精品解析：河北威县名洲镇李寨中学2025—2026学年第二学期八年级知识梳理数学(人教版)

2025~2026学年第二学期八年级知识梳理 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 3. 若，则以a，b，c为边的三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，求出，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】 以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 故选∶B． 【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出． 4. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 6. 如图，在的正方形网格中标出了和，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点． 将向上平移一个小正方形的边长到，连接，设每个小正方形的边长为，通过证明，得到，通过证明是等腰直角三角形，得到，进而得到． 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先把分子分母因式分解，再约分化简，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，垂足为点，与交于点，连接．若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点． 根据菱形的性质证明，得到，根据三角形内角和定理得到，继而得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 9. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， 即， ， ． 10. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，在和中，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，计算出，，，的长度，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点，如下图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 12. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法，绝对值，负整数指数幂，再计算加减运算即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式计算，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】（1）， （2）16 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； 【小问2详解】 由（1）得：，， ∴； 【小问3详解】 ∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． 【小问2详解】 ，是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 20. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【解析】 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 21. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为6 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． （1）正方形的性质，得到，，结合，即可证明； （2）连接交于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出，，由，可得：，根据周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形 ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：连接交于点O， 四边形为正方形，， 垂直平分，， ，， 由（1）知， ， 四边形的周长为， 在中， ， ； 答：的长为6． 22. 善于思考喜欢探索的小明在研究平面直角坐标系中两点间的距离时，利用勾股定理，通过数形结合发现（如图）．平面内的任意两点的距离，满足经小明查阅资料得知，以上发现是成立的． 在平面直角坐标系中，叫做两点的距离公式．请你根据数形结合的思想和所学知识，解决以下问题 （1）两点的距离为 ； （2）两点的距离为 ； （3）已知的顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题就主要考查勾股定理的应用及其逆定理的应用: （1）根据题意，直接套用公式代入即可得答； （2）根据题意，直接套用公式代入即可得答； （3）根据两点间距离公式求出三边长，再判断三角形的形状即可 【小问1详解】 解：根据两点间距离公式，得： 故答案库恩：5； 【小问2详解】 解：根据两点间距离公式，得： 故答案为：； 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形 ∵ ∴； ； ； ∴ ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形 23. 小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． （2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 【答案】（1）菱形、正方形 （2） （3）①见解析；②130 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）①连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 ∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； 【小问2详解】 如图1所示： ∵四边形的面积=的面积+的面积 =； 故答案为：； 【小问3详解】 ①证明：连接交于N，交于M，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积 【点睛】本题考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 24. 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）当时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为矩形，求t的值； （3）若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． 【小问3详解】 解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级知识梳理 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 2. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则以a，b，c为边的三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 4. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中标出了和，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，垂足为点，与交于点，连接．若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 9. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 15. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 20. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 21. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 22. 善于思考喜欢探索的小明在研究平面直角坐标系中两点间的距离时，利用勾股定理，通过数形结合发现（如图）．平面内的任意两点的距离，满足经小明查阅资料得知，以上发现是成立的． 在平面直角坐标系中，叫做两点的距离公式．请你根据数形结合的思想和所学知识，解决以下问题 （1）两点的距离为 ； （2）两点的距离为 ； （3）已知的顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由． 23. 小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． （2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 24. 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）当时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为矩形，求t的值； （3）若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $