值】 11 【题型4 利用将军饮马与造桥选址求最值】 16 【题型5 利用拼接求最值】 20 【题型6 利用胡不归求最值】 27 【题型1 利用垂线段最短求最值】 【例1】如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】取的中点N，连接，首先求出，然后证明出，得到，当时，有最小值，即此时有最小值，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点N，连接，    ∵点N是的中点，是的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是对角线上的一动点， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-1】（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在边长为4的菱形中，，点，分别为边，上的动点，且，点为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点O， 取、、的中点为M、N、H，利用三角形的中位线性质得到，，则M、H、N共线，，，进而点G在上运动，当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度，利用菱形的性质和勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴，，，， 取、、的中点为M、N、H，则，， ∴M、H、N共线，，， ∵，为线段的中点， ∴点G在上运动， 当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度， 在中，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 【变式1-3】如图，在矩形中，，，E为边上一动点，以BE为边构造等边（点F位于下方），连接．①当时， __________°；  ②点E在运动的过程中，的最小值为__________． 【答案】 【分析】①连接、相交于点，连接，，根据矩形的性质和勾股定理可求得、的长，从而可得是等边三角形，从而可证，可知，结合可得，再根据三角形外角性质和等腰三角形性质即可求得；②根据①可知，点在上运动，结合垂线段最短可知当时，有最小值，根据，，从而可得，即可解题． 【详解】解：如图，连接、相交于点，连接，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ①是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ②，点在上运动， 当时，有最小值， 此时，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，三角形外角性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 【例2】如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，连接，点是线段的中点，则的最大值是_______．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线的性质，勾股定理，两点之间线段最短；如图所示，取的中点，连接，，勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，    ∵在中，，，， ∴ ∴ ∵是的中点，是的中点， ∴ ∵ ∴的最大值为 故答案为：． 【变式2-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，以为边作等腰直角，且，由题意可证，可得，根据三角形的三边关系可求的最大值，即可得的最大值． 【详解】解：如图：以为边作等腰直角，且， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 若点A，点B，点F三点不共线时，； 若点A，点B，点F三点共线时，， ∴， ∴的最大值为9， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式2-2】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠l=∠2，利用“SAS"证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O，D，H三点共线时， DH的长度最小． 【详解】解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图： 在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， ∵O为AB的中点， ∴OH＝AOAB＝3， 在Rt△AOD中，OD＝3， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH＝33． 故答案为：33． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等知识，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 【变式2-3】（2026·海南海口·一模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连接，，则________，线段长度的最大值为________． 【答案】 90 【分析】证明，即可得出；取的中点，连接、，则，由，得出点在以为直径的圆上运动，求出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵点E是边的中点， ∴， 如图，取的中点，连接、，则， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的长度取得最大值，为． 【题型3 利用两点之间线段最短求最值】 【例3】（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 【变式3-1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为_____． 【答案】13 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、平行四边形判定及最短路径问题，解题关键是准确作对称点并转化线段，易错点是对称点的位置或勾股定理计算失误；解题思路是运用对称思想与勾股定理，通过作对称点将折线转化为直线，利用两点之间线段最短求周长最小值． 【详解】解：由、及矩形性质， 可证是平行四边形，因此周长； 作点关于的对称点，关于的对称点； 则，； 周长; 当 、 、 、 、共线时，最小， 因为、，利用勾股定理可得： 最短周长 故答案为：． 【题型4 利用将军饮马与造桥选址求最值】 【例4】（24-25八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，正方形的边长为，等边的顶点在正方形内，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，确定出最小是解答关键． 由于点与点关于对称，所以连接，与的交点即为点，此时最小，而是等边的边，根据已知条件即可求解． 【详解】解：设与于点，连接， 四边形是正方形， 点与点关于对称， ， （最小）． 正方形的边长为， 是等边三角形， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【变式4-1】在矩形中，，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，勾股定理， 过点E作直线，作点D关于直线l的对称点P，连接交直线l于点，连接交直线l于点H，连接，；利用三角形的面积求出，进而可得，根据两点之间线段最短可知的最小值为，问题得解． 【详解】过点E作直线，作点D关于直线l的对称点P，连接交直线l于点，连接交直线l于点H，连接，，如图， 根据对称性可知：，，，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵直线，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 当点E与点F重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为10， 故选：C． 【变式4-2】如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是________． 【答案】4 【分析】如图：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，由DP=PD'，推出PD+PF=PD'+PF，又EF=EA=1是定值，即可推出当E、F、P、D'共线时，PF+PD'定值最小，PF+PD的最小值为ED'-EF，最后代入求解即可． 【详解】解：如图：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，则DD'=2DC ∵在矩形ABCD中，2AB=BC=4 ∴CD=AB=2，AD=BC=4，DD'=4，∠ADC=90°， ∵AE=1 ∴DE=3 ∴ ∵PD+PF=PD'+PF， ∴EF=EA=1是定值， ∴当E、F、P、D’共线时，PF+PD'的值最小且最小值=5-1=4， ∴PF+PD的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活利用轴对称、根据两点之间线最短解决路径最短问题． 【变式4-3】如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，根据菱形， F为的中点，G为的中点，得到F与G关于对称，则，所以，此时最小，再证明四边形为平行四边形，得到，所以，所以最小，最小值等于，然后证明，得，从而得出，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图， ∵菱形， F为的中点，G为的中点， ∴F与G关于对称， ∴， 此时最小， 又∵E为的中点， ∴， ∵ ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴此时， 最小，最小值等于， ∵菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵G为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称的性质求最短距离问题，线段最短，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．根据题意，正确确定出点M、N的位置是解题的关键． 【题型5 利用拼接求最值】 【例5】（24-25八年级下·重庆·期中）如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，，证明和，推出和，由两点之间线段最短，知当共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】延长，使得，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为______． 【答案】 【分析】作，点关于的对称点，过点作的平行线，过点作的平行线，由矩形,，，得到，，，根据对称的性质得到，由，得到，由是平行四边形，得到，，进而得到，由，点到当点在点时，取得最小值，长即为所求，由，求出，由为梯形的中位线，求出，根据，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到． 【详解】解：过点作，垂足为，作点关于的对称点，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，连接与交于点， ∵矩形,，， ∴，，， ∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴当点在点时，取得最小值，长即为所求， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵为中点，， ∴为梯形的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接．则点在运动过程中，的最小值为______． 【答案】3 【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质．延长到，使，连接，，延长交于，先证为等边三角形，得，进而可得，则，据此可得到无论点在上如何运动，始终有，由此得，然后再根据三角形的中位线定理得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，据此求出的长，即可得出答案． 【详解】解：延长使，连接，，延长交于，如图所示： 已知四边形为菱形，，， 为等边三角形， ， 为对角线，为边上一动点，且交于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 无论点在上如何运动，始终有，即， ∵，即， ， 点为的中点， 由作图可知， 为的中位线， ， 当为最小时，为最小， 当时，即当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， ， 的最小值为6， 的最小值为3． 故答案为：3． 【题型6 利用胡不归求最值】 【例6】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°， ∴MH＝BM， ∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥4， ∴AM+BM≥4， ∴AM+BM的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键． 【变式6-1】如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【分析】在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°， ∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2， ∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH， ∴AE+EC≥3， ∴AE+EC的最小值为3， 故答案为3． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 【变式6-3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】对于（1），先连接，根据菱形的性质得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得出答案； 对于（2），作，结合（1）说明，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可求出，接下来，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（3），如图：连接，可得，进而得 ，可知当点A、、三点共线时,即时，取得最小值，求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图1：连接， 四边形是菱形， ． ， ， . 是的垂直平分线， ， ； （2）解：如图1：过点作于点， ， ， 即． ， ． ∵四边形是菱形，， ． ， ， ， ， 过点A作于点， 在中，， ∴ 根据勾股定理，得， ； （3）解：如图：连接， ， ， ， 当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值， 在中，由（2）得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $