第01讲 反比例函数的概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材苏科版

第01讲 反比例函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的概念 同学们，在上课之前，我们先来认识一位两千多年前的“大力士”——古希腊科学家阿基米德.他曾放出过一句震惊世界的豪言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！” 大家可能会觉得他在吹牛，一个人怎么可能撬得动重达 6×10²⁵ 牛顿的地球呢？但其实，他手里握着一把数学的“金钥匙”——杠杆原理. 想象一下这个画面：阿基米德站在一根长得看不见尽头的杠杆一端，地球在另一端.根据物理学中的杠杆平衡原理：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂. 假设阻力和阻力臂是固定的（也就是说，地球那一端的“负担”是个定值），那么阿基米德所需要出的“力气”（动力 F），和他手里握的这根杆子的长度（动力臂 L）之间，到底藏着什么秘密？ 如果他想省点力气，手里的杆子该变长还是变短？如果杆子无限延长，他是不是连一根手指头都能撬动地球？今天，就让我们用数学的眼光，来帮阿基米德算算这笔账！ 结合上面的图形，我们可以列出等式：F·L =定值. 变形一下，就能得到动力 F 与动力臂 L 的关系式：F = . 大家看，当 L（动力臂）越来越大时，F（动力）是不是就越来越小？这种“你增我减、乘积不变”的关系，就是我们今天要一起探索的新朋友——反比例函数. 知识点 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，那么称y是x的反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数. 2. 自变量取值范围：，反比例函数的取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 【题型1 识别反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（为常数，，）的函数是反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数； B．符合反比例函数的形式，是反比例函数； C．由变形得，是正比例函数，不是反比例函数； D．是一次函数，不是反比例函数． 故选B． 【变式1-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是， (2)是， (3)是，， 【分析】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （2）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （3）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）解：是反比例函数； ∵， ∴， ∴，； （2）是反比例函数； ∵， ∴， ∴； （3）是反比例函数； ∵， ∴，． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个． 【答案】3/三 【分析】根据正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是或xy=k，或y=kx-1（k≠0）． 【详解】解：根据反比例函数定义可得：②③xy=2，④，是反比例函数，①是正比例函数， 故答案为3. 【点睛】考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的3种形式是解题的关键. 【变式1-3】下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（   ） A． … … … 0 … B． … 1 2 … … 1 2 … C． … 1 2 … … 3 6 … D． … 1 2 … … 6 … 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，等价于每组的乘积都等于同一个非零常数，计算每个选项的乘积即可判断. 【详解】∵ 反比例函数满足任意一组对应变量的乘积，为不等于0的常数， 对选项A，各组与的乘积不相等，且存在乘积为0，不符合要求， 对选项B，计算得 ，，，，所有乘积均为，是不为0的常数，符合反比例函数的定义， 对选项C，，，乘积不相等，不符合要求， 对选项D，，，乘积不相等，不符合要求， ∴ 变量是的反比例函数的是B. 【题型2 根据反比例函数的定义求字母的值】 【例2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数，其一般形式为(为常数，)．在本题中是反比例函数，由此来确定的值，再根据反比例函数自变量的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：； 对于反比例函数，分母不能为， ∴在(此时，函数为)中， 自变量的取值范围； 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，关键是根据反比例函数的一般形式确定函数表达式中参数的值，并明确自变量的取值范围，即可解答． 【变式2-2】如果函数是反比例函数，那么k=____． 【答案】1 【详解】由题意得：， ∴k=1， 故答案是：1． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【题型3 根据实际问题列反比例函数】 【例3】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据压强与容器体积的乘积是定值可以确定两变量之间成反比例关系，设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可． 【详解】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比， 设，把点代入， 得， ∴， 故这个函数的解析式为， 故选：C． 【变式3-1】面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 【详解】解：由题意可得，， ∴y＝， 故选：A． 【变式3-2】根据题意，在横线上写出相应的函数关系式，并判断y是否为x的反比例函数（“是”就在后面的空格内打“1”，“不是”就在后面的空格内打“0”）： （1）长方形的面积S（cm2）一定，它的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为　________ ． （2）正方形的对角线长y（cm）与它的边长x（cm）之间的关系式为　________ ． （3）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件）的关系式为　________ ． （4）小明的家与学校相距2400m，他骑自行车上学的速度v（m/s）与所需时间t（s）的关系式为　________ ． 【答案】 y= ，1． y=x(x>0)，0． y=ax，0． v=，1 【分析】（1）长方形的长=面积÷宽，面积一定，故长与宽是反比例函数关系； （2）根据勾股定理可得：正方形的对角线长2=2边长2，∴正方形的对角线长边长，常数是，不是反比例函数； （3）总价=单价×数量，单价一定，不是反比例函数； （4）速度=路程÷时间，路程一定，是反比例函数． 【详解】（1）由题意得：y，是反比例关系； （2）由题意得：yx（x＞0），不是反比例关系； （3）由题意得：y=ax，不是反比例关系； （4）由题意得：v，是反比例关系． 故本题答案为：（1）y，1；（2）yx（x＞0），0；（3）y=ax，0；（4）v，1． 【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线，反比例函数的一般形式是y（k为常数，且k≠0）． 【变式3-3】（2025·湖北·三模）如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例关系，掌握反比例关系中的两个变量的积是不等于0的常数是解决问题的关键． 本题中根据题意判断出，由此得到底面积和水的高度成反比例，然后即可求解； 【详解】解：根据表格可得：， ∴底面积和水的高度成反比例， ∴， 故答案为：； 【题型4 判断两个变量是否具有反比例函数关系】 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【变式4-1】下列选项中，成反比例关系的是（   ） A．正方形的面积与边长 B．电费单价一定，电费总价与用电度数 C．三角形的面积一定，它的底和高 D．圆的周长一定，它的直径和圆周率 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的概念，解题的关键是根据两种相关联的量的乘积是否一定来判断． 根据反比例的意义（两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两个变量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系），进行判断即可． 【详解】解：A、正方形的面积=边长的平方，所以正方形的面积与边长不成反比例关系，不符合题意； B、电费总价÷用电度数=电费单价（一定），商一定，电费总价与用电度数成正比例关系，不符合题意； C、三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系，符合题意； D、圆的周长一定，它的直径和圆周率不成反比例关系，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【答案】(1) ，是正比例函数，自变量取值范围为 (2) ，是反比例函数，自变量取值范围为 【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可； （2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 【题型5 求反比例函数值】 【例5】（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【答案】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：． 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 【变式5-2】（2026·云南楚雄·一模）双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入双曲线求解即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． 【变式5-3】（2025·江苏徐州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则_____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值． 【详解】解：设， 把代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 【题型6 由反比例函数值求自变量】 【例6】（24-25九年级上·海南三亚·期末）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 【变式6-1】（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 【变式6-2】（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 模块三 课后作业 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； B．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； C．该函数是关于的反比例函数，此时，故此选项符合题意； D．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 3．购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（   ） A．（x取实数） B．（x取正整数） C． D．（x取整数） 【答案】B 【分析】先由买x只茶杯需15元，得出xy=15，故y是x的反比例函数，再根据x、y的实际意义可知，x、y应大于0，且x的值取正整数，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得xy=15， ∴ x的值取正整数， ∴故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定自变量的取值范围． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 5．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）写出一个在反比例函数的图象上的点：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式，令取一个非零值，计算对应的值，得到图象上的点，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在反比例函数中，当时，， 因此点在图象上， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 8．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【答案】（） 【详解】由三角形的面积公式底高，得，即（）． 10．（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 11．（25-26九年级上·全国·单元复习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解定义是解题的关键；由题意得，求出a的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以a的值为， ，即． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 【答案】(1)，是 (2)，不是 【详解】（1）解：由题意得，，是反比例函数； （2）由题意得，，不是反比例函数． 13．（2025九年级上·北京·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)y (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的一般表达式． （1）用待定系数法求得反比例函数解析式， （2）代入x求得y的值， （3）代入y求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴； （2）当时，； （3）当时，． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 反比例函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的概念 同学们，在上课之前，我们先来认识一位两千多年前的“大力士”——古希腊科学家阿基米德.他曾放出过一句震惊世界的豪言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！” 大家可能会觉得他在吹牛，一个人怎么可能撬得动重达 6×10²⁵ 牛顿的地球呢？但其实，他手里握着一把数学的“金钥匙”——杠杆原理. 想象一下这个画面：阿基米德站在一根长得看不见尽头的杠杆一端，地球在另一端.根据物理学中的杠杆平衡原理：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂. 假设阻力和阻力臂是固定的（也就是说，地球那一端的“负担”是个定值），那么阿基米德所需要出的“力气”（动力 F），和他手里握的这根杆子的长度（动力臂 L）之间，到底藏着什么秘密？ 如果他想省点力气，手里的杆子该变长还是变短？如果杆子无限延长，他是不是连一根手指头都能撬动地球？今天，就让我们用数学的眼光，来帮阿基米德算算这笔账！ 结合上面的图形，我们可以列出等式：F·L =定值. 变形一下，就能得到动力 F 与动力臂 L 的关系式：F = . 大家看，当 L（动力臂）越来越大时，F（动力）是不是就越来越小？这种“你增我减、乘积不变”的关系，就是我们今天要一起探索的新朋友——反比例函数. 知识点 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，那么称y是x的反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数. 2. 自变量取值范围：，反比例函数的取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 【题型1 识别反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个． 【变式1-3】下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（   ） A． … … … 0 … B． … 1 2 … … 1 2 … C． … 1 2 … … 3 6 … D． … 1 2 … … 6 … 【题型2 根据反比例函数的定义求字母的值】 【例2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【变式2-2】如果函数是反比例函数，那么k=____． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【题型3 根据实际问题列反比例函数】 【例3】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】根据题意，在横线上写出相应的函数关系式，并判断y是否为x的反比例函数（“是”就在后面的空格内打“1”，“不是”就在后面的空格内打“0”）： （1）长方形的面积S（cm2）一定，它的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为　________ ． （2）正方形的对角线长y（cm）与它的边长x（cm）之间的关系式为　________ ． （3）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件）的关系式为　________ ． （4）小明的家与学校相距2400m，他骑自行车上学的速度v（m/s）与所需时间t（s）的关系式为　________ ． 【变式3-3】（2025·湖北·三模）如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【题型4 判断两个变量是否具有反比例函数关系】 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【变式4-1】下列选项中，成反比例关系的是（   ） A．正方形的面积与边长 B．电费单价一定，电费总价与用电度数 C．三角形的面积一定，它的底和高 D．圆的周长一定，它的直径和圆周率 【变式4-2】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【题型5 求反比例函数值】 【例5】（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式5-2】（2026·云南楚雄·一模）双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【变式5-3】（2025·江苏徐州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则_____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 【题型6 由反比例函数值求自变量】 【例6】（24-25九年级上·海南三亚·期末）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【变式6-1】（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【变式6-2】（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 模块三 课后作业 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 3．购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（   ） A．（x取实数） B．（x取正整数） C． D．（x取整数） 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 5．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）写出一个在反比例函数的图象上的点：________． 6．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 8．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 10．（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 11．（25-26九年级上·全国·单元复习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 13．（2025九年级上·北京·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $