精品解析：甘肃省定西市临洮县2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，则（ ） A B. C. D. 3. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 4. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列区间是函数单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 恰有两个零点 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若函数，则__________. 13. 已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 14. 已知，，则__________，的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，向量，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. （1）证明：. （2）求点到平面的距离. 18. 甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. （1）求第二局比赛结束后乙获胜的概率； （2）求第四局比赛结束后甲获胜的概率； （3）求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 19. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点距离之和最小?现已证明在中，若三个内角均小于120°，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题. （1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积； （2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值； （3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一阶段性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，进而判断出对应点所在象限. 【详解】，对应点， 对应点在第一象限. 故选：A 2 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集、补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3. 样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【详解】样本数据由小到大排列，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. 4. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 5. 下列区间是函数单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 7. 已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求底面半径，再由圆锥的体积公式求体积. 【详解】设圆柱、圆锥的底面半径为，高为2，则， 所以，故圆锥的体积为. 故选：C 8. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 恰有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、 对数函数性质分析即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故的值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数解析式，直接求出函数值即可. 【详解】当时，解得，则. 故答案为：1. 13. 已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 14. 已知，，则__________，的最小值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，则，得到，结合两角差的余弦公式，求得，得到，得出，再化简得到由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，则， 因为，可得， 所以，可得， 两边同除以，可得，即. 由， 因为且，可得， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是， 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，向量，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行的坐标关系得出的值，代入差角的正切表达式求得结果； （2）利用向量点积的坐标运算列等式，整理后转化为正弦函数形式，结合角度范围求解. 【小问1详解】 由，得，即，故. . 【小问2详解】 ，整理得， 即，变形为，故. 因，则，解得， 即. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由条件根据余弦定理求，再结合的范围求结论； （2）由条件，结合正弦定理可求，由关系求，由此可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得． 因为，所以． 小问2详解】 因为，， 由正弦定理可得． 由（1）可知， 所以，解得， 所以的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. （1）证明：. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判定可得证； （2）如图，取的中点为，连接，，根据等体积法可求得答案. 【小问1详解】 在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 18. 甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. （1）求第二局比赛结束后乙获胜的概率； （2）求第四局比赛结束后甲获胜概率； （3）求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【小问1详解】 设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； 【小问2详解】 第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； 【小问3详解】 第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 19. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小?现已证明在中，若三个内角均小于120°，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题. （1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积； （2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值； （3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，利用余弦定理推导出，然后在中利用余弦定理求，再结合三角形的面积公式即可得解； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，记点可得，结合“费马点”的定义求解即可； （3）利用正弦定理、余弦定理求出及的长，求出，进而可得出，利用三角形的面积公式结合平面向量数量积的定义可求得结果. 【小问1详解】 设， 由，所以， 由，所以， 两式作差，得，而，则， 在中，则， 所以； 小问2详解】 在中，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设点，则，，， 所以， 所以表示到点的距离之和，如下图， 由题意，为的费马点时为最小值， 由，，设， 由余弦定理得，即， 同理得，，联立可得，， 所以最小； 【小问3详解】 如下图， 在中， 由正弦定理得，则， 由，则为锐角，所以， 由，则，故， 在中，可得， 所以， 故， 又， 所以， 由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $