专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“逢解必带”为主线，系统整合8类解题方法，构建从定义应用到参数处理的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1-5|1例+3变式|定义法、整体法、消参法、降次法、换元法|从直接代入到整体代换，逐步提升代数式转化能力| |题型6-8|1例+3变式|与根无关、比较系数、设根消参|聚焦含参方程参数处理，强化参数推理与模型构建|

专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 逢解必带-定义法】 1 【题型2 逢解必带-整体法】 3 【题型3 逢解必带-消参法】 5 【题型4 逢解必带-降次法】 7 【题型5 逢解必带-换元法】 9 【题型6 含参定根-与根无关】 11 【题型7 含参定根-比较系数】 12 【题型8 公共根-设根消参】 13 【题型1 逢解必带-定义法】 【例1】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B． C．或3 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入方程，求出k的值，然后结合一元二次方程定义求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 ， ∵方程是一元二次方程， ∴ ， 解得 ∴ 故选 ：B． 【变式1-3】（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 【题型2 逢解必带-整体法】 【例2】（24-25九年级上·湖南衡阳·月考）已知：是方程的一个根，求代数式的值是_________． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 【变式2-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，代入所求代数式求解即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东·期中）已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代数进行计算，即可作答． 【详解】解：是方程的一个根， ， 即， ∴， 则 ． 故选：C． 【题型3 逢解必带-消参法】 【例3】已知条件 方程 的两个根分别是 2， -3，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，2， ， =a,c=-6a, ， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的一元二次方程的两根分别为，1，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合关于的一元二次方程的两根分别为，1得到，从而两式相除即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，1， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记关于的一元二次方程的两根分别为，则是解决问题的关键． 【变式3-2】已知关于 x 的一元二次方程 的两根为1, 2,若满足 1 +2 = 2，且 1 2= -3，求代数式 的值。 【答案】 【详解】 1 +2 = 2= b = -2a 1 2= -3 , c = -3a, 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为______． 【答案】或 【分析】设公共解为，根据一元二次方程根的定义得到，，，三式相加可得：或，分别代入所求式可解答． 【详解】解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， 因为， 所以或， 当时，， 原式 ； 当时，，， ， ， 原式 ， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键． 【题型4 逢解必带-降次法】 【例4】（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得，，利用方程根的性质，将和用和表示，代入代数式化简，最后利用的值求解． 【详解】解： 与是方程的两个不同的根， ，， ， ． 由根与系数的关系可得，， ， 原式． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 【变式4-3】设α是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，，进行整体代入求值即可． 【详解】解：∵α是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型5 逢解必带-换元法】 【例5】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【变式5-1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的方程两根分别为，，则方程的两根为或，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于的方程两根分别为，， ∴方程的两根为或， 解得，， 故选：A． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 【答案】， 【分析】本题考查根与系数的关系，换元法解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，设，将方程 化为，再将方程两边同时除以，将方程化为，进行求解即可． 【详解】解：∵（）的两个根分别 ， ∴，即，，即． 设， 则方程化为 ． 两边除以（），得 ． 代入 ，， 得， 即． 解得，． 由，得， ∴，． ∴方程的两个根为，． 故答案为：，． 【题型6 含参定根-与根无关】 【例6】关于的一元二次方程m十m+1=0必有一根为          ． 【答案】-  【详解】解：m十m+1=0 (-1)m++1=0 (+1)()=0 则． 故答案为-． 【变式6-1】关于 x 的方程 k - (2k + 3)x + k + 3 = 0，必有一根为多少？ 【答案】  【详解】解： 故答案为． 【变式6-2】若，则关于的方程必有一根是          ． 【答案】  【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将原方程左边因式分解可得，即或，从而得出答案． 【详解】解：原方程左边因式分解后可得：， 或， 则方程必有一根为， 故答案为：． 【变式6-3】已知关于 x 的一元二次方程 (m+n) + 2(m-n)x + (m-3n) = 0， 若该方程对于任意实数 m, n（m+n ≠0）都必有一个公共的实数根，求这个根是多少？ 【答案】  【详解】解：(m+n) + 2(m-n)x + (m-3n) = 0 m + n + 2mx - 2nx + m - 3n = 0 分组得：m( + 2x + 1) + n( - 2x - 3) = 0 变形为： m(x+1)² + n(x+1)(x-3) = 0 (x+1) [ m(x+1) + n(x-3) ] = 0 无论 m 和 n 取什么值，只要令第一个因式为 0，方程就恒成立。 即 x + 1 = 0，解得 x = -1。 所以，这个必有的公共实数根是 x = -1。 【题型7 含参定根-比较系数】 【例7】已知，则一元二次方程必有一根是____________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，由得到，然后和比较求解即可． 将代入，得，问题可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个根是． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·广东茂名·月考）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时，有，于是可判断此方程必有一根为． 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 【变式7-2】若，，则关于的一元二次方程中（    ） A．必有一根为1 B．必有一根为 C．必有一根为0 D．必有一根为2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：根据，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴必有一根为， 故选：B． 【变式7-3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为____. 【答案】-1 【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答. 【详解】根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0； 当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根． 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【题型8 公共根-设根消参】 【例8】如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是_____． 【答案】-2 【分析】：设它们的相同根为t，利用方程根的定义得到t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，利用②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，则t＝1，然后把t＝1代入①中可求出k的值． 【详解】解：设它们的相同根为t， 根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②， ②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1， ∵t有且只有一个值， ∴k﹣1≠0， ∴t＝1， 把t＝1代入①得1+1+k＝0， ∴k＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式8-1】已知一元二次方程①，②，方程①与方程②有且只有一个公共根，则与之间应满足的关系式为________． 【答案】 【分析】设两个方程的公共根，将公共根代入方程，即可求出公共根，然后即可代入方程得到a与b之间的关系式． 【详解】设两个方程的公共根是m，分别把m代入两方程有： m2+am+b=0 ① m2+bm+a=0 ② 把①-②有：（a-b）m+b-a=0 解得m=1． 故把m=1代入方程②得：a+b+1=0， 故答案是：a+b+1=0 【点睛】考查的是一元二次方程的解，解题关键是设方程的公共根，代入方程相减，求出公共根． 【变式8-2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 【变式8-3】已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时需要注意、是互不相等的正整数，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于、的数量关系，再由限制性条件“、为正整数”来求、的值即可； 【详解】解：∵， ∴化简为：， ∵，， ∴原方程化简为：， ∴，， 故同理可得的方程解为：，， ∵两个一元二次方程的二次项系数不相等， ∴，即， ∵两个一元二次方程有一个公共根， ∴，， 通过化简整理均得到方程， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴，或，； ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 逢解必带-定义法】 1 【题型2 逢解必带-整体法】 1 【题型3 逢解必带-消参法】 2 【题型4 逢解必带-降次法】 2 【题型5 逢解必带-换元法】 3 【题型6 含参定根-与根无关】 3 【题型7 含参定根-比较系数】 3 【题型8 公共根-设根消参】 4 【题型1 逢解必带-定义法】 【例1】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B． C．或3 D．或2 【变式1-3】（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【题型2 逢解必带-整体法】 【例2】（24-25九年级上·湖南衡阳·月考）已知：是方程的一个根，求代数式的值是_________． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东·期中）已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【题型3 逢解必带-消参法】 【例3】已知条件 方程 的两个根分别是 2， -3，则的值为____________． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的一元二次方程的两根分别为，1，则的值为____________． 【变式3-2】已知关于 x 的一元二次方程 的两根为1, 2,若满足 1 +2 = 2，且 1 2= -3，求代数式 的值。 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为______． 【题型4 逢解必带-降次法】 【例4】（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为______． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【变式4-3】设α是方程的一个根，则的值为__________． 【题型5 逢解必带-换元法】 【例5】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【变式5-1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式5-2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 【题型6 含参定根-与根无关】 【例6】关于的一元二次方程m十m+1=0必有一根为          ． 【变式6-1】关于 x 的方程 k - (2k + 3)x + k + 3 = 0，必有一根为多少？ 【变式6-2】若，则关于的方程必有一根是          ． 【变式6-3】已知关于 x 的一元二次方程 (m+n) + 2(m-n)x + (m-3n) = 0， 若该方程对于任意实数 m, n（m+n ≠0）都必有一个公共的实数根，求这个根是多少？ 【题型7 含参定根-比较系数】 【例7】已知，则一元二次方程必有一根是____________． 【变式7-1】（25-26九年级上·广东茂名·月考）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【变式7-2】若，，则关于的一元二次方程中（    ） A．必有一根为1 B．必有一根为 C．必有一根为0 D．必有一根为2 【变式7-3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为____. 【题型8 公共根-设根消参】 【例8】如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是_____． 【变式8-1】已知一元二次方程①，②，方程①与方程②有且只有一个公共根，则与之间应满足的关系式为________． 【变式8-2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【变式8-3】已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $