初中期末复习抢分卷（Word版）-【学海风暴】2026年七年级数学期末冲刺卷（人教版·新教材）

**基本信息** 初中数学期末复习抢分卷，通过跨学科物理题（反光镜光反射原理）、新定义运算、纠错题等创新设计，融合抽象能力与推理意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|统计概念、坐标几何、实数比较|结合数轴墨迹覆盖等情境考查空间观念| |填空题|6|点坐标、抽样估计、跨学科物理|新定义运算（如自定义实数运算）培养创新意识| |解答题|11|方程组、作图、情境应用|购物方案设计（李老师购球）体现模型意识，隧道探照灯旋转题发展推理能力|

初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 1. 为了考查某市参加中考的学生的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 所有考生是总体 B. 每名考生的数学成绩是个体 C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 2000名是样本容量 2. 已知直线轴，且，则的长为( ) A. 4 B. 5 C. 9 D. 15 3. 如图，已知点在上，，，，则的度数是（     ） A. B. C. D. 4. 如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（ ） A. 1，－1 B. －1，1 C. 2，－1 D. －2，1 6. 如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ___________ ． 8. 为了了解某市初中生的视力情况，有关部门在全市范围内进行了抽样调查，在抽查的4500人中，视力不良的有2160人．如果该市有初中生15万人，那么全市视力不良的初中生约有 ________ 万人． 跨学科物理 9. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有，，其原理如图2所示，若，则的度数为______． 新定义题 10. 定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 11. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____________．（一题多解法） 12. 关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为________． 三、解答题 13. 计算： （1）； （2）解方程组： 14. 已知平面直角坐标系中一点，分别求出满足下列条件的点的坐标． （1）点在轴上． （2）点在第一象限，且点到轴、轴的距离相等． 纠错题 15. 阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 （1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误． （2）请写出正确的解题过程． 16. 如图是的正方形网格，已知（三个顶点均在格点上），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）图1中，在的内部作，使且； （2）图2中，在的内部作，使点P为格点，而且． 17. 小亮和小红共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小红胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小红；下完第8盘后，小红得分高于小亮，小亮最终胜了几盘？ 四、解答题 18. 观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 （1）图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； （2）在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． （3）如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 整体思想 19. 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 20. 某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，以发展“汗水里绽放笑脸”的素质教育．现随机抽取20名学生，统计他们每天的运动时间，将其整理并绘制成如下不完整的统计图表在统计数据时不慎将墨汁滴到了统计表中． 根据以上信息，解决下列问题． （1）请补全图中的频数直方图； （2）墨汁盖住的数字共          个，扇形统计图中第四组所对应的圆心角的度数是          ； （3）若该校共有学生2000人，试估计该校每天的运动时间不少于的学生有多少人． 五、解答题 21. 如下图，已知，平分，． （1）求证：． （2）若，试判断与的位置关系，并说明理由． 情境应用 22. 李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 （1）求篮球和足球的标价分别为多少元； （2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 六、解答题 推理能力 23. 中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． （1）求的度数； （2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，解题关键是明确本题考查对象是考生的数学成绩，准确区分四个概念，总体是考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目. 【详解】解：A、所有考生的数学成绩才是总体，故A错误，不符合题意； B、每名考生的数学成绩是个体，故B正确，符合题意； C、名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C错误，不符合题意； D、是样本容量，样本容量是数字不包含“名”，故D错误，不符合题意． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行内错角相等推得即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键． 先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域． 【详解】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意； B、，对应点在之间，不符合题意； C、，且，对应点在之间，不符合题意； D、， 对应点在之间，符合题意． 故选：D． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据第一行的数求出该行的和，再利用对角线的和与该行和相等列方程求y，接着结合列的和与该行和相等求x，最后验证选项． 【详解】解：首先，计算第一行的和： ∵左上到右下的对角线的和与每行和相等， ∴， 化简得， 解得， 再根据第三列的和与第一行和相等， ， 代入， 得， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了三阶幻方的性质，掌握每行、每列及对角线上的数之和相等是解题的关键． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 二、填空题 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解． 【详解】解：点P在第四象限且到x轴距离为5，到y轴距离为3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本数据估计总体． 利用抽样调查中视力不良的比例，估计全市初中生视力不良的人数． 【详解】解：抽样调查中，视力不良的比例为， 全市初中生总人数为15万人，因此视力不良人数估计为万人． 故答案为：． 跨学科物理 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定，解题关键是利用平行线的性质求出相关角度． 由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 新定义题 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】首先解方程组，利用表示出、的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围；也可以将两式相加，可直接求出，由此可得到一个关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解： ①②，得，解得， ①②，得，解得． ∵， ∴， 去分母，得， 解得 则的取值范围是． 一题多解法 ①+②得，． ∵， ∴， 解得， 则的取值范围是． 【12题答案】 【答案】0或6或8 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的整数解，不等式的解集，掌握知识点是解题的关键． 先解方程得到，由于解是正整数，因此必须是9的正因数，且，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 解得． 由于方程的解是正整数，因此且为整数， 故，即， 且必须是9的正因数． 9的正因数有1、3、9， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 均满足解为正整数． 若为负因数，则为负，不符合要求； 若，则分母为零，方程无解． 因此整数的值为0或6或8． 故答案为：0或6或8． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 原方程组的解为． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）点在轴上，即点的纵坐标为，由此可得到关于的方程，求解代入横纵坐标即可得到点的坐标； （2）点到轴、轴的距离相等且在第一象限，即点的横纵坐标相等，由此可得到关于的方程，求解代入横纵坐标即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在第一象限，且点到轴、轴的距离相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 纠错题 【15题答案】 【答案】（1）二 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【小问1详解】 解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． 【小问2详解】 解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，取画图即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 本题考查了平行线的性质和判定，无刻度直尺作图，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据两直线平行，同位角相等，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据两直线平行，同旁内角互补，画图如下： 则． 则即为所求． 【17题答案】 【答案】小亮最终胜5盘 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的运用， 设小亮赢了x盘，然后根据下完第7盘后，小亮得分高于小红；下完第8盘后，小红得分高于小亮，列出一元一次不等式组，解得x的取值范围，找出取值范围中的整数即可． 【详解】解：设小亮最终胜x场，则小红胜场， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴， ∴小亮最终胜5盘． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【小问1详解】 解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； 【小问2详解】 如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； 【小问3详解】 阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 整体思想 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2）； （3）该校约有人每天运动时间不少于分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中的已知信息，得到未知信息． （1）由统计表和统计图中的信息分别求出第一、二、四组的人数，补全频数分布直方图即可； （2）根据频数分布直方图中各组的人数和统计表中每个组显示的人数，根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心角度数； （3）利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于分钟的人数． 【小问1详解】 解：由统计表可知第一组有人， 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）可知第二组共有个数字， 第二组被墨汁盖住了个， 第三组共有个数， 第三组被墨汁盖住了个数， 第四组共有个数， 第四组被墨汁盖住了个数， 墨汁一共盖住了个数字； 一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟， 利用样本估计总体，可得：， 该校约有人每天运动时间不少于分钟． 五、解答题 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）．见解析 【解析】 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得到，再根据已知条件结合内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由（1）可得，根据角平分线的定义可得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，由此即可得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： 由（1）可得． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 情境应用 【22题答案】 【答案】（1）篮球的标价是80元，足球的标价是100元 （2）李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的建立与求解，以及在实际问题（打折销售和方案设计）中的应用；解题的关键是正确设未知数，根据表格信息列出方程组求解单价，并利用打折后的价格和总预算列出方程寻找整数解． （1）设篮球标价为 元，足球标价为 元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解； （2）先根据第一问结果计算打折后的单价（六折），设购买篮球 个、足球 个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案． 【详解】解：（1）设篮球的标价是元，足球的标价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：篮球的标价是80元，足球的标价是100元． （2）设李老师再次购买篮球个，足球个， 依题意得：，化简，得 ， 、均为正整数， 或或， 答：李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个． 六、解答题 推理能力 【23题答案】 【答案】（1）的度数为； （2）灯A旋转的时间为秒或秒； （3）和关系不会发生变化，． 【解析】 【分析】本题考查邻补角，平行线的性质，一元一次方程的实际应用． （1）由邻补角互补，结合已知，即可得的度数； （2）分情况讨论，当时，由平行线的性质可得，即，求解即可；当时，由平行线的性质可得，即，求解即可； （3）由平行线的性质，结合角的和差关系，可得，，从而可得与的数量关系，根据数量关系是否与有关，即可判断与的数量关系是否发生变化． 【小问1详解】 解：如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：（秒），（秒） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴灯A旋转的时间为秒或秒． 【小问3详解】 解：如图4，设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴和关系不会发生变化，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $