初中期末全真体验卷（Word版）-【学海风暴】2026年七年级数学期末冲刺卷（北师大版·新教材）

**基本信息** 初中数学期末冲刺卷，融合古代数学文化（杨辉三角）、跨学科（地理气温与海拔）及综合实践情境，通过分层设计考查几何直观、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6题|轴对称、整式运算、科学记数法|体育图标考轴对称，杨辉三角体现文化传承| |填空题|6题|三角形稳定性、函数关系、等腰三角形|地理气温表格分析变量关系，新运算定义考查创新思维| |解答题|11题|几何证明、代数化简、概率、函数图像|电影票概率联系生活，综合实践题考查角平分线构造全等|

初中期末冲刺卷·数学 初中期末全真体验卷 一、单项选择题 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放《我和我的祖国》 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 抛掷一枚硬币，反面朝上 5. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. （古代数学文化） 6. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ） A. 36 B. 28 C. 22 D. 56 二、填空题 7. 如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的______． （跨学科 地理） 8. 在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温____． 9. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 10. 若对于m、n定义一种新运算：，例：，则______． 11. 如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 12. 如图已知为射线上一动点（不与重合），，，当以，，三个点中的某两个点与点为顶点的三角形是等腰三角形时，的度数为 ___________________． 三、解答题 13. （1）计算：； （2）如图，已知直线，相交于点，是射线，，求的度数． （运算能力） 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 已知中，，平分，，求的度数． 16. 如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形的对称轴l； （2）如图2，，过点D作的垂线． 17. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 四、解答题 （补充解题过程） 18. 如图，已知，，试说明：∥（请把以下过程补充完整）． 解：因为________（________________）， （已知）， 所以（等量代换）， 所以∥________（________________）， 所以________（________________）． 又因为（已知）， 所以（________________）， 所以∥（________________）． 19. 数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．请你体验： 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____； （2）知识迁移：若，，则_____； （3）变化延伸：，求的值． 20. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求的面积． 五、解答题 21. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上． ①甲到达终点 ； ②甲乙两人相遇 ； ③乙到达终点 ； （2）AB两地之间的路程为 千米； （3）求甲、乙各自的速度． （综合与实践） 22. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 六、解答题 （几何直观） 23. （1）【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：，， _____， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_____． （2）【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则_____； ②如图3，已知，且，当_____，； （3）【应用结论】 如图4，，，，，请说明：． （4）【拓展应用】 如图5，四边形，，平分，，，，求的长． 初中期末冲刺卷·数学 初中期末全真体验卷 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握公式，，是解本题的关键． 【详解】解：A．，不能进行运算，结论错误，不符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论正确，符合题意； D．，结论错误，不符合题意； 故选：C． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. 打开电视时，节目内容具有随机性，无法确定是否正在播放《我和我的祖国》，属于随机事件，不符合题意． B. 车辆到达路口时，交通灯可能为红、黄、绿中的任意一种，遇到绿灯是随机事件，不符合题意． C. 实心铁球的密度大于水的密度，根据物理性质必然沉入水底，属于必然事件，符合题意． D. 抛掷硬币可能出现正面或反面，反面朝上是随机事件，不符合题意． 综上，只有选项C是必然事件． 故选C． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． （古代数学文化） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的规律．根据图形中的规律不难发现的第三项系数为，据此即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； …… ∴不难发现的第三项系数为， ∴第三项系数为， 故选：A． 二、填空题 【7题答案】 【答案】稳定性 【解析】 【分析】此题考查了三角形稳定性的特性．根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． （跨学科 地理） 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温 当海拔高度时，气温 故答案为：． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，理解定义的新运算是解题的关键；按照定义的新运算进行计算，即可解答. 【详解】解：由题意得：， 故答案为：. 【11题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：分为以下5种情况： ①， ∵， ∴； ②， ∵， ∴ ∴； ③， ∵， ∴， ∴； ④， ∵， ∴， ∴； ⑤， ∵， ∴， ∴， ∴； 所以当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和几何图形中角度的计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）根据题意可求出的度数，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴． （运算能力） 【14题答案】 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式以及平方差公式进行运算，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 当，时，原式． 【15题答案】 【答案】70° 【解析】 【分析】利用角平分线的性质可得∠3=∠DCB，等量代换得∠2=∠DCB，利用内错角相等，两直线平行判定DEBC，利用两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】∵CD平分∠ACB（已知）， ∴∠3=∠DCB（角平分线定义）． 又∵∠2=∠3（已知）， ∴∠2=∠DCB（等量代换）． ∴DEBC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）． 【点睛】考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，解题关键是运用了平行线的判定与性质． 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． 【小问2详解】 解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 【17题答案】 【答案】（1） （2）这种方法不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； 【小问2详解】 解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 四、解答题 （补充解题过程） 【18题答案】 【答案】 对顶角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 等式的基本性质 内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】先利用对顶角相等和等量代换证明，再由平行线性质和已知条件推出，最后用内错角相等证明 ． 【详解】解：因为（对顶角相等）， （已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 【19题答案】 【答案】（1） （2）20 （3）12 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）阴影部分为正方形，可以用边长的平方表示面积，也可以用大正方形的面积减去4个小长方形的面积表示； （2）由（1）得，代入求值即可； （3）设，，则，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：图2中阴影部分为正方形，边长为，面积为：， 阴影部分面积还可以表示为大正方形的面积减去4个小长方形的面积：， 因此， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 故答案为：20； 【小问3详解】 解：设，， 则，， ， ， ， ． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 五、解答题 【21题答案】 【答案】（1）①P；②M；③N （2）240千米 （3）40千米/时，80千米/时 【解析】 【分析】根据函数图像和图像中的数据可以解答本题．由图像可得，AB两地之间路程为240千米；出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 【小问1详解】 解：分析函数图像知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 故答案为：①P；②M；③N； 【小问2详解】 解：由图像可得，AB两地之间路程为240千米， 故答案为：240； 【小问3详解】 解：甲的速度是：240÷6＝40（千米/时） 则乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/时）． 【点睛】本题考查函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． （综合与实践） 【22题答案】 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 六、解答题 （几何直观） 【23题答案】 【答案】（1）；和；（2）①；②45；（3）见解析；（4）8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等式的性质可得，则可得到三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）①由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证和全等；②当时，，证法同（2）①； （3）证明，可得，进而可证； （4）在上取一点F使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ②当时，，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故当时，； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，在上取一点F，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $