专题02 二元一次方程组重难点题汇编（十一大类型）（高效培优期末专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组十一大类型，以题载法系统整合基础解法、特殊解技巧及实际应用，构建从概念到建模的完整逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解方程组|4组题|代入/加减消元法|夯实运算基础，培养符号意识| |特殊解问题|整数解/错解/同解等|参数分析/整体代入|从方程解的性质延伸，发展推理意识| |实际应用|行程/利润/几何等|建模思想/方案优化|联结数学与现实，强化应用意识|

专题02 二元一次方程组重难点题汇编 （十一大类型） 考点01：解二元一次方程组 考点02：二元一次方程组-整数解问题 考点03：二元一次方程组-错解问题 考点04：二元一次方程组-同解问题 考点05：二元一次方程组-新定义问题 考点06：二元一次方程组-方案选择 考点07：二元一次方程组-行程问题 考点08：二元一次方程组-销售利润问题 考点09：二元一次方程组-工程/配套问题 考点10：二元一次方程组-几何面积问题 考点11：二元一次方程组-特殊解问题 考点01：解二元一次方程组 1．解方程组： (1)． (2)． 2．解方程组： 3．解方程组： (1) (2) 4．解方程组： (1) (2) 考点02：二元一次方程组-整数解问题 5．方程的正整数解的对数是（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 6．写出二元一次方程的一组整数解：______． 7．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 考点03：二元一次方程组-错解问题 8．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 10．甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 考点04：二元一次方程组-同解问题 11．已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 12．已知方程组 和 的解相同，则__________． 13．已知关于x，y的方程组和有相同解，则_____，_____． 14．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 考点05：二元一次方程组-新定义问题 15．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 16．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 17．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 18．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 考点06：二元一次方程组-方案选择 19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 20．已知：用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 21．某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． (1)购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ (2)预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 22．甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． (1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ (2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． 23．要制作A型、B型两种无盖的长方体纸盒，需要用到甲型和乙型纸板．甲型纸板是长为，宽为的长方形，乙型纸板是边长为的正方形． (1)【裁切纸板】 下图是一张长为，宽为的丙型长方形纸板，若将它裁切成甲型和乙型两种纸板，能恰好用完． 小亮发现：甲、乙、丙三种型号纸板的宽都为，裁切时只需考虑长之间的关系即可．请你设计出所有的裁切方案并说明理由． (2)【制作纸盒】 现有120张丙型纸板，本着不浪费的原则，制作A型纸盒和B型纸盒． 小莹发现：制作A型、B型两种纸盒所需要的甲型纸板数量一定多于乙型纸板数量． 请结合（1）中小亮的方案，求出可制成多少个A型纸盒和B型纸盒． 考点07：二元一次方程组-行程问题 24．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 25．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 26．一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 考点08：二元一次方程组-销售利润问题 27．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 28．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 29．某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元． (1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱； (2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润．（注：按整箱出售，利润﹣销售总收入﹣进货总成本） 30．某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 31．请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 考点09：二元一次方程组-工程/配套问题 32．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 33．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 考点10：二元一次方程组-几何面积问题 34．在拼图时，小聪发现个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的大长方形；小明发现这个大小一样的长方形还可以拼成如下图中间为边长是小正方形小洞的大正方形．请求出这些大小一样的长方形的长和宽． 35．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    36．如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，      (1)求出小长方形的长和宽 (2)求图中阴影部分的面积． 考点11：二元一次方程组-特殊解问题 37．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 38．阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 39．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组重难点题汇编 （十一大类型） 考点01：解二元一次方程组 考点02：二元一次方程组-整数解问题 考点03：二元一次方程组-错解问题 考点04：二元一次方程组-同解问题 考点05：二元一次方程组-新定义问题 考点06：二元一次方程组-方案选择 考点07：二元一次方程组-行程问题 考点08：二元一次方程组-销售利润问题 考点09：二元一次方程组-工程/配套问题 考点10：二元一次方程组-几何面积问题 考点11：二元一次方程组-特殊解问题 考点01：解二元一次方程组 1．解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 2．解方程组： 【答案】 【分析】利用代入法解二元一次方程组，解决问题的关键是消元．首先由①得到③，把③代入②得到关于的一元一次方程求出，再把代入③求出即可． 【详解】解： ， 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解为： ． 3．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是选择合适的消元方法解方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 4．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法或代入消元法解题是解决本题的关键． （）根据二元一次方程组的解，通过加减消元法进行计算即可得解. （）根据二元一次方程组的解，通过加减消元法进行计算即可得解． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ． 原二元一次方程组的解为． （2）解：， 得： ， 得： 得： 解得：， 把代入得：， 解得： ． 原二元一次方程组的解为． 考点02：二元一次方程组-整数解问题 5．方程的正整数解的对数是（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】将x=1，2，…，分别代入2x+3y=17，求出方程的正整数解的对数是多少即可． 【详解】解：当x＝1时，方程变形为2+3y＝17，解得y＝5； 当x＝4时，方程变形为8+3y＝17，解得y＝3； 当x＝7时，方程变形为14+3y＝17，解得y＝1； ∴二元一次方程的正整数解的对数是3对：、和． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数． 6．写出二元一次方程的一组整数解：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用方程求得x关于y的表达式，再利用已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是整数， ∴一定是偶数， ∴当，即时，； ∴二元一次方程的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 7．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 考点03：二元一次方程组-错解问题 8．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 9．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 【详解】解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 10．甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． （1）将代入①算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得：， 得，， 解得， 将代入①得：， 解得， 由方程组的解为 ． 考点04：二元一次方程组-同解问题 11．已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 【答案】D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值．本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， ①+②得：， 得：， 将代入①得：， 将，，代入可得： ， 解得：， ∴ ， 故选： 12．已知方程组 和 的解相同，则__________． 【答案】3 【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将和联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出的值． 【详解】解：将和联立得：，解得， ∴， 故答案为：3． 13．已知关于x，y的方程组和有相同解，则_____，_____． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 14．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的同解问题，二元一次方程组的解法； （1） 由题意可得这两个方程组的相同解也满足方程组 ，再解方程组即可； （2）把代入两个含未知系数的方程可得，再解方程组并进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得这两个方程组的相同解也满足方程组 ； 解得， 所以这两个方程组的相同解为 （2）解：将，代入方程组， 得， 解得， ∴， 即的值为． 考点05：二元一次方程组-新定义问题 15．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 16．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 17．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 18．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 考点06：二元一次方程组-方案选择 19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． (3)方案3获利最大，最大利润是12.1万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解，有理数混合运算的应用； （1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用110万元，购买3辆A型汽车购买2辆B型汽车的费用115万元；据此列出方程组，即可求解； （2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，等量关系式：购买a辆A型号的汽车的费用购买b辆B型号的汽车的费用400万元，列出方程，求出正整数解，即可求解； （3）根据（2）的购买方案，求出每种方案的获利情况，进行比较，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得： ， 解得：， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元． （2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得： ， 即：， 因为两种型号的汽车均购买， 所以a、b均为正整数， 所以或或， 所以共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． （3）解：方案1可获利：（万元） 方案2可获利：（万元） 方案3可获利：（万元） 因为 所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元． 20．已知：用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （3）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 21．某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． (1)购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ (2)预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元 (2)共有3种购车方案；方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． (3)在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元 【分析】（1）设购买每辆A型公交车需x万元，每辆B型公交车需y万元，根据“若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型公交车，n辆B型公交车，根据要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，即可得出关于m,n的二元一次方程，结合m,n均为正整数，即可得出各购车方案； （3）利用总费用＝单价数量，即可求出选项各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买每辆型公交车需万元，购买每辆型公交车需万元． 依题意，得 解得 故购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元． （2）解：设购买辆型公交车，辆型公交车． 依题意，得 ． 均为正整数， 或或 该公司共有3种购车方案； 方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． （3）解：选择方案1所需总费用为（万元）； 选择方案2所需总费用为（万元）； 选择方案3所需总费用为（万元）． ， 在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）． 22．甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． (1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ (2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． 【答案】(1)该学校购买了10盒乒乓球 (2)去乙商店购买划算，更省钱方案的费用为1176元 【分析】本题考查了一元一次方程得应用及求代数式的值，正确找出等量关系列方程是解题的关键， （1）根据两家商店购买所需商品的费用一样列方程求解即可； （2）分别求出甲、乙两个商店购买费用可求得哪个商店更划算，根据在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球得到更省钱的方案。 【详解】（1）解：由题意得，在甲商店购买的费用为（元）； 在乙商店购买的费用为（元）. ∵费用一样， ∴， 解得，. ∴该学校购买了10盒乒乓球. （2）解：由（1）可得，全部在甲商店购买，费用为：（元）； 全部在乙商店购买，费用为：（元）； ∵， ∴去乙商店购买划算. 更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球.费用如下：（元）. ∴更省钱方案的费用为1176元. 23．要制作A型、B型两种无盖的长方体纸盒，需要用到甲型和乙型纸板．甲型纸板是长为，宽为的长方形，乙型纸板是边长为的正方形． (1)【裁切纸板】 下图是一张长为，宽为的丙型长方形纸板，若将它裁切成甲型和乙型两种纸板，能恰好用完． 小亮发现：甲、乙、丙三种型号纸板的宽都为，裁切时只需考虑长之间的关系即可．请你设计出所有的裁切方案并说明理由． (2)【制作纸盒】 现有120张丙型纸板，本着不浪费的原则，制作A型纸盒和B型纸盒． 小莹发现：制作A型、B型两种纸盒所需要的甲型纸板数量一定多于乙型纸板数量． 请结合（1）中小亮的方案，求出可制成多少个A型纸盒和B型纸盒． 【答案】(1)方案一：裁切甲型纸板2张和乙型纸板5张； 方案二：裁切甲型纸板4张和乙型纸板2张； (2)120张丙型纸板可以制成48个A型纸盒，96个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设一张丙型纸板可裁切出a张甲型纸板，b张乙型纸板，根据题意求出a和b的关系，进而求出所有情况即可； （2）先判断出方案一不符合要求，根据方案二求出可裁切则甲型纸板张，乙型纸板张，设恰好可以制成x个A型纸盒，y个B型纸盒，列二元一次方程组求解；采用方案一裁切c张，方案二裁切张，设恰好可以制成m个A型纸盒，n个B型纸盒，列方程求出，，的整数解解答即可． 【详解】（1）解：设一张丙型纸板可裁切出a张甲型纸板，b张乙型纸板． 根据题意可得：， 所以， 因为a和b为正整数，则，；，； 所以，方案一：裁切甲型纸板2张和乙型纸板5张； 方案二：裁切甲型纸板4张和乙型纸板2张； （2）解：因为需要的甲型纸板数量总要多于乙型纸板数量，则方案一不符合要求， 所以选方案二． 120张丙型纸板，可裁切则甲型纸板张，乙型纸板张． 设恰好可以制成x个A型纸盒，y个B型纸盒， 根据题意可得： 解得； 若采用方案一裁切c张，方案二裁切张， 设恰好可以制成m个A型纸盒，n个B型纸盒， 根据题意可得：， 解得， 可知c是的倍数， 当时，，；当时，，；当时，，；当时，为负值，不符合题意，舍去； ∴120张丙型纸板可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒； 即120张丙型纸板可以制成48个A型纸盒，96个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒；可以制成个A型纸盒，个B型纸盒． 考点07：二元一次方程组-行程问题 24．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 25．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 26．一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米 (2)相距千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组． （1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 考点08：二元一次方程组-销售利润问题 27．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 28．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答． 【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 29．某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元． (1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱； (2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润．（注：按整箱出售，利润﹣销售总收入﹣进货总成本） 【答案】(1)第一、二次各购进水蜜桃30和50箱； (2)利润为1540元 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，混合运算的实际应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）设第一、二次各购进水蜜桃a箱和b箱，利用“共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元、50元，且第二次比第一次多付款700元”，再建立方程求解即可； （2）把打折前与打折后的利润相加即可． 【详解】（1）解：设第一、二次各购进水蜜桃a箱和b箱，由题意可得， ， 解得，， 答：第一、二次各购进水蜜桃30和50箱； （2）该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润为： （元）， 答：利润为1540元． 30．某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 【答案】(1)该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元 (2)该专卖店共获利元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是找到等量关系． （1）设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润等于A型号电视机利润加上B型号电视机利润求解即可． 【详解】（1）解：设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元 由题意得， 解得， 答：该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元； （2）A型号电视机利润为：（元）， B型号电视机利润为：（元）， 该专卖店共获利（元）． 答：该专卖店共获利元． 31．请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 【答案】(1)一个水瓶元，一个水杯元； (2)在乙商场购买更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． 首先设一个水瓶元，一个水杯元，根据图片中两次购买水瓶和水杯的数量与所花费用列二元一次方程组，解方程组求出一个水瓶和一个水杯的单价； 分别计算出在两家商场买个水瓶和个水杯所需费用，通过比较确定哪家商场更合算． 【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元， 根据题意可得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， 答：一个水瓶元，一个水杯元； （2）在乙商场购买更合算， 理由如下： 解：甲商场：(元)， 乙商场：(元)， ， 在乙商场购买更合算． 考点09：二元一次方程组-工程/配套问题 32．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 33．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 考点10：二元一次方程组-几何面积问题 34．在拼图时，小聪发现个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的大长方形；小明发现这个大小一样的长方形还可以拼成如下图中间为边长是小正方形小洞的大正方形．请求出这些大小一样的长方形的长和宽． 【答案】这些长方形的长和宽分别为和． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为和，依题意得，然后解方程组并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设这些长方形的长和宽分别为和， 依题意得， 解得，且符合题意， 答：这些长方形的长和宽分别为和． 35．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    【答案】小长方形的长为7，宽为2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长等于三个小长方形的宽加上一个小长方形的长，以及两个小长方形的宽加等于小长方形的长加小长方形的宽，建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ∴小长方形的长为7，宽为2． 36．如图，在大长方形中，放入9个相同的小长方形，      (1)求出小长方形的长和宽 (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长是，宽是 (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程求出小长方形的长与宽即可； （2）利用总面积减去各小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （2）解：， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列式． 考点11：二元一次方程组-特殊解问题 37．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】 【分析】根据“整体换元”的解法，设，得，得出m，n的值，再解，即可得答案． 【详解】解：设，，原方程可化为 ，即， ②-①得，， ∴， 把代入②得，， ∴     ∴         解得：． 【点睛】本题考查了用“整体换元”的思想解二元一次方程组，解题的关键是合理换元，熟练地解二元一次方程组． 38．阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 【答案】解法一：1.05；解法二：，；购买每种教学用具各一件共需元 【分析】本题考查了二元一次方程组的拓展应用，运用整体的思想方法指导解题，关键是找对里面的规律． 对于解法一：由求得的y、z的值代入即可求值； 对于解法二：解关于、的二元一次方程组即可求解； 若设购买每种教学用具各一件各需，，，，元，则有；以及，可假设，，构建新的方程组，即可求解． 【详解】解：解法一：由于， 则； 故答案为：1.05； 解法二：由得：， 设，，则得到关于、的二元一次方程组， 解得：， 即； 故答案为：；； 设购买每种教学用具各一件各需，，，，元， 则， 整理得， 若设，， 则原方程组变形为， 解得， 答：购买每种教学用具各一件共需元． 39．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $