专练1 因式分解与分式（Word版）-【学海风暴】2026年七年级下册数学期末抢分卷（沪科版·新教材）

**基本信息** 聚焦因式分解与分式计算，以“整体思想”“一题多解”等方法为核心，构建从概念辨析到跨学科应用的递进式训练体系，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整体思想|第8题|换元法分解复杂多项式|从单式因式分解到整体代换，体现化归思想| |一题多解|第11题|通分与作商比较分式关系|分式运算与代数变形的逻辑关联| |纠错题|第16题|分式混合运算步骤规范|暴露符号处理、通分等易错点，强化运算严谨性| |跨学科应用|第14、19题|物理公式推导（透镜成像、电阻并联）|数学语言表达物理规律，发展模型意识|

初中期末抢分小卷·数学 抢分小卷（二） 专练1 因式分解与分式 计算专练 1. 下列等式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式得，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 4. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 5. 多项式和的公因式是______． 6. 如果，，则______． 7. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． 整体思想 8. （1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：． ②因式分解：． 9. 下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 11. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ）（一题多解法） A. B. C. D. 12. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 若分式有意义，则x满足的条件是___________． 跨学科 物理 14. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 15. 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 纠错题 16. 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误． （2）任务二：请你写出正确的计算过程． （3）任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 17. 方程，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 新定义题 18. 定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 跨学科 物理 19. 电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻并联时，总电阻满足，若，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 古代数学文化 20. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 21. 解分式方程： （1）； （2）； 应用意识 22. 某工厂两个组加工同一种零件，甲组的工作效率比乙组高20%，因此，甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时．依题意列出分式方程，并求出甲、乙两组每小时分别加工的零件数． 初中期末抢分小卷·数学 抢分小卷（二） 专练1 因式分解与分式 计算专练 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义和因式分解的方法．因式分解是将多项式化为整式乘积的形式，需确保等式两边相等，再结合因式分解的方法即可求解． 【详解】解：∵因式分解是从多项式到乘积的变形， 选项A：从左到右是展开，不是因式分解，故错误； 选项B：应分解为，而非，故错误； 选项C：，正确； 选项D：，故错误． 故选：C． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据把多项式展开得得出，，再求出答案即可． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， 又∵， ∴ ，． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先将多项式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解将已知等式变形为，即可得到a=b，由此判断三角形的形状． 【详解】解：， 由平方差公式得：， ∴， ∵a、b、c三边是三角形的边， ∴a、b、c都大于0， ∴本方程解为a＝b， ∴△ABC一定是等腰三角形， 故选C． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 【6题答案】 【答案】70 【解析】 【分析】直接提取公因式，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：70． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式进行分解因式是解题关键． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，利用等面积法进行因式分解是解题关键． 整体思想 【8题答案】 【答案】（1）①；②；（2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，理解整体思想是解答的关键． （1）①提公因式即可求解； ②先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①仿照例题解法步骤，令，然后利用完全平方公式求解即可； ②令，再利用整式乘法整理代数式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①令， ∴原式 ； ②令， ∴原式 ． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键．直接利用公式法以及提取公因式法将分子与分母分解因式，再利用分式的性质分别化简，进而判断即可． 【详解】解：A. ，等式不成立； B. ，等式成立； C. ，等式成立； D. ，等式成立； 故选A． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】可经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，由此化简，即可得到代数式与之间的关系；也可以作商后得到代数式与之间的关系． 【详解】解：，则． 一题多解法: ， ∴． 【12题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是对已知条件进行变形，求出的值，再对所求式子进行变形计算． 先将已知的三个分式等式取倒数，得到关于的等式，然后求出的值，最后对所求式子取倒数并代入计算． 【详解】解：已知，等式两边取倒数，可得，即①； 同理，由，取倒数得，即②； 由，取倒数得，即③； 将，可得，所以， 对取倒数，可得， 所以． 故选：B． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0， ∴x≠-1． 故答案是：x≠-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 跨学科 物理 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 根据已知条件，先求出，进行通分后，再求出v即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 【15题答案】 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ； ∵计算过程中出现的分母以及除数不能为0， ∴，且， ∴的取值为， 故原式 ． 纠错题 【16题答案】 【答案】（1）二 （2）见解析 （3）；6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题； （3）注意分式无意义的条件，将代入化简后的式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：……第一步， ……第二步， 小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二． 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：且， 解得且， 当时， 上式． 【17题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，把方程两边同时乘以去分母即可得到答案． 【详解】解： 分式两边都乘以，得：． 故选：D 新定义题 【18题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 跨学科 物理 【19题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， 即的电阻值是． 故选：B． 古代数学文化 【20题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ， ， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解： 经检验，是原方程的解． 应用意识 【22题答案】 【答案】 甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件 【解析】 【分析】设乙组每小时加工个零件，根据甲组加工210个零件所用的时间比乙组加工200个零件所用的时间少半小时，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙组每小时加工的零件数为个，则甲组每小时加工的零件数为个． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． ． 答：甲组每小时加工60个零件，乙组每小时加工50个零件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $