第06讲 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 （5大重难点题型）（讲义）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册期末必考重难点题型归纳及检测

第06讲 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、条件概率的概念 3 知识点2、概率的乘法公式 3 知识点3、条件概率的性质 3 知识点4、全概率公式 3 知识点5、贝叶斯公式 3 03 重难点题型 5 题型一：条件概率的定义式计算 5 题型二：条件概率的性质与运算 6 题型三：乘法公式应用 8 题型四：全概率公式与贝叶斯公式 9 题型五：四大概率公式综合应用 11 04 过关检测 16 知识点1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 知识点2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 知识点4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 知识点5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 题型一：条件概率的定义式计算 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】3个孩子，其中一个是男孩包含的基本事件有（男男男），（男女男），（女男男）， （男男女），（男女女），（女男女），（女女男），共包含7个基本事件 其中恰有1个女孩包含（男女男），（女男男），（男男女），共3个基本事件， 所以恰有1个孩子是女孩的概率. 例2．（25-26高二下·河北保定·期中）某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件为“该专业棋手获得奖金”，事件为“该专业棋手只获得一局比赛的胜利”， 该专业棋手获得奖金包括：战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 同时战胜机器人和机器人，概率为， 所以． 又因为，所以根据条件概率公式得． 例3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 变式1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）某学校食堂有8个窗口，分别卖：拉面、盖饭、麻辣烫、汉堡、水饺、炒河粉、粥、米粉，现有两位同学分别从这8个窗口中随机选择1个窗口买饭．这两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭的条件下，他们选择的窗口不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件为“两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭”，事件为“两人选择的窗口不相同”； 则，； . 题型二：条件概率的性质与运算 例4．（25-26高二下·江苏·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，，， 所以，所以. 例5．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，则， 所以. 例6．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A．当、独立时， B．当、互斥时， C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，若、独立，则， 由条件概率公式可得，A对； 对于B选项，若、互斥，则， 所以，，此时，B对； 对于CD选项，，C错D对. 变式2．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 变式3．（25-26高二下·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又由可得，即， 故. 题型三：乘法公式应用 例7．（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）一口袋里有大小形状完全相同的个小球，其中红球与白球各个，黑球与黄球各个，从中随机取次，每次取个小球，且每次取完后就放回，则这次取球中，恰有次所取的个小球颜色各不相同的概率为__________． 【答案】/0.375 【解析】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：， 由已知，所取的3个小球颜色各不相同的次数服从二项分布， 所以这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为： . 例8．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】/ 【解析】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 例9．（25-26高二下·上海松江·期中）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球．假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为_______（答案精确到0.001）． 【答案】0.445 【解析】由题意可得，守门员扑到点球的概率为， 设在一次5轮点球大战中，守门员扑到点球的个数为， 则服从二项分布，即， 守门员至少扑到1个点球的概率为. 变式4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 【答案】 【解析】设高一、高二、高三的学生数分别为， 则所求概率为 题型四：全概率公式与贝叶斯公式 例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. (1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； (2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 【解析】（1） 每次有放回摸球时，摸到红球的概率为， 设10次摸球中摸到红球的个数为，则， 由二项分布期望公式得：. （2）恰好第4次摸球结束需满足两个条件： ①第3、4次均为红球，触发停止规则； ②第2次为黄球，否则第2、3次均为红球时第3次就已停止，且第2次为黄球时前2次不可能出现连续红球，自动满足前2次未停止的要求，分两种情况计算： 第1次摸到黄球，序列为黄、黄、红、红，概率为： 第1次摸到红球，序列为红、黄、红、红，概率为： 故. 例11．（25-26高二下·宁夏·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 【解析】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 甲品牌的占40%，合格率为95%，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． （2）用表示机器人是乙品牌， ． 例12．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【解析】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 变式5．（25-26高二下·湖北·期中）某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【解析】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 题型五：四大概率公式综合应用 例13．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【解析】（1）设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”， 事件为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得． （2）①略 ②略 例14．（25-26高二下·重庆·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛． (1)若预赛的8道题中，甲第1题能答对，第2，3，4题每道题有50%的概率答对，第5，6，7，8题每道题有25%的概率答对，求甲随机选一道题，恰好答对该题的概率； (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立． （ⅰ）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ⅱ）已知：若随机变量，，满足，则．若某班共有4名学生进入决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求的取值范围． 【解析】（1）由全概率公式可得恰好答对该题的概率为： ； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 所以四名同学获得总奖金的期望为， 所以，即， 整理得， 由， 得， 解得． 例15．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 变式6．（25-26高二下·河南·阶段检测）在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． (1)在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． (2)设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 【解析】（1）记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”， 事件“两个量子比特测量结果相同”，则， 则，， 所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为 ． （2）（i）的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 （ii）由（i）得， ， 所以 ， 所以的取值范围是. 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为， 由题意：，， . 即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为. 3．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 【答案】C 【解析】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，， 记击中目标为事件，则， 所以， 又，所以. 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从5个球中任取2个球，共有种情况数. “没有红球”即从白球和蓝球这2个非红球中取2个球的情况数有种， 那么“取出的2个球中至少有一个红球”的情况数为种. “有一个红球且另外一个球也是红球”的情况数有种. 记“至少有一个红球”，“取出的两个球都是红球”. ，即有一个红球，则另外一个也是红球的概率为. 5．（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件概率公式得，故. 6．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 7．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______. 【答案】 9．61 【解析】设事件表示“第次试验结果为甲”，事件表示“第次试验结果为乙”，其中， 由题意得，且条件概率满足，， 根据全概率公式，第三次试验结果为甲的概率为， 因为，， 所以. 10．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）某用户只在某外卖平台的甲、乙、丙三家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲、乙、丙餐厅的概率分别为、、，甲、乙、丙餐厅的准时送达率分别为、、．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率； (2)平台推出“准时保”，每单需支付1元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.2元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【解析】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”，“选择丙餐厅”， 则，，，，，， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为： ． （2）略 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. (1)求第一次抽到的是A商品的概率； (2)求抽到A，B两种商品各一件的概率； (3)在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 【解析】（1）设事件:第一次抽到的是A商品，事件:抽到的商品来自于第一个超市， 事件:抽到的商品来自于第二个超市，事件:抽到的商品来自于第三个超市, 那么 （2）设事件: 抽到两种商品各一件,那么抽到两种商品各一件分为两种情况， 分类第一次抽到商品、第二次抽到商品和第一次抽到商品、第二次抽到商品, 则 . （3）设事件:第二次抽到的是B商品，那么 ， . 12．（25-26高二下·福建莆田·期中）莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 【解析】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为. （3）设表示“及格”学生人数，表示“总得分”, 则变量，其中， 所以，则. 13．（25-26高二下·天津静海·期中）已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 【解析】（1）从甲、乙两个盒内各任取2个球的试验有个基本事件，它们等可能， 取出的4个球中恰有1个红球的事件有个基本事件， 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率. （2）从甲盒内任取2个球的试验含有的基本事件个数， 至少取出一个红球的事件为，两球颜色均为黑色相同的事件为， 则，因此， 所以在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率. （3）令从甲盒内任取2个球中红球为的事件分别为，从乙盒中任取一球为红球的事件为， 则， ， 因此， 所以取出的球为红球的概率为. 14．（25-26高二下·浙江·阶段检测）王同学每天午餐固定在A，B两家餐厅用餐，他第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果前一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4；如果前1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，记为小王第n天去A餐厅的概率． (1)求、； (2)求； (3)记前n天午餐王同学去A餐厅的次数为X，求． 【解析】（1）记小王第i天去A餐厅为，第i天去B餐厅为， 则， ， ， 由全概率公式可知： ， 由对立事件可知， 同理， ， 即：，； （2）由全概率公式可知： ， 即 ， 从而，，而，， 可知； （3）令，则， 从而 而， 可知． 15．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 【解析】（1）由全概率公式得； （2）因为()，即()， 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； （3）由（2）可知 ∴当时， 若()，则，即. ∵，， ∴当时，. 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 16．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为，求随机变量的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为，求随机变量的概率分布． 【解析】（1）设买到新款盲盒为事件，买到旧款盲盒为事件，盲盒中出现“隐藏款”为事件， 则，， 因此， 所以消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为. （2）依题意，每个盲盒是否开出隐藏款相互独立， 由（1）得每个盲盒开出隐藏款的概率为，则随机变量， 所以随机变量的数学期望，方差. （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此的可能取值为2，3，4，5，隐藏款的位置共有种等可能情况， 若，即前2个均为隐藏款，； 若，即第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏，， 若，即第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 17．（25-26高二下·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 【解析】（1）设:第n颗种植桃树，：第n颗种植梨树，， . （2）. （3）假设转移概率不随变化， 由，得， 所以是等比数列，又，公比为， ，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式、乘法公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、条件概率的概念 3 知识点2、概率的乘法公式 3 知识点3、条件概率的性质 3 知识点4、全概率公式 3 知识点5、贝叶斯公式 3 03 重难点题型 5 题型一：条件概率的定义式计算 5 题型二：条件概率的性质与运算 5 题型三：乘法公式应用 6 题型四：全概率公式与贝叶斯公式 6 题型五：四大概率公式综合应用 7 04 过关检测 10 知识点1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 知识点2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 知识点4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 知识点5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有， 在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 题型一：条件概率的定义式计算 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·河北保定·期中）某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）某学校食堂有8个窗口，分别卖：拉面、盖饭、麻辣烫、汉堡、水饺、炒河粉、粥、米粉，现有两位同学分别从这8个窗口中随机选择1个窗口买饭．这两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭的条件下，他们选择的窗口不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质与运算 例4．（25-26高二下·江苏·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D．1 例5．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 例6．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A．当、独立时， B．当、互斥时， C． D． 变式2．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广西南宁·期中）对于事件，，，，，（    ） A． B． C． D． 题型三：乘法公式应用 例7．（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）一口袋里有大小形状完全相同的个小球，其中红球与白球各个，黑球与黄球各个，从中随机取次，每次取个小球，且每次取完后就放回，则这次取球中，恰有次所取的个小球颜色各不相同的概率为__________． 例8．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 例9．（25-26高二下·上海松江·期中）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球．假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为_______（答案精确到0.001）． 变式4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 题型四：全概率公式与贝叶斯公式 例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. (1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； (2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 例11．（25-26高二下·宁夏·期中）某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 例12．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 变式5．（25-26高二下·湖北·期中）某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 题型五：四大概率公式综合应用 例13．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 例14．（25-26高二下·重庆·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛． (1)若预赛的8道题中，甲第1题能答对，第2，3，4题每道题有50%的概率答对，第5，6，7，8题每道题有25%的概率答对，求甲随机选一道题，恰好答对该题的概率； (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立． （ⅰ）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ⅱ）已知：若随机变量，，满足，则．若某班共有4名学生进入决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求的取值范围． 例15．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 变式6．（25-26高二下·河南·阶段检测）在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． (1)在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． (2)设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 4．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______. 10．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）某用户只在某外卖平台的甲、乙、丙三家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲、乙、丙餐厅的概率分别为、、，甲、乙、丙餐厅的准时送达率分别为、、．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率； (2)平台推出“准时保”，每单需支付1元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.2元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品. (1)求第一次抽到的是A商品的概率； (2)求抽到A，B两种商品各一件的概率； (3)在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率. 12．（25-26高二下·福建莆田·期中）莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 13．（25-26高二下·天津静海·期中）已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 14．（25-26高二下·浙江·阶段检测）王同学每天午餐固定在A，B两家餐厅用餐，他第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果前一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4；如果前1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，记为小王第n天去A餐厅的概率． (1)求、； (2)求； (3)记前n天午餐王同学去A餐厅的次数为X，求． 15．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 16．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为，求随机变量的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为，求随机变量的概率分布． 17．（25-26高二下·江苏淮安·期中）2026年3月12日植树节，老师安排同学们去种植桃树和梨树，小明选择种植第一棵树是桃树的概率为，选择种植第一棵树是梨树的概率为，如果小明第一棵选择种植桃树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，如果小明第一棵选择种植梨树，那么第二棵选择种植桃树的概率为，设小明第棵选择种植桃树的概率为． (1)求、的值． (2)已知小明第2棵选择种植桃树，求他第1棵也选择种植桃树的概率． (3)求的通项公式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $