初中期末复习通关卷（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末冲刺卷（北师大版·新教材）

**基本信息** 初中数学期末冲刺卷，融合传统文化（明代绫罗尺价问题）、新定义（智慧数）及项目式学习（无人机购买），通过几何直观与运算能力考查，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6|轴对称与中心对称、分式化简、三角形全等|新定义“智慧数”结合平方差公式| |填空|6|古代数学文化、垂直平分线、分类讨论|三角板旋转问题渗透分类讨论思想| |解答题|11|项目式学习（无人机）、几何证明、因式分解|综合题融合转化思想与空间观念|

初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习通关卷 一、单项选择题 1. 中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（） A. B. C. D. 4. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. （新定义题） 5. 一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是“智慧数”的是（ ） A. 48 B. 120 C. 30 D. 32 6. 如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 7. 若，则________． （古代数学文化） 8. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 9. 如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为____________． 10. 如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 11. 关于x的不等式组至少有2个偶数解，且关于m，n的方程组的解均为整数，则符合条件的所有整数a的积为______． （分类讨论思想） 12. 将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时，________________． 三、解答题 13. （1）分解因式； （2）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 （运算能力） 14. 先化简，再求值：，其中m满足． （空间观念） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 16. 如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图． （1）如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点； （2）如图2，点，在平面内找一点G，使与全等． （几何直观） 17. 如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． （1）求证：； （2）当时，求． 四、解答题 18. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． （应用意识） 19. 某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． （1）求，两款帆布袋的单价分别为多少元． （2）某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 20. 如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 五、解答题 （课标 项目式学习） 21. 综合与实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，越来越多的国产无人机应用于实际生活，为人们的生活带来了便利 素材1 某农业公司欲购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型无人机比B型无人机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型无人机喷洒40公顷农田所用时间与B型无人机喷洒50公顷农田所用时间相等 素材2 已知购买1架A型无人机和1架B型无人机共需要11万元，购买2架A型无人机比1架B型无人机贵4万元，农业公司计划购进20架无人机 （1）A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地 （2）A，B两种型号无人机每台各多少万元 （3）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，则该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总费用最少？请求出最少费用 22. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； （2）若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； （3）仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； （4）利用（3）中结论计算：． 六、解答题 （转化思想） 23. 【课本再现】 （1）如图1，是的中位线，求证：，． 证明：延长至点．使，连接 …… 请你把证明过程补充完整． 【类比迁移】 （2）如图2、是的中位线，是平面内任意一点，将点分别绕着点，旋转得到点和，连接，猜想和的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，，分别是边，的中点，点在内部、将点分别绕着点，旋转得到点和，顺次连接，，，得到四边形，试求四边形的面积． 初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习通关卷 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形；根据轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合的图形；即可解答． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形(绕中心旋转与自身重合)； B、是轴对称图形(有多条对称轴)，但绕中心旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：B． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． （新定义题） 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式把每一个数表示成两个非零自然数的平方差，即可解答． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不能表示为两个非零自然数的平方差，符合题意； D、，不符合题意． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；最后求出S▱AEFD=6，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC=DF=AE=4， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB=EF=AD=3， ∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确； 过A作AG⊥DF于G，如图所示： 则∠AGD=90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°， ∴AG=AD=， ∴，故④正确； ∴正确的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键． 二、填空题 【7题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 （古代数学文化） 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠问题，勾股定理，折叠结合平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为： 【11题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程组的求参，首先解不等式组，得到解集范围，由至少有2个偶数解得出．再解方程组，由解为整数得出是4的约数，从而得到可能的a值，结合筛选出，这些均满足条件，求积得0． 【详解】解：解不等式组： 由，解得． 由，解得． 故不等式组的解集为且． 要求至少有2个偶数解，则需解集包含和，故，即． 解方程组：， 由第二式得，代入第一式得，即， 所以． 代入得． 要求m，n均为整数，则需是4的约数，即， 解得． 结合，得． 对于这些a值，验证不等式组均有至少2个偶数解，且方程组解为整数． 故所有整数a为0，1，3，4，6，其积为． 故答案为：0． （分类讨论思想） 【12题答案】 【答案】秒或秒或秒 【解析】 【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点E落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值． 【详解】解：设旋转角为α，则旋转的时间（秒）， 在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行， 有以下三种情况： （1）当时， ， ∴点E落在线段上时， 旋转角， （秒）； （2）当时，则， ， ， 旋转角， （秒）； （3）当时，则， ， 旋转角， （秒）； 综上所述：秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）根据和成中心对称，得，得到，于是得到，解答即可． 本题考查了因式分解，中心对称，中线与三角形的面积，熟练掌握因式分解，中心对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：和成中心对称，的面积为4， ， ， ． （运算能力） 【14题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 （空间观念） 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出、的对应点即可画出旋转后对应的；再利用平移的性质作出、、的对应点即可画出平移后对应的； （2）连接、，和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：如图所示，、即为所求； 【小问2详解】 解：连接、，和的交点即为旋转中心，坐标为． 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等： （1）如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明点G为三条中线的交点，则点F即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求； 易证明，则，据此易证明． （几何直观） 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识． （1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两个三角形全等； （2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出的长度． 【小问1详解】 证明：和都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边， ， ， 在和中， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）④等角对等边（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （应用意识） 【19题答案】 【答案】（1）两款帆布袋的单价分别为8元和5元 （2）当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【小问1详解】 解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； 【小问2详解】 解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明． （1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ．在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． ， ， ．， ， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有 五、解答题 （课标 项目式学习） 【21题答案】 【答案】（1）A型无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型无人机平均每小时喷洒10公顷地 （2）A型无人机每台5万元，B型无人机每台6万元 （3）购买A型无人机、B型无人机各10台才能使总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】（1）设型无人机平均每小时喷洒公顷地，则型无人机平均每小时喷洒公顷地，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）设型无人机每台万元，型无人机每台万元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （3）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设总费用为万元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：设型无人机平均每小时喷洒公顷地，则型无人机平均每小时喷洒（）公顷地． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意， （公顷）． 答：型无人机平均每小时喷洒公顷地，型无人机平均每小时喷洒公顷地． 【小问2详解】 解：设型无人机每台万元，型无人机每台万元． 根据题意，得解得 答：型无人机每台5万元，型无人机每台6万元． 【小问3详解】 解：设购买型无人机台，则购买型无人机台． 根据题意，得， 解得． 设总费用为万元，则． ， 随的增大而减小． ， 当时，值最小，． （台）． 答：购买型无人机、型无人机各台才能使总费用最少，最少费用为万元． 【22题答案】 【答案】（1）提取公因式法，2 （2）2025， （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； 【小问2详解】 解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 六、解答题 （转化思想） 【23题答案】 【答案】（1）见解析；（2）（或与在同一直线上），．理由见解析；（3）6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全都是三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理的运用． （1）证明，得，然后证明四边形为平行四边形，即可解决问题； （2）分当点F不在过点B且与平行的直线上和点F在过点B且与平行的直线上两种情况讨论求解即可； （3）连接，由（2）的思路结合平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）证明：延长至点F，使，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）猜想：（或与在同一直线上），．理由如下： ①当点F不在过点B且与平行的直线上时， 如图，连接， ∵点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴三点共线． ∴． ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当点F在过点B且与平行的直线上时，如图， 连接并延长交直线于，连接并延长交直线于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴可以看作是点F绕着点D旋转而得到， 又点F分别绕着点D旋转得到点G， ∴与G重合， ∴， 同理，与H重合，， ∴和在同一直线上，， ∴，即， 综上所述，（或与在同一直线上），．； （3）如图，连接， 由（2）可知，，， 又， ∴， ∴四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $