期末抢分卷（一）（Word版）-【学海风暴】2026年七年级下册数学期末抢分卷B（北师大版·新教材）

**基本信息** 融合跨学科情境（化学轴对称、地理海拔气温）与文化传承（杨辉三角），梯度覆盖代数（科学记数法、函数）、几何（三角形、平行线）、统计（频率估计概率），适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|轴对称、常量变量、科学记数法|跨学科化学情境，古代数学文化应用| |填空题|6|变量关系、频率估计概率、新定义运算|地理跨学科结合，分类讨论思想渗透| |解答题|11|函数图像分析、几何证明、项目式探究|科技情境（光刻机）、一题多解（平行线证明）、课标项目式学习|

初中期末抢分卷（B）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 跨学科 化学 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（ ） A. 速度v是变量 B. 速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C. 时间t，速度v是变量 D. 速度v、时间t、路程s都是常量 情境应用 3. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放《我和我的祖国》 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 抛掷一枚硬币，反面朝上 5. 按如图所示的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 与互余 B. C. 平分 D. 与互补 古代数学文化 6. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ） A. 36 B. 28 C. 22 D. 56 二、填空题 跨学科 地理 7. 在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温____． 8. 已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共500个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为___________个． 9. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 新定义题 10. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 11. 如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 分类讨论思想 12. 如图，在同一平面内，于点，于点，平面内有一点连接若且、为锐角，则___________．（用含、式子表示） 三、解答题 13. 按要求完成各题： （1）计算：． （2）如下图，已知直线，相交于点，是射线，．求的度数． 运算能力 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．求证：． 16. 如图，在中，，是边的中点，交直线于点．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图①中，过点作的垂线． （2）在图②中，过点作的平行线． 17. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 四、解答题 18. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上． ①甲到达终点 ； ②甲乙两人相遇 ； ③乙到达终点 ； （2）AB两地之间的路程为 千米； （3）求甲、乙各自的速度． 19. 数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．请你体验： 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____； （2）知识迁移：若，，则_____； （3）变化延伸：，求的值． 20. 现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 五、解答题 21. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求的面积． 22. 在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①．工作篮底部与支撑平台平行．已知，则________________． （2）（一题多解法）一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角．求与所成锐角的度数．（一题多解法） 六、解答题 课标 项目式学习 23. 【问题情境】 如图，在中，点D是上一点，连接，，在上取一点E，使得，点F是延长线上一点，连接． 【思路梳理】 （1）如图1，若，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，点K为上一点，连接并延长至点H，使得，连接，若，且，则与相等吗？为什么？ 初中期末抢分卷（B）·数学 期末抢分卷（一） 一、单项选择题 跨学科 化学 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：根据轴对称定义可得：B选项是轴对称图形，A、C、D不是轴对称图形； 故选：B． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的概念掌握，常量是固定不变的量，变量是变化的量是解题的关键． 速度不变即为常量，路程和时间会相互变化，故为变量. 【详解】解：∵速度保持不变， ∴是常量， ∵，且v为常量， ∴随的变化而变化，或随的变化而变化， ∴和都是变量． 故选：B． 情境应用 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 打开电视时，节目内容具有随机性，无法确定是否正在播放《我和我的祖国》，属于随机事件，不符合题意． B. 车辆到达路口时，交通灯可能为红、黄、绿中的任意一种，遇到绿灯是随机事件，不符合题意． C. 实心铁球的密度大于水的密度，根据物理性质必然沉入水底，属于必然事件，符合题意． D. 抛掷硬币可能出现正面或反面，反面朝上是随机事件，不符合题意． 综上，只有选项C是必然事件． 故选C． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：A、由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A选项正确，不符合题意． B、，故B选项正确，不符合题意． C、∵， ∴不平分，故C选项错误，符合题意． D、∵， ∴与互补，故D选项正确，不符合题意． 古代数学文化 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的规律．根据图形中的规律不难发现的第三项系数为，据此即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； …… ∴不难发现的第三项系数为， ∴第三项系数为， 故选：A． 二、填空题 跨学科 地理 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温 当海拔高度时，气温 故答案为：． 【8题答案】 【答案】165 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率．解题的关键在于熟练掌握：大量重复实验时，事件发生的频率逐渐稳定于某个固定的值，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）， 故答案为：． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 新定义题 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 【11题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 分类讨论思想 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的综合运用．通过作辅助线构造平行线是解决此类问题的常用方法． 本题分三种情况：①当点在上方，的右侧时②当点在下方，的右侧时③当点在之间，的右侧时，利用平行线的性质找出角之间的关系，即可求解． 【详解】解：由题意可得，有以下三种情况： 当点在上方，的右侧时，如图： 过点作， ， ， ， ； 当点在下方，的右侧时，如图： 过点作， ， ， ， ； 当点在之间，的右侧时，如图： 过点作， ， ， ， ； 综上所述，或或； 故答案为：或或． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1）1 （2）72° 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂，幂的乘方，零指数幂，再按照有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据题意可求出的度数，再根据平角的定义求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 运算能力 【14题答案】 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式以及平方差公式进行运算，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 当，时，原式． 【15题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定， 先根据，得出，再利用即可证明． 【详解】证明：，， ， 在和中， ． 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求； （2）延长交的延长线于点，连接，延长交于点，作直线即可，直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，即为所求． 【17题答案】 【答案】（1） （2）这种方法不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； 【小问2详解】 解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）①P；②M；③N （2）240千米 （3）40千米/时，80千米/时 【解析】 【分析】根据函数图像和图像中的数据可以解答本题．由图像可得，AB两地之间路程为240千米；出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 【小问1详解】 解：分析函数图像知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 故答案为：①P；②M；③N； 【小问2详解】 解：由图像可得，AB两地之间路程为240千米， 故答案为：240； 【小问3详解】 解：甲的速度是：240÷6＝40（千米/时） 则乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/时）． 【点睛】本题考查函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． 【19题答案】 【答案】（1） （2）20 （3）12 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）阴影部分为正方形，可以用边长的平方表示面积，也可以用大正方形的面积减去4个小长方形的面积表示； （2）由（1）得，代入求值即可； （3）设，，则，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：图2中阴影部分为正方形，边长为，面积为：， 阴影部分面积还可以表示为大正方形的面积减去4个小长方形的面积：， 因此， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 故答案为：20； 【小问3详解】 解：设，， 则，， ， ， ， ． 【20题答案】 【答案】（1）或 （2）①等腰三角形，理由见解析；②7 【解析】 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或； 【小问2详解】 解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 五、解答题 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行计算即可； （2）过点作，再结合平行线的性质进行计算即可；延长，交于点。先利用三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作． ， 又∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作． 由题意可知，，，． ， ． ， ． ，， ， ， ， 故与所成锐角的度数为． 一题多解法 （2）如图，延长，交于点． ，， ，， ． ， ． 故与所成锐角的度数为． 六、解答题 课标 项目式学习 【23题答案】 【答案】（1）；（2）相等，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，，进而通过证明可进行求解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以． （2）相等，理由如下： 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $