第一章 特殊平行四边形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 【考点1】菱形的性质 【考点2】菱形得判定定理 【考点3】菱形的性质与判定综合运用 【考点4】菱形中最小问题 【考点5】矩形性质 【考点6】矩形的判定定理 【考点7】矩形的性质与判定综合 【考点8】直角三角形斜边上的中线 【考点9】矩形形中最小值问题 【考点10】矩形中折叠问题 【考点11】正方形的性质 【考点12】正方形的性质与判定综合运用 【考点13】正方形中最小值问题 【知识点1】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【知识点2】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【知识点3】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【知识点4】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【知识点5】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【知识点6】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【知识点7】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【知识点8】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 【考点1】菱形的性质 1．如图，、是菱形的对角线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 4．已知菱形的周长，一条对角线长为，那么这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为 ． 6．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ． 7．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 【考点2】菱形得判定定理 1．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【考点3】菱形的性质与判定综合运用 1．如图，在四边形中，，过点D作的平分线交于点E，连接交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 2．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3．如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 4．如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，过点O作交于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【考点4】菱形中最小问题 1．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是 ． 3．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ． 4．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   5．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 6．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【考点5】矩形性质 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，两条对角线、相交于点，若，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．10 D．13 4．如图，在矩形中，，点P在上，于E，于F，则（  ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【考点6】矩形的判定定理 1．如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【考点7】矩形的性质与判定综合 1．在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 2．在中，过点D作于点E，点F在上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 3．如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 4．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 5．如图，矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，，求的长． 【考点8】直角三角形斜边上的中线 1．如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 【考点9】矩形形中最小值问题 1．在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 2．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，过点作，垂足为点，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 4.如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【考点10】矩形中折叠问题 1．如图，点是长方形对角线交点，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕（   ） A． B． C． D．12 19．如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 3．如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为 ． 【考点11】正方形的性质 1．如图，在正方形中，，将边绕点B逆时针旋转至，连接，，若，则线段的长度为（　　） A． B．2 C． D．4 2．如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，垂足为F，，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 3．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 4．如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 5．如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ． 6．如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则 ． 7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 【考点12】正方形的性质与判定综合运用 1．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： (1)； (2)． 2．如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 3．如图，四边形是正方形，G是上的一点，于E，于F． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 5．【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【考点13】正方形中最小值问题 1．如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 2．如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 3．如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 4.如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 【考点1】菱形的性质 【考点2】菱形得判定定理 【考点3】菱形的性质与判定综合运用 【考点4】菱形中最小问题 【考点5】矩形性质 【考点6】矩形的判定定理 【考点7】矩形的性质与判定综合 【考点8】直角三角形斜边上的中线 【考点9】矩形形中最小值问题 【考点10】矩形中折叠问题 【考点11】正方形的性质 【考点12】正方形的性质与判定综合运用 【考点13】正方形中最小值问题 【知识点1】 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【知识点2】菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【知识点3】菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【知识点4】矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 【知识点5】直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【知识点6】矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【知识点7】正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【知识点8】正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 【考点1】菱形的性质 1．如图，、是菱形的对角线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．设、相交于点，根据菱形的性质得到是等腰三角形，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图，设、相交于点， ∵、是菱形的对角线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 故选：A 2．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴为直角三角形， ∵，且点E为线段的中点， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：D． 4．已知菱形的周长，一条对角线长为，那么这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 如图（见解析），先根据菱形的性质可得，，，，再利用勾股定理可得，然后菱形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，菱形的周长，一条对角线长为， ∴，，，， ∴， ∴菱形的面积是， 故选：B． 5．如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线互相垂直平分和勾股定理求出边长，求出菱形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴该四边形的周长为：． 故答案为：20． 6．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的性质，由是的中位线得，又四边形是菱形，则，从而求出周长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 7．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 【考点2】菱形得判定定理 1．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D符合题意； 而或或都不能得到四边形是菱形， 故选：D． 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，先证明四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 则当时，则四边形是菱形， 或或都不能证明四边形为菱形， 故选：C 3．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 【考点3】菱形的性质与判定综合运用 1．如图，在四边形中，，过点D作的平分线交于点E，连接交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，再由勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 2．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理的运用，即可． （1）根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，根据等量代换，等角对等边，则，根据平行四边形、菱形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，则，，，，根据勾股定理的运用，则，，即可． 【详解】（1）证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，，， ， 由勾股定理可知，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ． 4．如图，在平行四边形中，点O是对角线中点，过点O作交于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，．再根据平行四边形的性质推导出得到，进而利用菱形的判定可得结论； （2）先由已知得到，再利用菱形的性质和勾股定理得到，进而求得，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点O是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，, 在和中， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【考点4】菱形中最小问题 1．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等角对等边，垂线段最短等知识；掌握这些知识是解题的关键；连接；则，当最小时，最小；当时，最小；在中，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求得的最小值，从而可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接； ∵点F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； ∴当最小时，最小； 当时，最小，从而最小； ∵四边形是菱形，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴ 即的最小值为； 故选：B． 2.如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接、，根据菱形的性质，证是等边三角形，，连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，利用等边三角形的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接、， 四边形是菱形，，， ，，， 是等边三角形，， 连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长， 点E是边的中点， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为， 故答案为：． 3．如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识．连接，作于，利用证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ∵菱形的周长为，则， ∵，则 ∴ ， 的最小值为， 故答案为：． 4．菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的对角线互相垂直平分，则可得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到菱形的边长；取中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可求出的长，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接交于O， ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，即， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5； 如图所示，取中点E，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E和点M分别为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5；5． 5．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 【答案】/ 【分析】连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，根据折叠性质及三角形三边关系得出有最小值为，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求得，从而求得的最小值即可得答案． 【详解】解：连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，如图： ∵将沿所在直线翻折得到，点的对应点为， ∴， ∵， ∴在上的时，有最小值为， 四边形是菱形，是边的中点， ，，， ， ∴, ∴在中，， ∴， ， 在中， ， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，最短距离问题、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据三角形三边关系得出有最小值为，是解答此题的关键． 6．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．连接，过点作于，先证明△、△都是等边三角形，得到，，进而证明得到，进一步证明△是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， 四边形是菱形， ，，， △、△都是等边三角形， ，， ， 又， ， ，， ， 即， △是等边三角形， ， 当最小时，最小， 当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【考点5】矩形性质 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由矩形性质可得，，，则，所以，又，然后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．如图，在矩形中，两条对角线、相交于点，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，熟悉掌握矩形的性质是解题的关键． 利用矩形的性质判定出为等边三角形，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．10 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在矩形中，，点P在上，于E，于F，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键. 如图：连接，过D作于M，运用勾股定理可求得长，根据三角形的面积公式求出的值，根据代入数据求解即可． 【详解】解：如图：连接，过D作于M， ∵四边形是矩形，， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 故选：B． 5．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 【考点6】矩形的判定定理 1．如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； B、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； C、，则是菱形，故不符合题意； D、，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D． 2．在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】解：A、：对角线垂直的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． B、：无法直接推导出直角或对角线相等，无法判定为矩形，故此选项不符合题意． C、：邻边相等的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． D、：在平行四边形中，，．若，则，满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，故此选项符合题意． 故选D． 3．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是菱形，故选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴是矩形，故选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形，故选项不符合题意， D、∵四边形是平行四边形，， ∴还是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 【考点7】矩形的性质与判定综合 1．在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，熟练掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形的判定方法是本题解题的关键． （1）通过已知条件得到在中满足勾股定理逆定理，得到，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形从而证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求出矩形面积． （2）通过第一小问证出四边形是矩形，通过矩形的性质得到矩形的对角线相等即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 它的面积是． （2）由（1）可知平行四边形是矩形， ∴． 2．在中，过点D作于点E，点F在上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等角对等边． （1）由平行线的性质得到，，即，证明四边形是平行四边形，根据得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据得到，根据等角对等边得到，即，即可证明平分． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 3．如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 4．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理等知识， （1）先证四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）由勾股定理可求的长，可得的长，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 5．如图，矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）作交延长线于G，证明四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据中位线得到，进而求出，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，作交延长线于G， ∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【考点8】直角三角形斜边上的中线 1．如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由公路，互相垂直，则，又为的中点，则有，然后代入求值即可，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵公路，互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，两点间的距离为， 故选：． 2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ， 故答案为：12． 【考点9】矩形形中最小值问题 1．在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，值最小，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当的值最小时，值最小， ∵当为直角斜边上的高时，的值最小， ∴的最小值即为直角斜边上的高， 设直角斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，过点作，垂足为点，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键． 根据矩形的性质可求出，延长，使得，连接，，结合等腰三角形三线合一的性质易证明，即说明点Q在定直线上．再根据三角形中位线定理可知，即说明当最小时，有最小值．最后根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质，求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． 延长，使得，连接，，如图，    ∵，， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴， ∴点Q在定直线上． ∵的中点为E， ∴， ∴当最小时，有最小值． ∵当时，最小，此时， ∴的最小值为． 故答案为：1． 3．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点F在点B上方时，作等边，连接，可证明，得到，则点Q在直线上运动；设直线分别交直线于H、K，可得，，则，，则可求出；作点D关于直线的对称点G，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，得到，同理可得，即的最小值为；当点F在点B下方时，同理可得的最小值为． 【详解】解：如图所示，当点F在点B上方时，作等边，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴点O是定点， ∴点Q在直线上运动； 如图所示，设直线分别交直线于H、K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于直线的对称点G，连接，则， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴的最小值为； 如图所示，当点F在点B下方时，同理可得的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形推出点Q的轨迹是解题的关键． 4.如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线，勾股定理求出，，证明出是等边三角形，连接、，作于点，则，勾股定理求出，证明出，得到，然后利用求解即可． 【详解】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线， 四边形是矩形，，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， 连接、，作于点，则， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点10】矩形中折叠问题 1．如图，点是长方形对角线交点，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的轴对称性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理的应用等，解题的关键是在中利用勾股定理求得的长． 由折叠的对称性知，可得，再由O是矩形对角线的交点可知，且易证，可得，最后在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：根据题意知，沿折叠，与可以重合， ∴， ∴，则，． 又O为矩形的对角线的交点， ∴，又 ∴ ∴， ∴． 在中， ∴． 解得： 故选：C． 19．如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质，根据矩形及折叠性质得，在中，由勾股定理得，然后根据即可得出的长，在中，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】四边形是矩形， ， 设，则， 由折叠，得， 在中，， ， 在中，，即， 解得， 故选：D． 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 3．如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时，判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【考点11】正方形的性质 1．如图，在正方形中，，将边绕点B逆时针旋转至，连接，，若，则线段的长度为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ，即， ， ， （负值舍去）． 故选：D． 2．如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，垂足为F，，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出是解题的关键，也是本题的难点． 根据正方形的对角线平分一组对角可得，再根据求出的度数，根据三角形的内角和定理求，从而得到，再根据等角对等边的性质得到，然后求出正方形的对角线，再求出，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ． 故选：A． 3．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角的性质，三角形外角的性质，关键是掌握正方形的对角线平分一组对角． 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行列式求出． 【详解】解：， ， 是正方形的对角线， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，连接，连接交于，证明，求解，，可得，证明，，可得． 【详解】解：连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． 过D作交延长线于F，证明得到，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过D作交延长线于F，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明再根据三角形面积的不变性，得等式，勾股定理，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积应用，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形，， ，． 又， ． ． 在中，，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 【考点12】正方形的性质与判定综合运用 1．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要运用正方形的性质、全等三角形的判定定理（）以及全等三角形的性质来证明． （1）通过证明三角形全等得到对应边相等和对应角相等； （2）在（1）的基础上，利用角的关系证明垂直． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）设与交于点G， ∵， ． 又∵， ， ， ． 2．如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算． （1）先证明，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得出结论； （2）在中，根据已知得，则， ，由此可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴． 3．如图，四边形是正方形，G是上的一点，于E，于F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据等量代换即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）方法一：如图1，连接，证明；方法二：如图，连接，过点作，过点作，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于，连接，证明，则，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据勾股定理，即可得出结论；    （3）证明，则，，同理可得，根据，建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：方法一：如图1，连接， 四边形是正方形，是的中点， ，， ， 又， ， 在和中， ，            方法二：如图，连接，过点作，过点作， ， 四边形是正方形，是的中点， 平分，，   ， 四边形为正方形， ， 又， ， ，       （2） 如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，           是的中点， ， 又， ， 则，，              ， ， ， 即 （3）如图，延长交于，连接， 四边形是矩形， ，      ， 是的中点， ， 又， ， 则，，     ， ， ，    ， ， 解得. 5．【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取.连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题. 【详解】（1）.证明如下： 由旋转，可知：，，，. ∴点E、B、C共线， ∵， ∴. 在和中， ， ∴. ∴， ∵， ∴； （2）.证明如下： 在上取.连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， ∴点E、D、C共线， 由（1）同理可得， ∴， ∴. 【考点13】正方形中最小值问题 1．如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称，“两点之间，线段最短”，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，证明，得到，求出，则，得到的最小值为10，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴B，D关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故选A． 2．如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查线段最垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟知正方形的对称性与勾股定理的运用是解题的关键． 连接，由正方形的性质得垂直平分，连接交于P点，然后说明最小值为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，A点关于直线的对称点C，连接交于P点， ∴， ∴， ∴当C、P、D三点共线时，最小，最小为， ∵， ∴， ∵， ∴最小值为． 故选A． 3．如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点P作交于E，连接交于N，根据，在线段上截取，连接，然后证明出是等腰直角三角形，证明出四边形是平行四边形，得到的最小值为的长度，求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作交于E，连接交于N， ∵，， ∴， 在线段上截取 ，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4.如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．连接，证明，可得，从而得到．作点关于的对称G，连接，可得则， 由三角形三边关系可知，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵四边形是正方形， CD，， ， ． ， ． 如图所示，作点关于的对称点G，连接，则， 由三角形三边关系可知，即． 在中，， 的最小值为． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $