初中期末复习抢分卷（Word版）-【学海风暴】2026年七年级数学期末冲刺卷（北师大版·新教材）

**基本信息** 初中期末数学冲刺卷，以跨学科融合、文化情境创设为特色，覆盖代数、几何、统计核心知识，注重数学抽象、几何直观与运算能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6题|完全平方公式、三角板角度、频率估计概率、函数关系、平行线性质、全等三角形|第5题一题多解，结合滑雪运动情境考查平行线性质| |填空题|6题|概率计算（跨学科英语）、三角形三边关系、线段垂直平分线、阴影面积、变量关系、折叠性质|第7题跨学科融合英语句子，考查概率计算| |解答题|11题|代数运算、几何证明、统计应用、项目式学习（建筑占地面积比较）、综合实践（三角形动态问题）|21题以福建土楼与山西大院为情境，用“作差法”比较面积，体现项目式学习；22题探究角平分线性质，培养推理能力|

初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 1. 若，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 17 D. 25 2. 如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中α和β互为余角的是（　　） A. B. C. D. 3. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 4. 如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（ ） A. B. C. D. 5. （一题多解）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边缘时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长24，厚度为2，则两摞书之间的距离的长度为（ ） A. 28 B. 26 C. 24 D. 22 二、填空题 （跨学科 英语） 7. 在句子“I Love Jiang Xi”中，随机抽取一个字母是“o”的概率为__________． 8. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长可以是______． 9. 如图所示，，，，，则的周长是_____． 10. 计算图中阴影部分的面积是__________． 11. 下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 12. 如图，在长方形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与射线交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________． 三、解答题 13. （1）计算：； （2）如图，点在直线上，，若，求的度数． 14. 黑板上有一道题：已知，求式子的值．小明与小亮展开了下面的讨论： 你认为谁说得对？为什么？ （转化思想） 15. 如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 16. 已知，，是的三边长． （1）若，试判断的形状； （2）化简：． 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小． 四、解答题 18. 某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … （1）表中的自变量为___________，因变量为___________； （2）已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） （几何直观） 19. 如图，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： （1）甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 （2）乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 五、解答题 （运算能力） 21. 新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 （1）请分别计算这两个建筑的占地面积； （2）若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． （课标 项目式学习） 22. 【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 六、解答题 （综合与实践） 23. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 初中期末冲刺卷·数学 初中期末复习抢分卷 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．利用完全平方公式的变形，，直接代入已知数值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度计算，互余、互补等，根据摆放情况，逐项得出α和β的数量关系，即可判断． 【详解】解：A．，α和β互为余角，符合题意； B．α和β为同一个角的余角，，不合题意； C．，α和β不互余，不合题意； D．，α和β不互余，不合题意； 故选：A． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系， 根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：D． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，得到，推出，，即可求出大腿与小腿的夹角的度数；也可以延长交于点，根据平行线的性质，结合三角形外角的性质，也可求出大腿与小腿的夹角的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ，， ． 一题多解： 如图，延长交于点． ，， ． ， ． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，根据题意证明，再结合全等三角形性质得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ； 故选：A． 二、填空题 （跨学科 英语） 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，解题思路为：先确定所有等可能的结果总数，再得到所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可 【详解】统计可得，句子“”中共有12个字母，其中字母“o”的个数为， 根据概率公式：． 【8题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形的三边关系得，， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【9题答案】 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：18． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去一个长为，宽为的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【11题答案】 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即，如图： ，， ， ， ； ②当与的夹角为时，或， 若，如图： ，， ， ， ； 若，如图： ，， ， ， ； 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，垂直的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据多项式除以单项式进行计算即可求解． （2）利用垂线的定义以及余角的定义，求出的度数，然后利用平角，即可求出的度数． 【详解】（1） ； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 【14题答案】 【答案】小亮说得对，因为，与的值无关． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式运算中的无关型问题． 利用完全平方公式，平方差公式，对原式进行化简，根据化简结果是否与有关，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴小亮说得对，因为，与的值无关． （转化思想） 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 【16题答案】 【答案】（1）等边三角形； （2）． 【解析】 【分析】此题考查三角形三边关系以及绝对值非负性，解答本题的关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，然后去绝对值符号后化简即可． 【小问1详解】 解：， 且， ， 为等边三角形； 【小问2详解】 解：，，是的三边长， ，，， 原式． 【17题答案】 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，于是得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求作， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． 四、解答题 【18题答案】 【答案】（1）每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入 （2）每周需要有900人次乘坐该路公交车 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； 【小问2详解】 由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． （几何直观） 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）利用平行线的性质即可证明结论成立； （2）利用垂直的定义求得，再利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【20题答案】 【答案】（1）C （2）这个游戏不公平．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，游戏的公平性，熟知相关知识是解题的关键． （1）在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可； （2）分别计算出小颖和小琪赢的概率，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，摸到白球的事件属于随机事件， 故选：C； 【小问2详解】 解：这个游戏不公平．理由如下： （小颖赢），（小琪赢）， （小颖赢）（小琪赢）， 小颖赢的可能性大，这个游戏不公平 五、解答题 （运算能力） 【21题答案】 【答案】（1）福建土楼占地面积：；山西大院占地面积： （2）①组同学想法正确 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【小问1详解】 解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴①组同学想法正确． （课标 项目式学习） 【22题答案】 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 六、解答题 （综合与实践） 【23题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $