初中期末复习抢分卷（Word版）-【学海风暴】2026年八年级下册数学期末冲刺卷（北师大版·新教材）

**基本信息** 以期末复习为导向，融合几何直观、模型意识等核心素养，通过新定义“好点”、折叠钓鱼椅几何抽象、研学租车方案等真实情境问题，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|分式意义、不等式、几何最值、因式分解|第3题结合等边三角形轴对称求最值，体现空间观念| |填空题|6|完全平方公式、分式性质、四边形面积、新定义|第10题“好点”新定义，考查一次函数与不等式综合应用| |解答题|11|因式分解、几何证明、实际应用、综合探究|第17题折叠椅几何建模（模型观念），第22题配方法项目式学习，第23题综合实践探究全等与中位线关系|

初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且且 2. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A. B. C. D. 3. 如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 下列四个判断：其中正确的有（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 对于任意整数，多项式都能（　　） A. 被6整除 B. 被7整除 C. 被8整除 D. 被9整除 6. 如图，在平行四边形中，，，，点P以每秒2个单位长度的速度在平行四边形上运动，运动路线是，设点P运动的时间为x秒，以D，A，P三点为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 8. 已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为______． 9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． （新定义题） 10. 定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 11. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． （几何直观） 12. 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为____时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题 13. （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 14. 如下图，在和中，，．将绕点顺时针旋转一定角度，当时，求的度数． 15. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 16. 已知，，为中点，于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将绕点逆时针旋转至； （2）在图2中，将绕点顺时针旋转 至． （模型观念） 17. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面的距离． 四、解答题 18. 为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去新余揽山湖开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，汽车总数不能小于_____辆：又要保证每辆客车上至少要有2名老师，汽车总数不能超过_____辆：综上可知租用客车总数为_____辆：（车辆数取整数） （3）在（2）的条件下，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． （转化思想） 19. 如图①，在与中，，． （1）与的数量关系是：________． （2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：． ②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由． 20. 如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． （1）求证：． （2）如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 五、解答题 21. （一题多解法）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所做的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设⋯⋯、等量关系：甲种图书数量乙种图书数量 解法二 设⋯⋯、等量关系：甲种图书单价－乙种图书单价 （1）解法一所列方程中的表示___________，解法二所列方程中的表示________．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． （3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量． （课标 项目式学习） 22. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 六、解答题 23. 综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围. 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限. 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响. 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ① ∵，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾）， ∴ ， 两边同除以 得 ，正确. ② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误. ③ ∵，两边加 2 得 ，正确. ④ ∵，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确. 综上，正确命题有 3 个. 故选：C． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式分解因式，化简后判断整除性即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 为整数， ∴ 为整数， ∴ 原式能被9整除． 故选：D 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， 由题意可得：点到的过程中，、、三点不能够组成三角形，所以； 点到的过程中，； 点到的过程中，； 点到的过程中，， 由以上各段函数解析式可知，选项B正确， 故选：B． 二、填空题 【7题答案】 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 【9题答案】 【答案】114 【解析】 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （新定义题） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． （几何直观） 【12题答案】 【答案】0或4或或8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、一元一次方程的几何应用，根据平行四边形的性质得到，只需，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，故分情况讨论列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴，，即， 若，则以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形； 设运动时间为，当P到D的时间为，点Q到B的时间为， 根据题意，分四种情况： ①当时，，，则，， ∴，解得； ②当时，，，则， ∴，解得； ③当时，，，则， ∴，解得； ④当时，，，则， ∴，解得， 综上，当t为0或4或或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查分解因式及解分式方程， （1）根据提公因式法和公式法分解因式； （2）根据分式方程解法解方程，再检验即可． 【详解】解：（1）； （2）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴原方程的解为：． 【14题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案． 【详解】解：，， ． 当点在点的左侧时，如图①． ， ， ． 当点在点的右侧时，如图②． ， ， ． 综上所述，当时，的度数为或． 【15题答案】 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示为 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长、交于点，即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，延长、交于点，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接、交于点，连接并延长交于，连接并延长交的延长线于，即为所求， ， ∵在中，， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴即为所求． （模型观念） 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵， 延长交于，连接， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）老师有名，学生有名 （2）8；8；8 （3）共有3种租车方案，方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为元；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为元；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组解决实际问题等知识． （1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可； （2）根据总人数和老师人数结合辆车的情况分析即可． （3）设租用辆乙种客车，则甲种客车数为：辆，根据总费用不超过3100元，且300名师生都有座得出x的取值范围，进而可得出方案以及费用，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设老师有名，学生有名． 依题意，列方程组为， 解得：， 答：老师有名，学生有名． 【小问2详解】 解：老师和学生总人数为：名， 假设全部坐甲车，则需（辆），全部坐乙车需要，取整为8（辆）， 则既要保证所有师生都有车坐，汽车总数不能小于8辆， 又要保证每辆客车上至少要有2名老师，汽车总数不能超过（辆）， 综上可知租用客车总数为8辆． 【小问3详解】 解：设租用辆乙种客车，则甲种客车数为：辆， 车总费用不超过元，且使名师生都有座， ， 解得：， 共有3种租车方案： 方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． （转化思想） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握． （1）根据线段的和差定义即可解决问题； （2）①只要证明，即可解决问题； ②利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 ①证明：由旋转的性质，得， ∴，即 . ∵，， ∴， ∴； ②解：.理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要运用平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形面积公式来解题． （1）通过平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义和等角对等边证明； （2）利用平行四边形性质和等腰三角形性质得出角度关系，进而判断为直角三角形，通过勾股定理求出的长度，最后根据三角形面积公式求解的面积． 【小问1详解】 证明：是的角平分线， ， 在平行四边形中，， ， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）可知，且， ， ， 为等腰三角形， 设，， ，， 又， ， ， ， 即为直角三角形， ， 过点作， ，，， ， ． 五、解答题 【21题答案】 【答案】（1）①；③ （2）甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元 （3）35本 【解析】 【分析】（1）根据解法一所用等量关系及所列方程，可找出解法一所列方程中的表示甲种图书的单价；根据解法二所用等量关系及所列方程，可找出解法二所列方程中的表示甲种图书购买的数量； （2）解法一，解分式方程，经检验后，可得出的值（即甲种图书的单价），再将其代入中，即可求出乙种图书的单价；解法二，解分式方程，经检验后，可得出的值（即甲种图书购买的数量），再分别将其代入及中，即可求出甲、乙两种图书的单价； （3）设甲种图书购进本，则乙种图书购进本，利用总价=单价×数量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵解法一所用等量关系为甲种图书数量=乙种图书数量，且所列方程为， ∴解法一所列方程中的表示甲种图书的单价； 解法二所用等量关系为甲种图书单价乙种图书单价，且所列方程为， ∴解法二所列方程中的表示甲种图书购买的数量． 【小问2详解】 解：选择解法一．设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元． 依题意，得， 方程两边同乘，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 故甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元． 一题多解法 （2）选择解法二．设购买甲、乙两种图书各本． 依题意，得， 方程两边同乘，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意， ，． 故甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元． 【小问3详解】 解：设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本． 由题意，得， 解得． 故甲种图书最多能购买本． （课标 项目式学习） 【22题答案】 【答案】（1）； （2）当时，最小值为； （3）的形状是等边三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当当时，最小值为． 【小问3详解】 解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 六、解答题 【23题答案】 【答案】（1） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $