专题10 压轴真题专项训练 期末复习专项训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦中考压轴题，以六大题型构建从静态到动态、从几何到代数的递进训练体系，强化抽象能力、推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义型问题|6题|结合新运算、新概念考查抽象理解与应用|从概念生成到多情境应用，培养数学抽象与逻辑推理| |规律探究类问题|4题|通过数列、图形变化归纳规律|从具体现象到一般规律，发展归纳推理与空间观念| |三角尺中的平行线问题|4题|利用三角板特殊角结合平行线性质与角平分线|静态几何关系综合，强化几何直观与角度转化| |平行线模型|7题|探究平行线间折线、动点形成的角度关系|从基础模型到变式拓展，构建角度关系推理体系| |平行线动态旋转问题|6题|运动过程中角度、位置关系的动态分析|静态模型到动态变化，培养空间观念与分类讨论| |坐标系中动点问题|5题|坐标变换、面积计算与动点运动结合|代数与几何融合，体现模型意识与应用能力|

专题10 压轴真题专项训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、新定义型问题 1 题型二、规律探究类问题 14 题型三、三角尺中的平行线问题 18 题型四、平行线模型 29 题型五、平行线动态旋转问题 43 题型六、坐标系中动点问题 59 B综合攻坚・能力跃升 题型一、新定义型问题 1．定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义，数字的变化规律，根据其定义进行分析判断是解决该类问题的关键． 根据题中的操作将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，再根据定义进行检验判断新得到有效数串是否为有效数串即可求出结论． 【详解】解：①若特征数串17，3，5， ∵ ∴第一次替换后新数串为2，3，5， ∵ ∴第二次替换后新数串为1，2，3， 故①正确； ②若特征数串，3，5， ∵经过一次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴5被替换，即5为最大数， ∴或， ∵x为正整数， ∴或， 故②正确； ③若特征数串，3，5， 分两种情况：（1）当为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：、3、5， 经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，5被替换， ∴，解得： 新数串为：、3、或， ∵特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴当，或， ∴或， 特征数串为16，3，5；或14，3，5； 当，或， ∴或； 特征数串为13，3，5；或17，3，5； （2）当5为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：x、3、， ∵经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，x或被替换， 当x最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3， 当， 时 ∴（舍去） 当，时， ∴无解； 当最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3，x， 当， 时 解得：（舍去）； 当， 时 无解； 综上，若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有4种不同的取值． 故③错误； ∴有①②正确，共2个． 故选：C． 2．对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则逐项判断即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（）正确； ∴， 若， 则， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 若， 则， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或，即或或， 此时或或， ∴有且仅有组正整数解，故（）正确； 如果， 则， ∴， ∴， ∴或， 即或，故（）正确； 综上，结论正确的个数有个， 故选：． 3．对一组数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于0，1，2进行“差绝对值运算”，得到： ． ①对，，3，5进行“差绝对值运算”的结果是25； ②当时，，2，5，的“差绝对值运算”的值最小，最小值为33； ③若，，的“差绝对值运算”的结果6，且与同号，、均为正整数，且，，互不相等，则的取值有6个； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，①根据“绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①对，，3，5进行“差绝对值运算”得： ， 故①正确； ②，2，5，的“差绝对值运算”结果为： ， 表示数轴上的点a到2，5和的和， 所以，当时，的最小值为， 所以，当时，，2，5，的“差绝对值运算”最小值为：， 故②正确； ③∵，，的“差绝对值运算”的结果6， ∴， ∵与同号，、均为正整数，且，，互不相等， ①当时，且时， ∴ 解得， ②当时，且时， ， ， ∴当时，， 当时，； ③当时，且时， ∴ ， ∴当时，， 当时，； ④当时，且时， ∴， 解得， 综上，a的取值有6个，故③正确； 故选：D． 4．如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和的平方与它们个位数字之和的平方的差为13，则称为“诚朴数”，把叫做的“诚朴分解”．例如：1435可分解为，满足，则1435的“诚朴分解”为，则“诚朴数”的“诚朴分解”是________；若将“诚朴数”的“诚朴分解”中的的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和相加所得的和记为，将的十位数字的2倍与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差相减所得的差记为，．若是“诚朴数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 【答案】 【分析】本题考查新定义，理解题意，按新定义用数学式子表示出相关量分析是解决问题的关键． 对分解质因数，再按照“诚朴分解”定义验证即可得到答案；设，按照题中定义表示相关式子，采用枚举法逐个验证即可得到答案． 【详解】解：， 由“诚朴分解”定义可知，， “诚朴数”的“诚朴分解”是； 设， 则；， 是“诚朴数”， ， 则， 由于分解质因数为，则， ， ， 则；， 即；， ， 则； ； ， 是奇数、为偶数， 必为奇数， 若能被6整除，则必须为偶数； 由是两位数可知，，， 则， 值可取； ， ， 则值可取； ， ， 则， ， 当时，， 即取值不超过，列举如下： 当时，： 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 当时，，与必须为偶数矛盾，舍去； 当时，： 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 时，，此时，能被6整除： 由可得，， 则，此时； 时，，此时，不能被6整除，舍去； 综上所述，满足题意的有、、、， 满足条件的的最大值与最小值的差为； 故答案为：；． 5．定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． (1)点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； (2)点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； (3)已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； (4)点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）设点的“1系友好点”的坐标是，根据新定义即可求出点的“1系友好点”的坐标；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标； （2）根据新定义求出，，，结合，可以发现当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为，再判断出为正偶数，即可得出结论； （3）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到，进而得到，即可得到点A的坐标； （4）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在轴正半轴上得到，，分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设点的“1系友好点”的坐标是， 根据题意可得，， ∴点的“1系友好点”的坐标是； 设点的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ； ∵， ∴当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为， ∵为正整数，即为正偶数， ∴点的横坐标与纵坐标之和为； （3）解：∵点A是点的“系友好点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设点的坐标是， ∵点在轴正半轴上，“k系友好点”为点， ∴， ∴ ∴点的坐标是， ∵点在轴正半轴上， ∴，， 当时， ∵为定值， ∴，即， 此方程无解， 当时， ， ∵为定值， ∴，即， 解得或（舍去）， 综上，． 6．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)或. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题； （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案； （2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案； （3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，. （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 由③得：， ∵不等式组的“青一距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式③成立， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时：， 综上：. （3）解：∵不等式组的“青一距离” ， ∴， 解得：， ∴化为， 由①得：， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数满足： ， 由③得：， 由④得：， 当时，可得：， 此时， 当时，可得：， 此时， 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或. 题型二、规律探究类问题 1．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 2．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2022次碰到球卓边时，小球的位置． 【详解】由图可得， 点(1，0)第一次碰撞后的点的坐标为(0，1)， 第二次碰撞后的点的坐标为(3，4)， 第三次碰撞后的点的坐标为(7，0)， 第四次碰撞后的点的坐标为(8，1)， 第五次碰撞后的点的坐标为(5，4)， 第六次碰撞后的点的坐标为(1，0)， 2022÷6=3366， 小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 3．把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标． 例如1的对应点是原点，3的对应点是，16的对应点是，则点对应的数是_____；2012的对应点的坐标是_______． 【答案】 43 【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．依此先确定49的坐标为，再根据图的结构求得对应的数．先确定2025的坐标为，再根据图的结构求得2012的坐标． 【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．设横坐标为，则第四象限的角平分线对应点坐标为，对应的数为， （1）当时，， ∴对应的数是， ， 向左6个数是43. 故点对应的数是43. （2）， 由得， 所以2025的坐标为． ，， 所以2004的坐标是． 故答案为：43  ． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第100个点的坐标为______，第2020个点的坐标为______． 【答案】 （1，9） （45，5） 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．例如： 右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42， ......， 右下角的点的横坐标为10时，共有100个，100＝102， 10为是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数10﹣1＝9的点结束， 故第100个点的坐标为（1，9）， 右下角的点的横坐标为n时，共有n2个， ∵452＝2025，45是奇数， ∴第2025个点是（45，0）， 则第2020个（45，5）． ∴第2020个点的横坐标为45， 故答案为：（1，9），（45，5）． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键． 题型三、三角尺中的平行线问题 1．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．    (1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值． 【答案】(1)15，150 (2) (3)8，11 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线，熟练掌握平行线的性质，拐点模型． （1）过E作，证明，进而求解即可； （2）根据（1）证明，利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）当时，由平行的性质得，进而求解即可；当时，，进而求解即可． 【详解】（1）解：过E作，如图1，   ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15；150． （2）利用（1）可证，， ， ， ， ， ， 分别平分和， ， ． （3）当时，如图2，      延长，交于点J， ， ， ， ， ， 过点A作，则， ， ， ， ， ； 当时，如图3，   ， ， ， ， ， 综上所述，当时，，当时，． 2．如图1，直线，将一把直角三角尺的直角顶点P放在两平行线之间，两直角边分别交于点E，F． (1)请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若和的平分线相交于点G，求的度数； (3)如图2，若，请用含n的式子表示∠G． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】(1)过P点作，利用平行线的性质定理可得结论； (2) 由(1)的计算可得出(2)的结论； (3) 探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】（1）解：， 理由：过点P作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图中， 和的平分线相交于点G， ， ， ∴同理可得． （3）解：， ， 由（2）可知， 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，规律型问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，  ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 4．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 题型四、平行线模型 1．如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 2．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是_______ （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定瑟性质，过H作，先根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质以及对顶角相等、三角形内角和以及倍角关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确， 过H作，如图： ， 设，则，， ∴, 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，不一定为，故③错误， ，故④错误， 综上所述，错误的结论为③④． 故答案为：③④． 3．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过G作，根据平行线的性质求解即可； （2）过G作，过P作，首先得到，，设，，然后根据平行线的性质求解即可； （3）过E作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过G作 ∴ ∵ ∴     ∴ ∴     即 ∵ ∴； （2）解：如图，过G作，过P作 ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴     ∴ ∵ ∴ （3）解：如图，过E作，过G作． ∵ ∴，         ∵平分，平分 ∴设， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴     ∵ ∴ 解得 ∴ 4．如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据题意，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理，即可求出，即可得到答案； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，相加即可得到答案； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用垂线的定义和三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： （2）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，证明，则，．即可得到结论； （2）由邻补角、三角形内角和定理和（1）中的结论求出，即可证明； （3）利用平行线的性质和（2）中的条件列方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ． ，． ． 即； （2）证明：在三角形中， ， ， ． ∵， ． ∴； （3）解：平分，， ． 设， ． 在（2）的条件下， ． 在（2）的条件下，， ， 解得：， ． 设， 平分， ． ， ． ． ， 在（2）的条件下，， 同理可得：． 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 6．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（ ①） （ ②） （ ③） （ ④） （ ⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明； （2）过点作，同（1）可证明； （3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到． 【详解】（1）证明：如图，过点作（作图） （两直线平行，内错角相等） ，， （平行同一直线的两条直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 即：． 故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 解：（2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； 解：（3）． 如图，过点作， 由（1）知， ∵， ∴，即， ，， ， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 整理得． 题型五、平行线动态旋转问题 1．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 2．如图，已知是直线间的一点，于点交于点． (1)_________； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①的度数为或或；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 3．已知，点M，N分别为和上两点，点E在直线和之间． (1)点G为延长线上一点，平分平分． ①如图1，当点E在线段上时，试判断与的位置关系，并说明理由； ②当点E不在线段上时，直线，交于点P．直接写出与的数量关系为 ； (2)如图2，以每秒30°的速度绕E点逆时针方向旋转到，同时以每秒20°的速度绕N点顺时针方向旋转到，经过多少秒，？（旋转360°时，和同时停止） 【答案】(1)①，理由见详解；② (2)；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质与判定，平行线探究角的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义、即可作答． （2）先由角平分线的定义得，结合平行线的性质，得，结合三角形的外角性质，得，再进行角的等量代换，即可作答． （3）先表示，，再分别作图，运用数形结合思想，结合平行线的性质，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图： ∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∴ ∴； ②如图：过点作直线 ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴ 则 （2）解：过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴ 如图：设时间为，则， 当时，如图 ∴ 即 解得； 如图：∵， ∴ 解得 如图：∵， ∴ 解得 如图：∵， ∴ 解得，故舍去 综上：；； 4．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且．    (1)求和的值，并求的度数． (2)若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)秒时，两灯的光束互相平行 (3)和关系不会变化，理由见解析 【分析】（1）根据的非负性求a，b；根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，易证，即可列出，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵， ， 解得， ， ， ∵， ； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，   ， ， ， ， ， ， 解得， 答：当秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化． 理由：设灯A射线转动时间为t秒，   ， ， 又， ，而， ， ， ∴和关系不会变化． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 5．如图，A、B分别为直线、上两点，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是5°/秒，射线BQ转动的速度是3°/秒，设，，且、满足．      (1)________，________；直线与的位置关系是________； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线相交于点C，使得； (3)若射线绕点A顺时针先转动20秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)45，45， (2)至少旋转12秒 (3)或 【分析】（1）利用非负性，求出的值，根据平行线的判定方法，即可得出结论； （2）设至少旋转秒时，射线AM、射线BQ相交于点C，使得，如图，过点作，得到，推出，进而得到，进行求解即可； （3）分到达之前，和到达之后又返回时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45，45，； （2）设至少旋转秒时，射线、射线相交于点C，使得， 如图，由题意，得：，，过点作，    由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴至少旋转12秒； （3）设射线再转动t秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动20秒后，转动至的位置，， ①当到达之前，    由题意，得：，， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ②当到达之后又返回时， 当到达时，所需时间为秒，此时， ∴当到达之后又返回时，在的左侧与平行，如图：    ∵， ∴， ∵， 又 ∴，即：， 解得：； 此时，满足题意； 综上：或． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是读懂题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，本题的综合形较强，难度较大，属于压轴题． 6．已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图，求证：．    (2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．    (3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．    【答案】(1)见解析 (2)30° (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质，结合，即可得出结论； （2），得到，推出，，得到，推出，设，推出，，根据，求解即可； （3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）证明：过点作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 设：，则：， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在下方时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴； ②当点在上方时，如图：    同理可得：， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题． 题型六、坐标系中动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)25 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，算术平方根，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）连接，过B作于E，过A作轴于F，则，设C运动的时间为t秒时，，则，根据，可得，即可得解； （3）平移至，则，，根据面积关系可得，当时，的面积最大，求出的面积的最大值即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 2．平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2) 如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于3，求的取值范围； (3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) (3)当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时， 【分析】（1）由非负性可求，的值，由三角形的面积公式可求点坐标； （2）由平移得出，求出，根据，结合，得出，求出，根据，结合的面积大于3，得出，求出m的范围即可； （3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， 点坐标为； （2）解：如图，连接， 将线段平移到，点的坐标为，， ∴线段向左平移5个单位， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∵ ， ∵的面积大于3， ∴， 解得：， ∵为线段上一点， ∴ ∴． （3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于， 将线段平移到， ，， ， ， ， ， ； 如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点， 将线段平移到， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线与轴的交点上方时， ， 又， ， 由对顶角得， ， ， ， 综上所述：当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，坐标与图形，平行线的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 4．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在点M，点M的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据坐标轴上A，B两点间的距离等于8个单位长度，列出方程，计算求解即可； （2）根据题意先确定的面积，进而求出的面积，利用的面积公式进行求解计算即可； （3）设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，分情况讨论当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧或右侧时的情况，由重叠面积为，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度， ，， ， 解得， 故答案为：2； （2）解：点M存在； 、， ， 的面积的面积， ， 当点M在x轴上时，设， ， ， ， 或， 答：存在点M，点M的坐标为或； （3）解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1， 由题意可知，秒后，点、、， 当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， 点在上， ； 当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， ， 点在上， ，即， 综上所述，点M的坐标为：或． 答：点M的坐标为：或． 1．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式依次求出前几个对称点的坐标，找出坐标的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：设， ∵点关于点的对称点为，是的中点， ∴ ， ， 解得，，即 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴点的坐标每次循环一次， ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 3．（2026·河北邯郸·二模）对于点和，将点在平面直角坐标系中作如下变换： 第一步：将点沿轴方向平移个单位长度（当时，将点向上平移个单位长度，当时，将点向下平移个单位长度）得到点； 第二步：将点关于直线对称得到点．我们就称为“对的变换点为点”． 例：如图，点对的“变换点”为． 对于点，，，，有下列结论： 结论一：点对的“变换点”为点； 结论二：若点对的“变换点”为点，则，； 结论三：点的坐标为，点为点对点的“变换点”，若，则． 以上结论正确的是（     ） A．只有结论一正确 B．只有结论二不正确 C．三个结论都正确 D．三个结论都不正确 【答案】B 【分析】根据题目定义的变换规则，推导出点对点的变换点的坐标公式，然后分别代入各结论中的数据进行计算验证即可． 【详解】解：设点，点， 第一步：将点沿轴方向平移个单位， 若，向上平移，纵坐标变为； 若，向下平移，纵坐标变为，故平移后点的坐标为； 第二步：将点关于直线对称得到点，则点的纵坐标与相同，为； ∴点的横坐标满足，即， ∴点对点的变换点的坐标为． 对于结论一：，，即，，，， ∴变换点的横坐标为，纵坐标为， ∴，结论一正确； 对于结论二：对的变换点为，即，，，， ∴变换点坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴结论二不正确； 对于结论三：对的变换点为，即，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵，， ∴平行于轴，且， ∵点到直线（即直线）的距离， ∴， ∵， ∴，解得， ∴结论三正确， 综上所述，结论一和三正确，结论二不正确． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知各位数字均不为零的四位自然数．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于69，那么就称这个数为“69大衍数”例如：四位数，，是“69大衍数”．按照这个规定，最小的“69大衍数”是______；把“69大衍数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设，若是“69大衍数”，为完全平方数，为整数，且，则满足条件的为______． 【答案】 1518 2463 【分析】根据“69大衍数”的定义得到，，，，要使最小，则，进而可得最小的“69大衍数”；根据题意可知，，可知，根据为完全平方数，，，，可知只能为6，此时，根据逐一代入判断即可． 【详解】解：一个四位自然数，其中各数位上数字均不为零，， ， 即， ∵， ∴， 由可得， 又∵为整数， ∴是10的倍数， 故， 即， 因此， ，，，， 要使最小，则，此时，同理，，此时， 最小的“69大衍数”是1518； ， ， ， 为完全平方数，，，， 只能为6，此时， ，即， 当时，，则，， ，不是整数，不符合题意； 当时，，则，， ，不是整数，不符合题意； 当时，，则，， ，不是整数，不符合题意； 当时，，则，，得， ，是整数，则2463符合题意； 当时，，则，， ，不是整数，不符合题意； 满足条件的为2463． 5．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，点，向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；点向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；点向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；；按这个规律平移得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由条件可知点A的平移分为右、上两个方向，通过探究可以发现，在两个方向上每次平移的距离都是上一次平移距离的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：在水平方向上，第1次平移的距离为，平移后点的横坐标为1； 第2次平移的距离为，平移后点的横坐标为； 第3次平移的距离为，平移后点的横坐标为； …， 则第n次平移的距离为，平移后点的横坐标为． 同理，在竖直方向上，第1次平移的距离为，第1次平移后点的纵坐标为2； 第2次平移的距离为，平移后点的纵坐标为； 第3次平移的距离为，平移后点的纵坐标为； …， 则第n次平移的距离为，平移后点的纵坐标为． 由此可知的坐标为． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)45秒或75秒 (3) 【分析】（1）过点G作的平行线，根据两直线平行，内错角相等进行求解； （2）先求出转动时间的取值范围，再分为点G在右侧和左侧两种情况进行讨论，运用第一小问作辅助线得出的结论进行求解； （3）四边形内角和是是解题的关键，运用角平分线的性质和第一小问作辅助线得出的结论进行求解． 【详解】（1）解：过点G作，如答案图①所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）设灯F转动t秒时，， 因为灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度，则灯E射线旋转至时，，故， 当点G在右侧时，易知点G在上，如答案图②， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 当点G在左侧时，可知灯F射线是在转到上后，返回的过程，如答案图③， ，， 由（1）可得：， 解得：， 综上所述，灯E射线到达之前，灯F转动45秒或75秒时，． （3），理由如下： 如答案图④所示， 当未到达前，设灯转动x秒，由题意可知、分别平分、， 设，， 可以得到：， 由（1）可得， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了平行线中的猪蹄模型，熟记过拐点作平行线，掌握平行线的性质以及四边形内角和是是解题的关键． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）规定：平面内任意两个角，．若满足，则称是的倍欢乐余角．例如：若，，满足，则是的2倍欢乐余角． (1)，求的3倍欢乐余角度数是________； (2)如图1，，点在的上方，连接、，，是的倍欢乐余角．求的度数； (3)如图2，在（2）条件下，是的倍欢乐余角，的三等分线的反向延长线与交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据3倍欢乐余角的定义列方程求解； （2）过点作，则，进而推出，再根据是的倍欢乐余角，得，即可求解； （3）根据是的三等分线，得或，分别画出图形，当时，过点作，由推出，再根据可计算出，再根据是的倍欢乐余角，得，即可求的值；当时，同理可求． 【详解】（1）解：设的3倍欢乐余角度数为， 则，即， 解得， 即的3倍欢乐余角度数是； （2）解：过点作， ∵，， ， ，， ， 是的倍欢乐余角， ， ，； （3）解：由（2）得， 又是的三等分线， 或， 当时，， 过点作， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是的倍欢乐余角， ， 即， 解得：； 如图3，当，， 过点作， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是的倍欢乐余角， ， 即， 解得：． 综上所述：或． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 10．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践： 课题 探究一副三角尺中的平行线问题 素材背景 利用平行线的性质探究一副三角板摆放不同位置涉及的数学问题 素材 如图1是一副三角尺，，，，， 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点和点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______度； (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，探究与有怎样的数量关系？ (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行时，的度数所有可能的值（直接写出答案，如图4提供了其中一种情况）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的度数所有可能的值是或或或或 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 11．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 12．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 【答案】(1)6或 (2)1或2 (3)①3；②15个 【分析】（1）先计算点的长距，因为、是等距点，所以的长距等于的长距，据此列含绝对值的方程求解． （2）分别写出和的长距表达式，因为两点是等距点，所以二者长距相等，分情况讨论的长距是还是，列方程求解后验证是否符合长距定义． （3）①先求出线段的解析式，设的坐标，写出其长距的表达式，利用函数性质或绝对值不等式求最小值。②先确定的长距的取值范围，再根据在三角形内部、横纵坐标为整数且与等距的条件，逐个筛选符合条件的的坐标，统计个数． 【详解】（1）解：、两点为“等距点”， ， 解得或； （2）解：，两点为“等距点”， ①当时， 解得或， 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为4，符合条件； 在时，， 点的“长距”为4，点的“长距”为31，不符合条件； ②当时， 可得或， 解得或， 在时，， 点的“长距”为5，点的“长距”为5，符合条件； 在时，， 点的“长距”为3，点的“长距”为4，不符合条件； 综上，或； （3）解：①根据图形可得当点在时，点的“长距”最小，“长距”为3； ②点的横、纵坐标均为整数，且，两点为“等距点”， 点的横、纵坐标均为整数， 当点的“长距”为6时，没有符合条件的点； 当点的“长距”为5时，符合条件的有点，共1个； 当点的“长距”为4时，符合条件的有点，，，，，共5个； 当点的“长距”为3时，符合条件的有点，，，，，，，，，共9个， 综上，所有可能满足条件的点的个数是个 13．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①，，；②的面积为；③ 【分析】（1）根据 ，正方形的边长为4，即可求出； （2）①利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，得到，即可解答； ②当时，，，此时P点位于上，结合图形利用割补法求面积即可； ③先确定，，然后运用割补法求面积以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴； （2）解：①∵， ∴，，， ∴，，， 即正方形的边长为， ∴， 答：，，； ②当时，，， ∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 14．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； (3)如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)点，点 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b,得到答案； （2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N．根据构建方程求解即可． （3）如图2中，延长交的延长线于M．首先证明，再利用结论，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，且 ， ∴， 解得， ∴点，点； （2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N． ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为， ∵， 由点平移到点，平移方式为向左平移2个单位，再向下平移5个单位， 根据平移规律，点D的坐标为； （3）解：如图2中，延长，交的延长线于M． ∵由平移可得， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2) ； ； ，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $专题10 压轴真题专项训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、新定义型问题 1 题型二、规律探究类问题 3 题型三、三角尺中的平行线问题 4 题型四、平行线模型 7 题型五、平行线动态旋转问题 12 题型六、坐标系中动点问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、新定义型问题 1．定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 3．对一组数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于0，1，2进行“差绝对值运算”，得到： ． ①对，，3，5进行“差绝对值运算”的结果是25； ②当时，，2，5，的“差绝对值运算”的值最小，最小值为33； ③若，，的“差绝对值运算”的结果6，且与同号，、均为正整数，且，，互不相等，则的取值有6个； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和的平方与它们个位数字之和的平方的差为13，则称为“诚朴数”，把叫做的“诚朴分解”．例如：1435可分解为，满足，则1435的“诚朴分解”为，则“诚朴数”的“诚朴分解”是________；若将“诚朴数”的“诚朴分解”中的的十位数字与个位数字的差，与的十位数字与个位数字的和相加所得的和记为，将的十位数字的2倍与个位数字的和，与的十位数字与个位数字的差相减所得的差记为，．若是“诚朴数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的差为________． 5．定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． (1)点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； (2)点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； (3)已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； (4)点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 6．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型二、规律探究类问题 1．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 3．把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标． 例如1的对应点是原点，3的对应点是，16的对应点是，则点对应的数是_____；2012的对应点的坐标是_______． 4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第100个点的坐标为______，第2020个点的坐标为______． 题型三、三角尺中的平行线问题 1．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．    (1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值． 2．如图1，直线，将一把直角三角尺的直角顶点P放在两平行线之间，两直角边分别交于点E，F． (1)请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若和的平分线相交于点G，求的度数； (3)如图2，若，请用含n的式子表示∠G． 3．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 4．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 题型四、平行线模型 1．如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是_______ （填序号）． ①；②；③；④． 3．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 4．如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 5．【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 6．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 7．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（ ①） （ ②） （ ③） （ ④） （ ⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 题型五、平行线动态旋转问题 1．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 2．如图，已知是直线间的一点，于点交于点． (1)_________； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 3．已知，点M，N分别为和上两点，点E在直线和之间． (1)点G为延长线上一点，平分平分． ①如图1，当点E在线段上时，试判断与的位置关系，并说明理由； ②当点E不在线段上时，直线，交于点P．直接写出与的数量关系为 ； (2)如图2，以每秒30°的速度绕E点逆时针方向旋转到，同时以每秒20°的速度绕N点顺时针方向旋转到，经过多少秒，？（旋转360°时，和同时停止） 4．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且．    (1)求和的值，并求的度数． (2)若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 5．如图，A、B分别为直线、上两点，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是5°/秒，射线BQ转动的速度是3°/秒，设，，且、满足．      (1)________，________；直线与的位置关系是________； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线相交于点C，使得； (3)若射线绕点A顺时针先转动20秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 6．已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图，求证：．    (2)如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数．    (3)在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数．    题型六、坐标系中动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 2．平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2) 如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于3，求的取值范围； (3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 4．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 1．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）对于点和，将点在平面直角坐标系中作如下变换： 第一步：将点沿轴方向平移个单位长度（当时，将点向上平移个单位长度，当时，将点向下平移个单位长度）得到点； 第二步：将点关于直线对称得到点．我们就称为“对的变换点为点”． 例：如图，点对的“变换点”为． 对于点，，，，有下列结论： 结论一：点对的“变换点”为点； 结论二：若点对的“变换点”为点，则，； 结论三：点的坐标为，点为点对点的“变换点”，若，则． 以上结论正确的是（     ） A．只有结论一正确 B．只有结论二不正确 C．三个结论都正确 D．三个结论都不正确 4．（2026·重庆·模拟预测）已知各位数字均不为零的四位自然数．如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于69，那么就称这个数为“69大衍数”例如：四位数，，是“69大衍数”．按照这个规定，最小的“69大衍数”是______；把“69大衍数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设，若是“69大衍数”，为完全平方数，为整数，且，则满足条件的为______． 5．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，点，向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；点向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；点向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点；；按这个规律平移得到点，则点的坐标为______． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）规定：平面内任意两个角，．若满足，则称是的倍欢乐余角．例如：若，，满足，则是的2倍欢乐余角． (1)，求的3倍欢乐余角度数是________； (2)如图1，，点在的上方，连接、，，是的倍欢乐余角．求的度数； (3)如图2，在（2）条件下，是的倍欢乐余角，的三等分线的反向延长线与交于点，当时，求的值． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 10．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践： 课题 探究一副三角尺中的平行线问题 素材背景 利用平行线的性质探究一副三角板摆放不同位置涉及的数学问题 素材 如图1是一副三角尺，，，，， 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点和点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______度； (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，探究与有怎样的数量关系？ (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行时，的度数所有可能的值（直接写出答案，如图4提供了其中一种情况）． 11．（25-26七年级下·山东威海·期中）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 12．（25-26七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．如图1，与两点的“长距”相等（均为3），故它们为一组“等距点”，请依据该定义解答下列问题： (1)如图2，已知点的坐标为，点的坐标为，且、两点为“等距点”，求的值． (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)如图3，三角形三个顶点的坐标分别为，，，点为线段上一个动点（可以与、重合）． ①则点的“长距”的最小值是_____； ②点为三角形内部一点（不含边界），且它的横、纵坐标均为整数，若，两点为“等距点”．则所有可能满足条件的点的个数是_____． 13．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 14．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； (3)如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 15．（25-26七年级下·吉林·期中）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． $